Μέθοδος Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του π

Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα πι της λέξης «περιφέρεια» και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη .

Στην Ευκλείδεια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικά χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.

Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδεδειγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.

Μέθοδος Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του π 

Ο Αρχιμήδης ήταν ο πρώτος που έδωσε μια μέθοδο υπολογισμού του π με μεγάλη προσέγγιση.
Η μέθοδός του έγκειται στο ότι η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου n πλευρών εγγεγραμμένου σε κύκλο, είναι μικρότερη της περιφέρειας του κύκλου και άρα και της περιμέτρου του περιγεγραμμένου πολυγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Η μέθοδος του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του π. 

Θεώρησε τις ακολουθίες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων πλευρών 6, 12, 24, 48 και 96 αντίστοιχα. Ξεκινώντας δηλαδή από ένα κανονικό εξάγωνο και διπλασιάζοντας τις πλευρές του, έφτασε σε ένα κανονικό πολύγωνο 96 πλευρών. Αυξάνοντας αρκετά τον αριθμό των πλευρών, οι δύο περίμετροι προσεγγίζουν εξωτερικά και εσωτερικά την περιφέρεια του κύκλου. 
Έτσι φτάνοντας σε πολύγωνο 96 πλευρών ο Αρχιμήδης περιόρισε την τιμή του π στο διάστημα 

3και 10/71.. < π < 3 και 1/71

ή χρησιμοποιώντας δεκαδικά ψηφία 

                          3,14084... < π < 3,14285...

Να σημειωθεί το ότι ο Αρχιμήδης έφτασε σε αυτήν την προσέγγιση χωρίς τη γνώση τριγωνομετρίας ή δεκαδικών ψηφίων.

Συνήθως χρησιμοποιείται η προσέγγιση π ≈ 3,14. Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

ΠΗΓΗ