ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

α. Είναι ένα ενδιαφέρον θέμα τα συστήματα αρίθμησης που υιοθέτησαν οι ανθρώπινες κοινωνίες στο πέρασμα των αιώνων. Το δεκαδικό είναι το πιο γνωστό και διαδεδομένο, όσον αφορά την κοινή χρήση. Αλλά και πολλά άλλα χρησιμοποιήθηκαν: το εξηκονταδικό, ξεκινώντας από τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους - που εξακολουθούσαν να το χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί της αρχαιότητας κυρίως στην αστρονομία - το δωδεκαδικό (ντουζίνες), το εικοσαδικό (κατάλοιπα συναντούμε στις παλιές νομισματικές υποδιαιρέσεις π.χ. σε Βρεταννία, Γαλλία) και, σε κάποιες αυτόχθονες φυλές της Αφρικής και της Αυστραλίας, το τριαδικό! Βέβαια, με εξαίρεση το εξηκονταδικό, σχεδόν κανένα από τα προαναφερθέντα συστήματα δεν χρησιμοποιήθηκε με την αυστηρή έννοια του "θεσιακού συστήματος" (και από το εξηκονταδικό έλειπε η ιδέα του μηδενός, δηλ. της "κενής θέσης", που ήρθε πολύ αργότερα). Οι ρωμαϊκοί αριθμοί, π.χ., είναι μια ανάμειξη δεκαδικού και πενταδικού. Η "δεκαδικομανία" (sic) αναζωπυρώθηκε κατά την περίοδο της Γαλλικής Επανάστασης, μετά από μια σύντομη διαμάχη στην οποία το δωδεκαδικό έχασε λόγω... ανεπαρκών δημοσίων σχέσεων.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ- Δυαδικό
Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε σχεδόν αποκλειστικά το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Είναι λοιπόν φυσικό να έχουμε ταυτίσει την αξία (value) μιας ποσότητας , με τη παράσταση της στο σύστημα αυτό. Στην πραγματικότητα δεν είναι καθόλου έτσι.
Οι αξίες (π.χ. το βάρος μιας ποσότητας μήλων) μπορούν να παρασταθούν με πολλούς τρόπους (π.χ. 2 στο δεκαδικό, ΙΙ στο ρωμαϊκό, 10 στο δυαδικό κ.λ.π.). Η αξία παραμένει η ίδια, εκείνο που αλλάζει κάθε φορά είναι το σύστημα αρίθμησης .
Η μέθοδος παράστασης των αριθμητικών ποσοτήτων, ονομάζεται αριθμητικό σύστημα αρίθμησης( Number System).
Στους υπολογιστές, η χρήση του δεκαδικού συστήματος θα δημιουργούσε προβλήματα κόστους και πολυπλοκότητας, γιατί θα έπρεπε να κατασκευαστούν στοιχειώδης διακόπτες με δέκα διαφορετικές καταστάσεις. Θα έπρεπε για παράδειγμα , να κατασκευαστούν τρανζίστορ με δέκα διαφορετικές καταστάσεις αντί για δύο. Για τον λόγο αυτό προτιμήθηκε το δυαδικό σύστημα, όπου η κατασκευή μηχανισμών με δύο καταστάσεις (on, off) ήταν πιο εύκολη και φθηνή. Για παράδειγμα, από έναν αγωγό περνά ή δεν περνά ρεύμα , ένας πυκνωτής είναι φορτισμένος ή δεν είναι, ένας μαγνητικός δακτύλιος είναι μαγνητισμένος προς την μια ή την άλλη διεύθυνση, μια μονάδα είναι απασχολημένη ή δεν είναι, μία λυχνία ή ένα τρανζίστορ επιτρέπουν ή όχι την διέλευση ρεύματος κ.λ.π. Όλες οι πληροφορίες που συνυπάρχουν μέσα σε ένα υπολογιστή αναλύονται σε μια ακολουθία από δυαδικά ψηφία. Οι διαφορετικοί τύποι πληροφορίας παρουσιάζονται επόμενο σχήμα και αφορούν εντολές, δεδομένα και διευθύνσεις. Αν και η έννοια της πληροφορίας συνδέεται (λανθασμένα) με τα δεδομένα που επεξεργάζεται ένας υπολογιστής, πληροφορία είναι και οι εντολές που δέχεται ο υπολογιστής από το περιβάλλον. Με τiς εντολές αυτές ο υπολογιστής ενεργεί πάνω στα δεδομένα και παράγει νέα. Οι εντολές είναι και τα σήματα ελέγχου που εκπορεύονται από την μονάδα ελέγχου προς τις υπόλοιπες μονάδες. Άλλη μια μορφή πληροφορίας είναι οι διευθύνσεις των δεδομένων και των εντολών μέσα στον υπολογιστή. Σε κάθε δεδομένο ή εντολή αντιστοιχεί πάντα και μια διεύθυνση. Αυτό είναι φυσικό, και έτσι συμβαίνει και στη καθημερινή μας ζωή. Μια γνωριμία σε ένα πάρτι είναι άχρηστη αν δεν συνδέεται και με ένα αριθμό τηλεφώνου.
β. Αριθμοί: Όταν αναφερόμαστε σε μία αριθμητική τιμή, απεικονίζουμε στην ουσία μία ποσότητα με ένα σύμβολο ή έναν συνδυασμό από σύμβολα. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε είναι το δεκαδικό. Αποτελείται δηλαδή από δέκα διαφορετικά σύμβολα, τα οποία καλούμε και ψηφία, και οποιαδήποτε αριθμητική τιμή μπορεί να αποτυπωθεί με έναν συνδυασμό των δέκα αυτών ψηφίων. Η σειρά με την οποία τοποθετούνται τα σύμβολα αυτά σε έναν αριθμό, σηματοδοτεί κάποια πολλαπλάσια. Λέμε, για παράδειγμα:
3082 = 3 χιλιάδες 3 x 1000
+0 εκατοντάδες ή +0 x 100
+8 δεκάδες +8 x 10
+2 μονάδες +2 x 1
Εάν αναλύσουμε περαιτέρω τα παραπάνω γινόμενα, θα δούμε πως αφορούν πολλαπλάσια των ψηφίων του αριθμού με τις αντίστοιχες δυνάμεις του δέκα. Ισχύει λοιπόν:
3082 = 3 x 10 + 0 x 10 + 8 x 10 + 2 x 10
Το παραπάνω σύστημα έχει λοιπόν σαν βάση το δέκα. Μπορούμε αντίστοιχα να δημιουργήσουμε ένα οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα με βάση διαφορετική του δέκα.
Δυαδικό σύστημα : Έστω ένα αριθμητικό σύστημα το οποίο αποτελείται από δύο ψηφία: το 0 και το 1. Το σύστημα αυτό έχει σαν βάση το δύο και καλείται δυαδικό. Όπως και με το δεκαδικό σύστημα, η σειρά με την οποία τοποθετούνται τα ψηφία αυτά σε έναν αριθμό αφορούν γινόμενα των ψηφίων αυτών με τις αντίστοιχες δυνάμεις του δύο. Έτσι, για παράδειγμα ο αριθμός 1101 ισοδυναμεί με:
1101 = 1 x 2 1 x 8
+1 x 2 ή +1 x 4
+0 x 2 +0 x 2
+1 x 2 +1 x 1
ή 1101 = 13
Παρατηρούμε το κάτω δεξιά αριθμητικό σύμβολο σε κάθε αριθμό, το οποίο είναι μία σήμανση που αφορά στο αριθμητικό σύστημα που ανήκει ο αριθμός, έτσι ώστε να μη μπερδεύουμε για παράδειγμα το 11 (τρία), με το 11 (ένδεκα). Εάν θελήσουμε να μετρήσουμε στο δυαδικό σύστημα από το 0 έως το 15 θα γράψουμε:

δεκαδικός
αριθμός
αντίστοιχος
δυαδικός
0.............0
1..............1
2..............10
3.............11
4...............100
5..........101
6...............110
7..............111
8...........1000
9............1001
10...........1010
11...........1011
12..............1100
13...............1101
14................1110
15...............1111

Αυτό που παρατηρούμε είναι πως για να προχωρήσουμε κάθε φορά στον επόμενο αριθμό, εξαντλούμε πρώτα όλους τους συνδυασμούς ψηφίων στην τρέχουσα στήλη και στη συνέχεια δανειζόμαστε ένα νέο ψηφίο στην επόμενη στήλη αριστερά, ώσπου να εξαντληθούν οι συνδυασμοί και εκεί κ.ο.κ.
Δεκαεξαδικοί αριθμοί
Ένα άλλο αριθμητικό σύστημα είναι το δεκαεξαδικό, ένα δηλαδή σύστημα που έχει σαν βάση το δεκαέξι και χρησιμοποιεί δεκαέξι διαφορετικά αριθμητικά ψηφία. Προκειμένου να αναπαραστήσουμε έναν δεκαεξαδικό αριθμό, επειδή ακριβώς τα αριθμητικά ψηφία που χρησιμοποιούμε γενικότερα είναι δέκα (0 – 9), χρειαζόμαστε έξι ακόμη σύμβολα τα οποία δανειζόμαστε από το λατινικό αλφάβητο (A – F).