Τρίτη 10 Δεκεμβρίου 2013

Το κόσκινο του Ερατοσθένη



( Ερατοσθένης ο Κυρηναίος 276-198 π.Χ.)
Πρώτος είναι ο αριθμός που διαιρείται ΜΟΝΟ με τον εαυτό του και τη μονάδα. 

Ο Ερατοσθένης επινόησε μια μέθοδο για την εύρεση της ακολουθίας των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του ν, η οποία περιγράφεται ως εξής: (Ένα παράδειγμα μέχρι το 300)

Κρατάμε τον πρώτο αριθμό 2 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του, 


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300


στη συνέχεια κρατάμε τον επόμενο πρώτο αριθμό (3) και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του,


2 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
61 63 65 67 69 71 73 75 77 79
81 83 85 87 89 91 93 95 97 99
101 103 105 107 109 111 113 115 117 119
121 123 125 127 129 131 133 135 137 139
141 143 145 147 149 151 153 155 157 159
161 163 165 167 169 171 173 175 177 179
181 183 185 187 189 191 193 195 197 199
201 203 205 207 209 211 213 215 217 219
221 223 225 227 229 231 233 235 237 239
241 243 245 247 249 251 253 255 257 259
261 263 265 267 269 271 273 275 277 279
281 283 285 287 289 291 293 295 297 299

συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο


2 3 5 7 11 13 17 19
23 25 29 31 35 37
41 43 47 49 53 55 59
61 65 67 71 73 77 79
83 85 89 91 95 97
101 103 107 109 113 115 119
121 125 127 131 133 137 139
143 145 149 151 155 157
161 163 167 169 173 175 179
181 185 187 191 193 197 199
203 205 209 211 215 217
221 223 227 229 233 235 239
241 245 247 251 253 257 259
263 265 269 271 275 277
281 283 287 289 293 295 299

κρατάμε το 7 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του,


2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
41 43 47 49 53 59
61 67 71 73 77 79
83 89 91 97
101 103 107 109 113 119
121 127 131 133 137 139
143 149 151 157
161 163 167 169 173 179
181 187 191 193 197 199
203 209 211 217
221 223 227 229 233 239
241 247 251 253 257 259
263 269 271 277
281 283 287 289 293 299

και πάλι το ίδιο για το 11,


2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
41 43 47 53 59
61 67 71 73 79
83 89 97
101 103 107 109 113
121 127 131 137 139
143 149 151 157
163 167 169 173 179
181 187 191 193 197 199
209 211
221 223 227 229 233 239
241 247 251 253 257
263 269 271 277
281 283 289 293 299


συνεχίζουμε με τους 13, και 17


Όταν θέλουμε τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από το ν, αρκεί να διαγράψουμε τα πολλαπλάσια όλων των πρώτων αριθμών p, για τους οποίους ισχύει p2 < ν


2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
41 43 47 53 59
61 67 71 73 79
83 89 97
101 103 107 109 113
127 131 137 139
149 151 157
163 167 169 173 179
181 191 193 197 199
211
221 223 227 229 233 239
241 247 251 257
263 269 271 277
281 283 289 293 299

οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 300 είναι:


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197
199
211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293


Στην πρώτη εκατοντάδα υπάρχουν 25 πρώτοι αριθμοί, στην δεύτερη εκατοντάδα υπάρχουν 21 πρώτοι αριθμοί, στην τρίτη εκατοντάδα υπάρχουν 16 πρώτοι αριθμοί κ.ο.κ. στην εκατοντάδα από 901 μέχρι και το 1000 υπάρχουν μόνο 14.
Στην  πρώτη χιλιάδα υπάρχουν 168 πρώτοι αριθμοί, στην χιλιάδα από 999,901 μέχρι το 1,000,000 υπάρχουν μόνο 8 πρώτοι αριθμοί.
Ο κατάλογος των πρώτων αριθμών μας βοηθά να διαπιστώσουμε πως καθώς οι αριθμοί μεγαλώνουν οι πρώτοι αραιώνουν. Ποτέ όμως δεν τελειώνουν. Ποτέ η αραίωση δεν φτάνει στο μηδέν. 

Το ξεκαθάρισε ο Ευκλείδης τον τρίτο π.Χ αιώνα: ΔΕΝ υπάρχει ο μέγιστος πρώτος αριθμός.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου