Δευτέρα, 27 Οκτωβρίου 2014

Υπάρχει κάτι μεγαλύτερο από το άπειρο; (Μια αξιοθαύμαστη απόδειξη του Cantor)


 

Γνωρίζουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί (1, 2, 3, 4, 5 …) όπως και οι άρτιοι αριθμοί (2, 4, 6,…) είναι άπειροι στο πλήθος. Με μια πρώτη ματιά νομίζει κανείς ότι οι άρτιοι αριθμοί είναι λιγότεροι από τους φυσικούς αριθμούς (δεδομένου ότι περιέχονται στο σύνολο των φυσικών αριθμών). Όμως ισχύει κάτι τέτοιο;
Ο Georg Cantor, στις αρχές του 19ου αιώνα, σκέφτηκε πως ένας τρόπος για να μετρήσει το “μέγεθος” των απειροσυνόλων ήταν να χρησιμοποιήσει ένα “πρότυπο απειροσύνολο”. Και θεώρησε ως τέτοιο το σύνολο των φυσικών αριθμών: 1, 2, 3, 4, 5, …
Όρισε ως αριθμήσιμα απειροσύνολα αυτά που μπορούν να τεθούν σε αντιστοιχία ένα-προς-ένα με τους φυσικούς αριθμούς. Οπότε όλα τα αριθμήσιμα σύνολα θα έχουν το ίδιο μέγεθος με το απειροσύνολο των φυσικών αριθμών.
Έτσι, το σύνολο των αρτίων αριθμών είναι αριθμήσιμο, εφόσον μπορούμε να γράψουμε:
1 ↔ 2
2 ↔ 4
3 ↔ 6
4 ↔ 8
5 ↔ 10
6 ↔ 12
…. κ.ο.κ επ’ άπειρον

Η παραπάνω αντιστοιχία δείχνει ότι το σύνολο των άρτιων (ή περιττών) έχει το ίδιο μέγεθος με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ακόμα κι αν παραλείψουμε κάποιους από τους άρτιους αριθμούς, πάλι θα έχουμε 1-1 αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς.
Το ίδιο ισχύει και για το σύνολο των ακεραίων αριθμών, όπως φαίνεται από την παρακάτω αντιστοιχία:
1 ↔ 0
2 ↔ −1
3 ↔ 1
4 ↔ −2
5 ↔  2
6 ↔ −3
7 ↔  3
…. κ.ο.κ
Ο Cantor έδειξε ότι ακόμα και το σύνολο των κλασμάτων που προκύπτουν από τη διαίρεση δυο ακεραίων αριθμών είναι επίσης αριθμήσιμο απειροσύνολο. Για το σκοπό αυτό επινόησε την παρακάτω διάταξη όλων των κλασμάτων – χωρίς να του ξεφεύγει κανένα:
1/1
2/1, 1/2
3/1, 2/2, 1/3
4/1, 3/2, 2/3, 1/4
5/1, 4/2, 3/3, 2/4, 1/5
6/1, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6
…. κ.ο.κ.
Κάθε σειρά περιλαμβάνει κλάσματα στα οποία αν προσθέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή τους παίρνουμε τον ίδιο αριθμό. Ενώ περιμένει κανείς τα κλάσματα να είναι περισσότερα από τους ακεραίους αριθμούς, όταν τα αριθμούμε με την μέθοδο του Cantor διαπιστώνουμε ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει.
Τα παραπάνω σύνολα, καθώς και όλα όσα τίθενται σε αντιστοιχία 1-1 αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς, έχουν το ίδιο «μέγεθος» και ο Cantor επέλεξε να τα συμβολίσει με το πρώτο γράμμα του εβραϊκού αλφάβητου, το \aleph_{0} (άλεφ-μηδέν)
Ίσως κάποιος ανυποψίαστος διαβάζοντας τα παραπάνω να σχημάτιζε την εντύπωση πως ΟΛΑ τα απειροσύνολα είναι αριθμήσιμα.
Υπάρχουν άραγε απειροσύνολα που δεν μπορούν να τεθούν σε αντιστοιχία 1-1 με τους φυσικούς αριθμούς;
Ένα από τα πιο αξιοθαύμαστα επιτεύγματα του Cantor ήταν η απόδειξη ότι οι πραγματικοί αριθμοί, που περιλαμβάνουν και τους ρητούς αριθμούς και τους άρρητους αριθμούς δεν μπορούν να αριθμηθούν.
Η απόδειξή του βασίζεται στην «διαγώνια μέθοδο» και την εις άτοπον απαγωγή. Έστω λοιπόν ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Τότε ένας λόγος παραπάνω, οι πραγματικοί αριθμοί που βρίσκονται μεταξύ 0 και 1, να αποτελούν ένα αριθμήσιμο σύνολο και θα μπορούν να τεθούν σε μια αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς σχηματίζοντας έναν κατάλογο, όπως ο παρακάτω:
1 ↔ 0,20458441…
2 ↔ 0,43093674…
3 ↔ 0,06231905…
4 ↔ 0,54568298…
5 ↔ 0,32711234…
6 ↔ 0,61236031…
7 ↔ 0,87295576…
…. κ.ο.κ
Παρατηρείστε τα υπογραμμισμένα ψηφία. Χρησιμοποιώντας αυτά τα ψηφία μπορούμε να δημιουργήσουμε τον δεκαδικό αριθμό:
0,2326107…
Αν τώρα από τον αριθμό αυτό κατασκευάσουμε ένα νέο αριθμό προσθέτοντας στο καθένα από τα άπειρα ψηφία του το 1, σχηματίζεται ο αριθμός:
0,3437218…
Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να ανήκει στον αρχικό κατάλογο αφού διαφέρει από τον πρώτο αριθμό στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο, από τον δεύτερο στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, από τον τρίτο στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο κ.ο.κ.
Ενώ λοιπόν είχαμε υποθέσει ότι ο αρχικός μας κατάλογος περιείχε όλους τους πραγματικούς αριθμούς από 0 έως 1, βρήκαμε έναν δεκαδικό αριθμό που δεν περιλαμβάνεται σ’ αυτόν!
Συνεπώς οι πραγματικοί αριθμοί είναι απείρως περισσότεροι από τους φυσικούς, με άλλα λόγια αποτελούν ένα μη αριθμήσιμο απειροσύνολο.

H ανακάλυψη του Cantor, ότι δηλαδή υπάρχουν άπειρα διαφόρων μεγεθών και ότι μπορούν να διακριθούν μεταξύ τους, υπήρξε μια από τις σπουδαιότερες μαθηματικές ανακαλύψεις.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου