Τρίτη, 5 Μαΐου 2015

Τα θέματα της 32ης Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας ( BMO 2015)


Πρόβλημα 1

(Montenegro)

Αν \displaystyle{a, b} και \displaystyle{c} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι : \displaystyle{a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6+3a^3b^3c^3\geq abc\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)+a^2b^2c^2\left(a^3+b^3+c^3\right)}

Πρόβλημα 2

(Cyprus)

Έστω\displaystyle{ABC} ένα σκαληνό τρίγωνο με έκκεντρο \displaystyle{I} και περιγεγραμμένο κύκλο \displaystyle{\left(\omega\right)}. Οι ευθείες \displaystyle{AI, BI, CI} τέμνουν τον \displaystyle{\left(\omega\right)} για δεύτερη φορά στα σημεία \displaystyle{D, E, F}, αντίστοιχα. Οι παράλληλες ευθείες από το \displaystyle{I} προς τις πλευρές \displaystyle{BC, AC, AB} τέμνουν τις ευθείες \displaystyle{EF, DF, DE} στα σημεία \displaystyle{K, L, M}, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{K, L, M} είναι συνευθειακά.

Πρόβλημα 3

(Cyprus)

Μία επιτροπή από \displaystyle{3366} κριτικούς κινηματογράφου ψηφίζει για τα Όσκαρ. Κάθε κριτικός ψηφίζει ακριβώς έναν ηθοποιό και ακριβώς μία ηθοποιό. Μετά την ψηφοφορία διαπιστώθηκε ότι για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n\in \left\{1, 2, ..., 100\right\}}, υπάρχει κάποιος ηθοποιός ή κάποια ηθοποιός που ψηφίστηκε ακριβώς \displaystyle{n} φορές. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο κριτικοί που ψήφισαν τον ίδιο ηθοποιό και την ίδια ηθοποιό.

Πρόβλημα 4

(Serbia)

Να αποδείξετε ότι μεταξύ \displaystyle{20} διαδοχικών θετικών ακεραίων υπάρχει ένας ακέραιος \displaystyle{d} τέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n} να ισχύει η ανισότητα \displaystyle{n\sqrt{d}\left\{n\sqrt{d}\right\}>\dfrac{5}{2}},
όπου με \displaystyle{\left\{x\right\}} συμβολίζουμε το κλασματικό μέρος του πραγματικού \displaystyle{x}. Το κλασματικό μέρος του πραγματικού αριθμού \displaystyle{x} ορίζεται ως η διαφορά του μεγαλύτερου ακεραίου που είναι μικρότερος ή ίσος του \displaystyle{x} από τον πραγματικό αριθμό \displaystyle{x}.
 
Πηγή : Mathematica.gr

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου