Σάββατο, 27 Ιουνίου 2015

Θέματα 19ης Μαθηματικής Βαλκανικής Ολυμπιάδας Νέων

Πρόβλημα 1: Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς a,b,c και όλους τους θετικούς ακεραίους k που ικανοποιούν την εξίσωση \displaystyle{ a^2+b^2+16c^2 = 9k^2+1.}

Πρόβλημα 2: Θεωρούμε τους θετικούς πραγματικούς a,b,c που είναι τέτοιοι ώστε a+b+c = 3. Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle{ A = \frac{2-a^3}{a} +  \frac{2-b^3}{b} +  \frac{2-c^3}{c}}

Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC. Οι ευθείες \ell_1 και \ell_2 είναι κάθετες στην AB στα σημεία A και B αντίστοιχα. Οι κάθετες ευθείες από το μέσον M του AB προς τις πλευρές AC και BC του τριγώνου τέμνουν τις ευθείες \ell_1 και \ell_2 στα σημεία E και F αντίστοιχα. Αν D είναι το σημείο τομής των ευθειών EF και MC, να αποδείξετε ότι \displaystyle{ \angle ADB = \angle EMF.}

Πρόβλημα 4: Κάθε ένα από τα ακόλουθα τέσσερα σχήματα αποτελείται από τρία μοναδιαία τετράγωνα και καλείται L-σχήμα.

JBMO2015-L-shapes.png


Δίνεται ένας 5 \times 5 πίνακας αποτελούμενος από 25 μοναδιαία τετράγωνα, ένας θετικός ακέραιος k \leqslant 25 και απεριόριστος αριθμός L-σχημάτων οποιουδήποτε τύπου. Δυο παίκτες, ο A και ο B παίζουν το ακόλουθο παιγνίδι:

Ξεκινώντας με τον A, σημειώνουν εναλλάξ σε κάθε κίνησή τους ένα τετράγωνο που δεν είναι ήδη σημειωμένο, μέχρι να σημειώσουν συνολικά k μοναδιαία τετράγωνα. Μια τοποθέτηση L-σχημάτων λέγεται «καλή» αν τα L-σχήματα δεν επικαλύπτονται και καθένα από αυτά καλύπτει ακριβώς τρία μοναδιαία τετράγωνα του πίνακα που δεν είναι σημειωμένα. Ο B κερδίζει αν μετά από οποιαδήποτε καλή τοποθέτηση L-σχημάτων μένουν ακάλυπτα τουλάχιστον τρία μοναδιαία τετράγωνα που δεν είναι σημειωμένα.

Προσδιορίστε την ελάχιστη τιμή του k για την οποία ο B έχει στρατηγική νίκης.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου