Τετάρτη, 10 Ιουνίου 2015

Μπορεί ο Fermat να σας κεράσει ένα παγωτό;


  . Στις Η.Π.Α,ένας παγωτατζής -προφανώς με μαθηματικό υπόβαθρο-ανάρτησε στο κατάστημα του μια πινακίδα (βλέπε φωτογραφία)

Το κείμενο στην πινακίδα γράφει:
 Μπορείς να βρεις ένα ακέραιο αριθμό x τέτοιο ώστε οι αριθμοί x + 3 και  x2 + 3 να είναι και οι δυο τέλειοι κύβοι; Αν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός,απέδειξε το και θα κερδίσεις ένα παγωτό δωρεάν.
Υπάρχουν αρκετές λύσεις αλλά  η πιο ευφάνταστη είναι αυτή που εμπλέκει το θρυλικό τελευταίο θεώρημα του Fermat:
Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση  xn+yn=zn, όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοι δεν έχει λύση
 Δείτε τώρα πως«κολλαει» με το ερώτημα του παγωτατζη:
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ο ζητούμενος αριθμός x και έστω ότι x+3 = α3 για κάποιο ακέραιο αριθμό α  και έστω x2 + 3 =β3 για κάποιο ακέραιο αριθμό β .Τότε το γινόμενο τους θα ήταν τέλειος κύβος  a3β3. Εκτελούμε πράξεις  και λαμβάνουμε : 
α3β3 = (x + 3)(x2+3) = x3 + 3x2 + 3x + 9 = (x+1)3 + 8 = (x+1)3 + 23
Με άλλα λόγια,(αβ)3 = (x+1)3 + 23

Όμως παρατηρούμε ότι οι αριθμοί (αβ), (x+1), 2 είναι όλοι ακέραιοι και ικανοποιούν την εξίσωση (αβ)3 = (x+1)3 + 23 ,άτοπο εφόσον από το Θεώρημα του Fermat δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για n>2 στην εξίσωση xn + yn = zn ,με x,y,z ακεραίους.Αρα δεν υπάρχει αριθμός x που να ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος.

Έτσι, ο Fermat μπορεί να μας κεράσει ένα τζάμπα παγωτό από το συγκεκριμένο μαγαζί.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου