Τρίτη, 28 Ιουνίου 2016

Θέματα 20ης Βαλκανιάδας Μαθηματικών (JBMO 2016)




Πρόβλημα 1.
Δίνεται ένα περιγράψιμο τραπέζιο ABCD με AB\parallel CD και AB>CD. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC εφάπτεται των πλευρών AB και AC στα σημεία M και N, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το έκκεντρο του τραπεζίου ABCD ανήκει στην ευθεία MN.


Πρόβλημα 2
Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a, b και c. Να αποδείξετε ότι
\displaystyle\frac{8}{(a+b)^2+4abc}+\frac{8}{(b+c)^2+4abc}+\frac{8}{(c+a)^2+4abc}+a^2+b^2+c^2\geq \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}.

Πρόβλημα 3.

Να βρείτε όλες τις τριάδες ακεραίων (a,b,c) για τις οποίες ο αριθμός
\displaystyle N=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2
είναι δύναμη του 2016.
( Δύναμη του 2016 είναι ένας ακέραιος αριθμός της μορφής 2016^n, όπου n είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος.)

Πρόβλημα 4.
Μία 5\times 5 τετραγωνική διάταξη καλείται κανονική αν κάθε κελί της περιέχει ακριβώς έναν από τέσσερεις διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς και κάθε αριθμός εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε οποιαδήποτε 2\times 2 τετραγωνική διάταξή της.
Το άθροισμα όλων των αριθμών μιας κανονικής τετραγωνικής διάταξης καλείται
ολικό άθροισμα. Για οποιουσδήποτε τέσσερεις πραγματικούς αριθμούς, κατασκευάζουμε όλες τις δυνατές τετραγωνικές διατάξεις, υπολογίζουμε τα ολικά αθροίσματά τους και καταγράφουμε τον αριθμό των διακεκριμένων ολικών αθροισμάτων. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του αριθμού αυτού.
Πηγή: Σιλουανός Μπραζιτίκος - mathematica.gr

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου