Κυριακή, 10 Δεκεμβρίου 2017

Ένα εορταστικό μαθηματικό πρόβλημα.…



Ένα εορταστικό προβληματάκι ...
   "Ο Φρέντι  είναι ένα από τα πολλά ξωτικά στην υπηρεσία του Αη Βασίλη ,έχει σαν υποχρέωση του να παραλαμβάνει τα γράμματα των παιδιών, να καταγράφει τα δώρα που ζητούν και να φροντίζει για την κατασκευή τους .Τώρα λοιπόν , που τα Χριστούγεννα πλησιάζουν έπεσε πολύ δουλειά για τον Φρέντι.Κάθε εβδομάδα καταχωρεί και διεκπεραιώνει περισσότερα γράμματα από την προηγούμενη .Τις τρεις εβδομάδες πριν τα Χριστούγεννα  καταχώρησε 56 γράμματα και μάλιστα  η διαφορά ανάμεσα στον αριθμό των γραμμάτων της πρώτης εβδομάδας και της δεύτερης  πολλαπλασιασμένη επί την διαφορά του αριθμού των γραμμάτων της τρίτης και της δεύτερης εβδομάδας ισούται με τον αριθμό των γραμμάτων που καταχώρησε την πρώτη εβδομάδα.
Μπορείς να βρεις πόσα γράμματα  καταχώρησε ο Φρέντι την τρίτη εβδομάδα;"

1 σχόλιο:

  1. Έστω (x,y,z) = (x,x+α, x+α+β) ο αριθμός των γραμμάτων αντίστοιχα την 1η,2η και 3η βδομάδα (α,β είναι θετικοί ακέραιοι, άρα και ο x)
    Θα ισχύουν:
    x+y+z = 3x+2α+β = 56, και αβ = x, οι οποίες μας δίνουν την 3αβ+2α+β = 56 (1)

    Επειδή (3α+1)(3β+2) = 9αβ +6α +3β +2 = 3(3αβ+2α+β)+2, μπορούμε να γράψουμε:
    (3α+1)(3β+2) = 3*56+2 <=>
    (3α+1)(3β+2) = 170

    Έχουμε, λοιπόν, 170=Α*Β, όπου A ≡ 1mod3 και Β ≡ 2mod3.
    Από την ανάλυση του 170 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων 170=2*5*17, βλέπουμε ότι όλοι οι πρώτοι διαιρέτες είναι 2mod3.

    Οι επιλογές που έχουμε για το Β είναι: ένας από τους 2,5,17 ή το γινόμενό τους, 2*5*17. Άρα έχουμε:

    1) Α=1, Β=170 (απορρίπτεται επειδή δίνει α=0)

    2) Α=85, Β=2 (απορρίπτεται επειδή δίνει β=0)

    3) Α=34, Β=5
    Παίρνουμε α=11, β=1, άρα (x,y,z)=(11, 22, 23)

    4) Α=10, Β=17
    Παίρνουμε α=3, β=5, άρα (x,y,z)=(15, 18, 23)

    Στην 3η και 4η περίπτωση (που είναι και οι μόνες έγκυρες) έχουμε z=23. Επομένως, την 3η βδομάδα καταχωρήθηκαν 23 γράμματα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή