tag:blogger.com,1999:blog-46338094689920516682024-02-20T11:00:13.180+02:00Μαθηματικά και .....όχι μόνοΔημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.comBlogger2175125tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-45319086357911498802024-01-20T17:19:00.012+02:002024-01-20T18:51:20.571+02:00Τα θέματα και οι λύσεις του 15ου διαγωνισμού Κ. Καραθεοδωρή<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5L7UYFhZjngxZhcFnnGbp5TTeKVPNdiJ7q-yU9cPoOqei4B5akkGzPSlyDUuS7WrTYw7Ql4mwCrbk3jTbOaV4IQOSHq4cwEqV4tNdDQmBzbY9V9Df1xdy4aQZk30YpP4KUK_TLbNbtBaO_c5af4gHsa_Fc3KLsJUoKzc2LI8qnYVKjNQopy0LGxypnAA/s963/karatheodori-0.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="541" data-original-width="963" height="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5L7UYFhZjngxZhcFnnGbp5TTeKVPNdiJ7q-yU9cPoOqei4B5akkGzPSlyDUuS7WrTYw7Ql4mwCrbk3jTbOaV4IQOSHq4cwEqV4tNdDQmBzbY9V9Df1xdy4aQZk30YpP4KUK_TLbNbtBaO_c5af4gHsa_Fc3KLsJUoKzc2LI8qnYVKjNQopy0LGxypnAA/s320/karatheodori-0.jpg" width="320" /></a></div><p></p><p>Τα θέματα και οι απαντήσεις από τον 15ο μαθητικό διαγωνισμό Κ.Καραθεοδωρή που διοργάνωσε το παράρτημα Ημαθίας της Ε.Μ.Ε για μαθητές/μαθήτριες της Α΄γυμνασίου.</p><p></p><p><b><span style="font-size: large;"><i>Το αρχε</i></span><i><span style="font-size: large;">ίο με τα θέματα θα το δείτε </span><span style="font-size: x-large;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1_n1ICHG56_-gjVCESBPWsW_UOMGblAQ9/view?usp=drive_link">εδώ</a></span><span style="font-size: large;"></span></i></b><br /><b><span style="font-size: large;"><i>Το αρχε</i></span><i><span style="font-size: large;">ίο με τις απαντήσεις θα το δείτε </span><span style="font-size: x-large;"><span style="background-color: #f3f3f3; color: red;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1NxZaJOnO1rCyKUokVoYVhkOJvXiA452i/view?usp=drive_link" target="_blank">εδώ</a></span><span style="background-color: #f3f3f3; color: red;"><br /></span></span></i></b></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-69916180643926764232024-01-15T17:05:00.002+02:002024-01-15T17:05:31.750+02:00Διάνοια στα μαθηματικά 11χρονος Λαρισαίος <p> </p><p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWhThC8lud2Vk44UOuN5ltf5AWUYOE2G3VYxKqyTXKnTflsCMV7MhsI6vcea9hv5L6xt6XE0GxW2UujzRp6wBh4RJKldYlWVeYvijPjR2P-l2r11xw1nUYJ_9EATMSparEtZTJ7MmhBXvAW4Jovrgtfx7T2T6pRzwV5_q8CAPCgKNe2ra9h44YSh1BVNM/s744/cdb1a4baa6a4fd2c2267a8cecd469c0c_XL.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="418" data-original-width="744" height="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWhThC8lud2Vk44UOuN5ltf5AWUYOE2G3VYxKqyTXKnTflsCMV7MhsI6vcea9hv5L6xt6XE0GxW2UujzRp6wBh4RJKldYlWVeYvijPjR2P-l2r11xw1nUYJ_9EATMSparEtZTJ7MmhBXvAW4Jovrgtfx7T2T6pRzwV5_q8CAPCgKNe2ra9h44YSh1BVNM/s320/cdb1a4baa6a4fd2c2267a8cecd469c0c_XL.jpg" width="320" /></a></div><br /><p></p><div class="itemIntroText">
<p>Ένας 11χρονος Λαρισαίος «έσπασε το κοντέρ» χρόνου σε μαθηματικές
λύσεις, στο πλαίσιο του διαγωνισμού «Θαλής», στον οποίο μάλιστα ήταν και
ο μικρότερος σε ηλικία.</p>
</div><p>
Πρόκειται για τον Γρηγόριο Ανδρέα Καμπίσιο, που είναι μαθητής της ΣΤ’
Δημοτικού στη Λάρισα, αλλά διαγωνίσθηκε κατά εξαίρεση στην κατηγορία
του Γυμνασίου, στον πανελλήνιο μαθηματικό διαγωνισμό «Θαλής», της
Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, λόγω του ταλέντου του, μετά από πρόταση
και προτροπή της δασκάλας του στο σχολείο.<span></span></p><a name='more'></a><br />Ο μικρός Ανδρέας έλαβε
μέρος στον διαγωνισμό με μεγάλο ενθουσιασμό, καθώς τα μαθηματικά είναι
γι’ αυτόν μια μεγάλη αγάπη στη ζωή του. Είναι ένα παιδί που οι αριθμοί
αποτελούν μια πρόκληση και η λύση των ασκήσεων και των μαθηματικών
προβλημάτων, εξιτάρουν το ενδιαφέρον του.<br />Κατάφερε να ολοκληρώσει τη
γραπτή εξέταση του διαγωνισμού «Θαλής», μέσα σε 45 λεπτά, αν και είχε
περιθώριο τρεις ώρες, ενώ σύμφωνα με πληροφορίες άγγιξε το άριστο. Του
ανακοινώθηκε ότι προχωρά στη Β’ φάση και συγκεκριμένα στον διαγωνισμό
«Ευκλείδης», ενώ ο επόμενος και τελικός στόχος είναι ο διαγωνισμός
«Αρχιμήδης», οι νικητές του οποίου συγκροτούν την Ολυμπιακή ομάδα
μαθηματικών.<br />Συγκεκριμένα, οι μαθητές αυτοί θα αποτελέσουν τον πυρήνα
από τον οποίο θα επιλεγούν εκείνοι που θα συγκροτήσουν τις ομάδες, οι
οποίες θα εκπροσωπήσουν την Ελλάδα στη Διεθνή και στις Βαλκανικές
Μαθηματικές Ολυμπιάδες. Η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα είναι ένας από
τους υψηλότερου κύρους διαγωνισμούς μαθηματικών στον κόσμο. Με αφορμή
την πρόκρισή του, μιλήσαμε μαζί του, για την αγάπη του στα μαθηματικά
και μας είπε αυθόρμητα: «Νους υγιής εν σώματι υγιεί, με τη μια μου αγάπη
το ποδόσφαιρο γυμνάζω το σώμα και με την άλλη μου αγάπη τα μαθηματικά,
γυμνάζω το μυαλό, και μου αρέσουν και τα δύο πάρα πολύ».<br />Δεν είναι η
πρώτη φορά που ο Ανδρέας λαμβάνει διακρίσεις και υποτροφίες στα
μαθηματικά, η πρώτη του διάκριση ήταν στην πρώτη Δημοτικού στον
μαθηματικό διαγωνισμό Καγκουρό και η πιο πρόσφατη διάκρισή του (πριν τον
Θαλή) ήταν στον διαγωνισμό για «χαρισματικά παιδιά» του Ανατόλια
Κολλεγίου στη Θεσσαλονίκη όπου διακρίθηκε με σκορ 499 στα 504 και πήρε
τον τίτλο του «χαρισματικού παιδιού στη μαθηματική σκέψη». <br />Όμως ο
«Θαλής» είναι ο πρώτος του διαγωνισμός του Ανδρέα, ανάμεσα σε παιδιά
Γυμνασίου. Να σημειώσουμε πως ο διαγωνισμός «Θαλής» απευθύνεται σε
παιδιά Β’, Γ’ Γυμνασίου και Α,Β,Γ Λυκείου. Σε πολύ σπάνιες περιπτώσεις,
αν η δασκάλα αναγνωρίσει κάποιο ιδιαίτερο ταλέντο σε παιδί Δημοτικού, με
ειδική άδεια που ζητείται από τη δασκάλα στη μαθηματική εταιρεία και με
τη συγκατάθεση γονέων, παίρνουν μέρος παιδιά Δημοτικού. Στη φετινή
λίστα επιτυχόντων, που έχει ανακοινωθεί, ο Γρηγόρης Ανδρέας Καμπίσιος
αναφέρεται με τους επιτυχόντες της Β’ Γυμνασίου. <p></p><p>Να σημειωθεί πως σε
περίπτωση που η ελληνική ομάδα κατακτήσει μετάλλιο στη Διεθνή Ολυμπιάδα
Μαθηματικών, τότε τα μέλη της εισάγονται χωρίς πανελλήνιες εξετάσεις σε
Μαθηματικές Σχολές, ενώ μοριοδοτούνται και για άλλες Σχολές των ΑΕΙ.</p><p><a href="https://www.eleftheria.gr/%CE%BB%CE%AC%CF%81%CE%B9%CF%83%CE%B1/item/354389-%CE%B4%CE%B9%CE%AC%CE%BD%CE%BF%CE%B9%CE%B1-%CF%83%CF%84%CE%B1-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-11%CF%87%CF%81%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CF%82-%CE%BB%CE%B1%CF%81%CE%B9%CF%83%CE%B1%CE%AF%CE%BF%CF%82.html">ΠΗΓΗ</a> </p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-56640214200748645122023-11-12T13:06:00.003+02:002023-11-12T17:58:40.248+02:00Βασικές αρχές για την κατανόηση της αποδεικτικής διαδικασίας στο Γυμνάσιο και το Λύκειο - Ημερίδα στη βέροια <p><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text"> </span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggJtWRmXwYb5n2lnJGL-_GkaumoQn4eTpj_9cvYVAT0WFnWvQtBptnAAjX6mU2_AanMDqetymnwXCAYP5vBSaBhGH3y2T9iE1aft0AZXaidc8wwS3XedkzpNaN1SL_-rXkDspi6byhrOfAT8hh5mlrOiU1HwaXGXRQimIA8f3pmkyUHkYjOUa2mMT02qM/s641/Screenshot_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="329" data-original-width="641" height="191" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggJtWRmXwYb5n2lnJGL-_GkaumoQn4eTpj_9cvYVAT0WFnWvQtBptnAAjX6mU2_AanMDqetymnwXCAYP5vBSaBhGH3y2T9iE1aft0AZXaidc8wwS3XedkzpNaN1SL_-rXkDspi6byhrOfAT8hh5mlrOiU1HwaXGXRQimIA8f3pmkyUHkYjOUa2mMT02qM/w373-h191/Screenshot_1.png" width="373" /></a></span></div><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text"><br /></span><p></p><p></p><p><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text">Ημερίδα Μαθηματικών διοργάνωσε η Ε.Μ.Ε Ημαθίας στο Παύλειο Πολιτιστικό Κέντρο στη Βέροια το απόγευμα του Σαββάτου 11 Νοεμβρίου. </span></p><p><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text">Η ημερίδα απευθυνόταν σε καθηγητές και μαθητές. </span></p><p><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text">Τα θέματα που παρουσιάστηκαν ήταν:
“Βασικές αρχές για την κατανόηση της αποδεικτικής διαδικασίας στο Γυμνάσιο και το Λύκειο” με Εισηγητές τον Γιάννη Θωμαΐδη, Δρ. Μαθηματικών, τ. Σχολικό Σύμβουλο και τον Δημήτρη Μπαρούτη, Μαθηματικό 3ου ΓΕ.Λ. Σταυρούπολης. </span></p><p><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text"> «Η αποδεικτική διαδικασία στο νέο πρόγραμμα σπουδών για τα Μαθηματικά» με Εισηγητή τον Θεοδόσιο Ζαχαριάδη, Ομότιμο Καθηγητή του τμήματος Μαθηματικών Ε.Κ.Π.Α. </span></p><p><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text">Χαιρετισμό πριν την έναρξη της ημερίδας απηύθυνε η Πρόεδρος της Ε.Μ.Ε Ημαθίας, Χαρίκλεια Σαραφοπούλου, η οποία προλόγισε και τους ομιλητές.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: large;"><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text"> </span><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text"><a href="https://www.youtube.com/watch?v=uI0B_cPrEIo"><span style="color: #2b00fe;">Video της ημερίδας</span></a></span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: small;"><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text">Πηγή: Verianet</span></span><span style="font-size: large;"><span class="yt-core-attributed-string yt-core-attributed-string--white-space-pre-wrap" role="text"> <br /></span></span></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-60349162517615860842023-11-04T14:10:00.003+02:002023-11-04T14:14:02.795+02:00Θέματα 15ου διαγωνισμού Υπατία 2023<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLyQInKbu8s8VG5ROHfoZVAgiTi3cZyHMJGDey2ORVjVlFae9OhDLECcnmBscD_Ix3UHTUWGmMGLnEbeiHl7C6nxAKSjvxZDRNg7EjNszQDnEZxnY2aKivOYmhmsr3KmnLgvyOtJJDoY0cQmrnmIT_eLIKlfMyPrUES9QD1WSkTTKyuPnd73XYPDiowoc/s263/Hipatia67.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="263" data-original-width="200" height="263" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLyQInKbu8s8VG5ROHfoZVAgiTi3cZyHMJGDey2ORVjVlFae9OhDLECcnmBscD_Ix3UHTUWGmMGLnEbeiHl7C6nxAKSjvxZDRNg7EjNszQDnEZxnY2aKivOYmhmsr3KmnLgvyOtJJDoY0cQmrnmIT_eLIKlfMyPrUES9QD1WSkTTKyuPnd73XYPDiowoc/s1600/Hipatia67.jpg" width="200" /></a></div><br /><p></p><p><b><span style="font-size: large;"> </span></b><span style="font-size: medium;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1NjKkphEJPsoMrxWZMJ9zUqvTxwA_tNx3/view?usp=drive_link"><b><span>Θέματα 15ου διαγωνισμού Υπατία 2023</span></b></a></span></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-64172832878435371842023-11-02T19:50:00.004+02:002023-11-02T19:50:38.805+02:00Οι Έλληνες γνώριζαν την Άλγεβρα πριν 2500 χρόνια και πολύ πριν του Άραβες<p> </p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYKbJ0TiO2gfBpNje5NHsIujGgfJz06j8ql3tme0VjamOZoGUgZNsJ_Q6wNAQ69R1wQBA311RpOOlfDcRI_hmo2XTjweU_SJd81W2G35z8-pXQkZLjIrZx5EXKqD6f05zPowRSDbMw-Tjb4N3fv_ofUCfBp1OMF_eKRGSUuGjk2UA1ZEWi-2greN0hdTU/s633/oi-ellines-gnorizan-tin-algevra-2500-chronia-poly.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="366" data-original-width="633" height="208" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYKbJ0TiO2gfBpNje5NHsIujGgfJz06j8ql3tme0VjamOZoGUgZNsJ_Q6wNAQ69R1wQBA311RpOOlfDcRI_hmo2XTjweU_SJd81W2G35z8-pXQkZLjIrZx5EXKqD6f05zPowRSDbMw-Tjb4N3fv_ofUCfBp1OMF_eKRGSUuGjk2UA1ZEWi-2greN0hdTU/w360-h208/oi-ellines-gnorizan-tin-algevra-2500-chronia-poly.jpg" width="360" /></a></div><br /><p></p><p><strong>Αντίθετα με ότι πιστεύαμε ως σήμερα, η Άλγεβρα δεν είναι
επινόηση των Αράβων. Νέα μελέτη αποδεικνύει ότι παλαιότερα οι αρχαίοι
Έλληνες είχαν εφεύρει «αλγεβρικούς» τρόπους επίλυσης πρακτικών
προβλημάτων</strong></p><p><strong>Η Άλγεβρα των αρχαίων Ελλήνων</strong></p><div class="ai-viewport-1" data-block="2" data-code="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" data-insertion-no-dbg="" data-insertion-position="prepend" data-selector=".ai-insert-2-37293875"><div class="code-block code-block-2" style="clear: both; display: block; margin: 8px auto; text-align: center;">
</div>
</div><p>Μέσα σε αυτά τα δύο έγγραφα κρύβεται μια σημαντική για τα
ελληνικά Μαθηματικά ανακάλυψη. Χρειάζεται βέβαια αρκετή εξάσκηση και
υπομονή για να βρεις δεξιά την παραπομπή στο σχόλιο του Θέωνος (ένατη
γραμμή από κάτω) και μετά να πας και γύρω από το κυρίως κείμενο του
Πτολεμαίου να ανακαλύψεις, κάπου εκεί στη μέση, την αρχή του σχολίου<span></span></p><a name='more'></a><p></p><p>Αν
θέλεις να έχεις επιτυχία στο ψάξιμο των παλαιών χειρογράφων, καλό είναι
να αποκτήσεις μερικά από τα προσόντα που διέθεταν οι παλιές κεντήστρες.
Μάτι εξασκημένο στις λεπτομέρειες, παρατηρητικότητα, αυτοσυγκέντρωση,
πειθαρχία, υπομονή, γνώσεις για την κάθε βελονιά και αντίστοιχα για το
κάθε σημαδάκι που θα συναντήσεις, αξίζει να δίνεις σημασία ακόμη και στα
περιθώρια, να έχεις μια αίσθηση για το έργο ολοκληρωμένο, επίσης να
διαθέτεις πείρα, λίγη τύχη ίσως, και μαζί με όλα τα προηγούμενα άπειρο
χρόνο.</p><p>Ευτυχώς υπάρχουν ακόμη άνθρωποι που τους ενδιαφέρει να
περνούν, όχι ημέρες και εβδομάδες μόνο, αλλά χρόνια ολόκληρα, κάνοντας
αυτό χωρίς καν αμοιβή και καθηγητές Πανεπιστημίου που πέρα από την
καθοδήγηση να μπορούν να εκτιμήσουν ένα εύρημα.</p><p>«Βρήκα κάτι που
νομίζω ότι θα σας ενδιαφέρει. Στα σχόλια του Θέωνα, στο βιβλίο 13 της
“Σύνταξης”, υπάρχει σε αρκετά σημεία η παραπομπή “ζήτει το εξής εν τοις
σχολίοις”…». Έτσι άρχιζε ένα ηλεκτρονικό μήνυμα που η μαθηματικός,
υποψήφια διδάκτωρ κυρία Ιωάννα Σκούρα έστελνε στον καθηγητή της κ.
Γιάννη Χριστιανίδη, αναπληρωτή καθηγητή στην Ιστορία των Μαθηματικών στο
τμήμα το ειδικό για τη Θεωρία της Επιστήμης (ΜΙΘΕ).</p><p>Ο καθηγητής
με τη σειρά του, όντας ένας από τους πιο αφοσιωμένους μελετητές του
Διόφαντου, κατάλαβε από την αρχή ότι αυτό το κάτι θα ενδιέφερε πολύ
περισσότερους από τους λίγους ειδικούς μελετητές του Πτολεμαίου, του
Διόφαντου, των σχολίων του Θέωνος και της ύστερης ελληνικής αρχαιότητας.
Ότι θα έδινε μια καινούργια διάσταση στην άποψη τη σχετική με την
ευχέρεια της χρήσης από τους Έλληνες μαθηματικούς «αλγεβρικών» μεθόδων
επίλυσης προβλημάτων. Αιώνες προτού οι Αραβες μας παρουσιάσουν τη δική
τους, αναμφισβήτητα χρήσιμη, συστηματοποίηση των αλγεβρικών μεθόδων,
μετά τον 9ο αιώνα μ.Χ.</p><p><strong>Το άλμα στις εξισώσεις</strong></p><p>Όπως
εξηγεί ο κ. Χριστιανίδης, υπάρχει μια γενικότερη διελκυστίνδα σε
παγκόσμιο πλέον επίπεδο σχετικά με τη συνεισφορά των Αράβων ως προς αυτό
που ονομάζουμε «Αλγεβρα». Τα εισαγωγικά εδώ μπαίνουν για να τονιστεί
πως δεν πρόκειται για την ολοκληρωμένη μορφή του οικοδομήματος που
σήμερα γνωρίζουμε, ως ξεχωριστό κλάδο των Μαθηματικών με αρνητικούς και
θετικούς αριθμούς, με μεταβλητές και παραμέτρους, με θεωρήματα για
ομάδες, δακτυλίους και σώματα. Αυτό που πήρε τότε το όνομα Αλγεβρα ήταν
στον πυρήνα του η έκφραση με εξισώσεις ενός γενικού τρόπου να λύνεις
προβλήματα.</p><p>Με δυο λόγια, είχαν από την εποχή του Διόφαντου
τουλάχιστον και δεν ξέρουμε ακόμη πόσο πιο πριν, οι έλληνες μαθηματικοί
βρει τον τρόπο προβλήματα που λύνονταν συνήθως μια περίπλοκη σειρά
αλγοριθμικών βημάτων, με πρακτική αριθμητική όπως λέγαμε στο δημοτικό
σχολείο, να τα λύνουν μεταφράζοντας το πρόβλημα σε εξίσωση με τη
χρησιμοποίηση κάτι αντίστοιχου με τον δικό μας σημερινό άγνωστο Χ.
Δηλαδή να καταστρώνουν και εκείνοι μια εξίσωση και να φθάνουν πολύ πιο
εύκολα στο αποτέλεσμα.</p><p>Η σημασία της ανακάλυψης που έγινε στην
έδρα της Ιστορίας των Μαθηματικών από τους Χριστιανίδη και Σκούρα
έγκειται στο ότι βρέθηκε και αποδείχθηκε πως ο μαθηματικός Θέων
χρησιμοποίησε και σε άλλα πεδία την «αλγεβρική» μέθοδο του Διόφαντου,
που ήταν μάλλον σε κοινή χρήση από τους τότε ανθρώπους, για τη λύση
πρακτικών αριθμητικών προβλημάτων. Προχώρησε δηλαδή στη λύση ενός καθαρά
γεωμετρικού μετρητικού προβλήματος, με προέλευση από την αστρονομία,
αφού σχετιζόταν με την τροχιά του πλανήτη Αρη, μετατρέποντάς το σε
εξίσωση.</p><p>Ηταν η πρώτη φορά, με τη βοήθεια του χειρογράφου και των
σχολίων των χαραγμένων επάνω σε αυτό, που επιβεβαιώθηκε κάτι τέτοιο και
έχει σαν σημαντική συνέπεια να θεωρούμε ότι κάπου αλλού μάλλον
βρίσκονται οι ρίζες αυτής της πρωτόφτιαχτης, προ-νεωτεριστικής
(pre-modern) Αλγεβρας από ό,τι για χρόνια πιστευόταν.</p><p>Μια σχολή
μελετητών επιμένει ότι όλα τα ξεκίνησαν οι Άραβες και ότι πριν δεν
υπήρχε τίποτε σχετικό με τη μαθηματική σκέψη με αλγεβρικούς όρους.
Απέναντι σε αυτή την άποψη αντιπαρατέθηκε μια άλλη επίσης απολυταρχική
σχολή. «Οι Άραβες δεν έκαναν τίποτε παραπάνω από το να μεταφράσουν και
να διασώσουν κείμενα και δεν προσέθεσαν μια γραμμή στο σώμα των ήδη
γνωστών μαθηματικών θεωριών». Τώρα, μετά και την αποδοχή του ευρήματος
των δύο ελλήνων μαθηματικών και τη δημοσίευση, έπειτα από κρίση, σε ένα
από τα αυστηρότερα περιοδικά του χώρου, στο ιαπωνικό SCIAMVS (14, 2013
41-57), μπορούμε να λέμε ότι πλέον μάλλον θα ανιχνευθούν προς
διαφορετική κατεύθυνση οι βασικές ρίζες της Αλγεβρας. Ο Διόφαντος και ο
Θέων δείχνουν την κατεύθυνση αυτή.</p><p><strong>Ψηλαφώντας τα χειρόγραφα</strong></p><p>Ένας
ερευνητής, και μάλιστα Έλληνας, μπορεί, αντί να βασιστεί στις εκδόσεις
των έργων των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών από άλλους, και μάλιστα
ξένους, να καθήσει να τα διαβάσει προσεκτικά ο ίδιος. Δεν είναι απλό,
αλλά συχνά ανταμείβεται για την υπομονή του και την επένδυση σε χρόνο,
αφού πρέπει πρώτα να περάσεις και από μια εκπαίδευση στην ανάγνωση
παλαιογράφων. Στην περίπτωση λοιπόν των σχολίων του Θέωνος,
χρησιμοποιήθηκε ένα αντίγραφο σε ηλεκτρονική μορφή από τον λεγόμενο
κώδικα Vaticanus Graecus 198.</p><p>Εκεί υπάρχει και το δέκατο τρίτο
βιβλίο των σχολίων του Θέωνα αλλά δεν προσφέρεται για απλή και
απρόσκοπτη ανάγνωση. Ισως και γι’ αυτό να πέρασε σχετικά ανεκμετάλλευτο
ως σήμερα. Υπάρχει το λεγόμενο τρέχον κείμενο, αλλά συχνά εδώ
διακόπτεται η ροή με την υπόδειξη προς τον αναγνώστη «ζήτει το εξής εν
τοις σχολίοις» ή «ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις μέχρι τέλους».</p><p>Με
αυτή την κάπως γριφώδη για τον αμύητο προτροπή ο Θέων, διακόπτοντας τη
ροή του κειμένου του, στέλνει τον αναγνώστη στο κείμενο του Πτολεμαίου,
που βρίσκεται και αυτό γραμμένο σε άλλο σημείο του πακέτου όλων αυτών
των φύλλων που συγκροτούν τον κώδικα μαζί με τα αντίστοιχα σχόλια
μεταφερμένα με επιμέλεια στο περιθώριο από τον άγνωστο αντιγραφέα.
«Αναζήτησε τη συνέχεια στα σχόλια» ή «αναζήτησε τη συνέχεια και διάβασε
εκεί το τέλος του (συγκεκριμένου) θέματος», διότι ο συγγραφέας εννοούσε
πως στο ρέον κυρίως κείμενό του θα καταπιαστεί με κάτι καινούργιο. Και
όταν έχεις την υπομονή να φθάσεις ως εκεί ακολουθώντας τα υπομνηστικά
σημάδια, πρέπει στη συνέχεια να αναγνωρίσεις από τα ίχνη που έχει αφήσει
στο περιθώριο ο (αντι)γραφέας για ποιο από όλα τα εκεί χαοτικά
τοποθετημένα σχόλια πρόκειται.</p><p><strong>Η γλώσσα των Μαθηματικών τότε</strong></p><p>Στη
συγκεκριμένη περίπτωση ο Θέων σε ένα αστρονομικό πρόβλημα του
Πτολεμαίου, όπου υπάρχει και ένα συνοδευτικό γεωμετρικό σχήμα, εκτός από
τη γεωμετρική απόδειξη που κάθεται και (ξανά)κάνει, συνεχίζει και
μεταφράζει τα δεδομένα και τα ζητούμενα μεγέθη στη γλώσσα που είχε
εισαγάγει ο Διόφαντος, με τρόπο που να σχηματιστεί μια εξίσωση. Αλλά και
αυτό είναι απλό να το παρουσιάζεις περιγραφικά αλλά όχι το ίδιο εύκολο
να το αναγνωρίσεις αν δεν κατέχεις τη μαθηματική γλώσσα της εποχής
εκείνης.</p><p>Μην ψάχνεις να βρεις κανέναν άγνωστο Χ ή τη στερεότυπη
δράση που ξέρει και ο κάθε μαθητής σήμερα: χωρίζω γνωστούς από
αγνώστους, αλλάζω τα πρόσημα (δεν γινόταν λόγος τότε για αρνητικούς
αριθμούς). Με δυο λόγια, δεν χρησιμοποιούσαν τον δικό μας συμβολισμό.
Πρέπει λοιπόν κάποιος να κατέχει καλά τον Διόφαντο για να βγάλει νόημα
και να εκτιμήσει την ανακάλυψη. Αφού λοιπόν στην εργασία τους οι δύο
ερευνητές αναλύσουν όλη την επίλυση του Θέωνος, ασχολούνται ιδιαίτερα με
μια φράση αποφασιστικής σημασίας: «διά της των Διοφαντείων αριθμών
αγωγής».</p><p>Σύμφωνα με τον κ. Χριστιανίδη, τη λέξη αριθμός οι
αλγεβριστές εκείνη την εποχή τη χρησιμοποιούσαν με δύο έννοιες: απλά για
να δηλώσουν το σύμβολο που αντιπροσώπευε την αντίστοιχη αριθμητική
αξία, δηλαδή ο αριθμός ε (το 5 της εποχής εκείνης), αλλά υπήρχε και μια
δεύτερη έννοια πιο τεχνική, π.χ. με το όνομα «1 Αριθμός» εννοούσαν αυτό
που εμείς σήμερα λέμε «άγνωστος Χ». Επίσης ήταν γνωστοί και άλλοι
τέτοιοι αλγεβρικοί αριθμοί, όπως «δύναμις», «κύβος», «δυναμοδύναμις»…</p><p>Όλοι
αυτοί οι αριθμοί συγκροτούν μια γλώσσα, την τεχνική γλώσσα της άλγεβρας
της εποχής εκείνης, στην οποία μετέφραζαν το κάθε πρόβλημα. Προϊόν
αυτής της μετάφρασης ήταν η εξίσωση. Έτσι μια έκφραση όπως «2 αριθμοί
και 3 μονάδες είναι ίσα με 10 μονάδες» είναι μια εξίσωση, σαν τη δική
μας 2Χ + 3 = 10. Αυτούς τους αριθμούς χαρακτηρίζει ο Θέων «Διοφαντείους
αριθμούς». Στην ουσία ήταν τα αλγεβρικά εργαλεία της εποχής.</p><p>Επίσης
αξιοπρόσεκτη είναι και η χρήση της λέξης «αγωγή». Εδώ φαίνεται ότι
επρόκειτο για μια γνωστή και χρησιμοποιούμενη και από άλλους μέθοδο,
κάτι ανάλογο με το δικό μας σημερινό «χρησιμοποίησα τη Μέθοδο των τριών
για να το βρω». Αρα βγάζουμε και το συμπέρασμα ότι στη διάρκεια των
χρόνων που μεσολάβησαν από τον Διόφαντο ως τον Θέωνα αυτές οι αλγεβρικές
μέθοδοι όχι μόνο απαθανατίστηκαν και δεν χάθηκαν, αλλά ήταν πλέον ένα
μαθηματικό εργαλείο σε χρήση. Και με τη διάχυσή τους αυτή για αρκετούς
αιώνες κίνησαν αργότερα την προσοχή των Αράβων μαθηματικών όπως ο Αλ
Χουραΐζμι, οι οποίοι αναμφισβήτητα πήγαν και αυτοί τη γνώση λίγο
παρακάτω.</p><p>Η ερευνητική ομάδα από το ΜΙΘΕ, προφανώς σε αναγνώριση
της σημασίας της εργασίας αυτής, έχει προσκληθεί και θα παρουσιάσει την
Τετάρτη 5 Μαρτίου τα σχετικά σε συνάντηση στο Παρίσι, τον Μάιο αυτό θα
επαναληφθεί στο Λονδίνο, μετά στο Ισραήλ και μάλλον θα υπάρξουν και
άλλοι που θα ήθελαν να μάθουν για το πώς ο Διόφαντος μέσα από τα σχόλια
του περιθωρίου και την παρατηρητικότητα κάποιων ξαναμπαίνει στην
κεντρική σκηνή.</p><p><strong>Έλληνες και Άραβες – Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος</strong></p><p>Ο
Κλαύδιος Πτολεμαίος έζησε περίπου από το 90 ως το 168 μ.Χ. στην
Αλεξάνδρεια, έγραψε όλα τα έργα του στα ελληνικά και οι σύγχρονοί του
παρ’ όλο που λέγεται ότι καταγόταν από τη Νότια Αίγυπτο τον θεωρούσαν
Ελληνα, αφού και το όνομά του ακόμη παρέπεμπε στον έλληνα επίγονο και
διάδοχο του Αλεξάνδρου στην Αίγυπτο. Ένα από τα γνωστότερα έργα του, για
αιώνες σύγγραμμα αναφοράς για την Αστρονομία, ήταν η λεγόμενη
«Μαθηματική Σύνταξη», αποτελούμενη από 13 βιβλία, που οι βυζαντινοί
λόγιοι την ανέφεραν ως «Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξη» και όταν τη
μετέφρασαν οι Άραβες έγινε πιο γνωστή, εξαιτίας και της πρόταξης του
αραβικού άρθρου «Αλ», ως «Αλμαγέστη».</p><p>Πέρα από τους αστρονομικούς
πίνακες τους σχετικούς με την κίνηση των πλανητών και άλλων ουρανίων
σωμάτων, ο Πτολεμαίος ασχολείται και με διάφορα άλλα προβλήματα που
απαιτούν μαθηματικούς υπολογισμούς. Μόνο που σε πολλά σημεία δεν κάνει
τον κόπο να παρουσιάσει αναλυτικές αποδείξεις θεωρώντας αυτές ως κάτι
ευκολοαπόδεικτο. Έτσι έδωσε την ευκαιρία σε έναν άλλο μαθηματικό, τον
Θέωνα, διευθυντή στο Μουσείο της Αλεξανδρείας, που έζησε κατά το Λεξικό
του Σουίδα την εποχή της αυτοκρατορίας του Θεοδοσίου Α’ (379-395 μ.Χ.),
πατέρα της δολοφονημένης από το πλήθος σπουδαίας γυναίκας μαθηματικού
Υπατίας, να γράψει άλλα δεκατρία βιβλία γεμάτα με σχόλια αντίστοιχα το
καθένα με αυτά του Πτολεμαίου.</p><p>Τα σχόλια αυτά εκδόθηκαν για πρώτη
φορά μαζί με τη «Μεγίστη» το 1538 στην κλασική έκδοση του Joachim
Camerarius. Σε αυτά δηλαδή διευκρίνιζε, απεδείκνυε, συμπλήρωνε. Δυστυχώς
έχουν χαθεί το ενδέκατο βιβλίο των σχολίων και τμήματα από το πέμπτο
και από άλλα βιβλία. Έχουν εκδοθεί τα τέσσερα πρώτα το 1936-1943 από τον
Rome, και εκείνος υπεδείκνυε στους επομένους από αυτόν να κοιτάξουν με
επιμέλεια και τα επόμενα, αλλά η υπόδειξή του αυτή για δεκαετίες
αγνοήθηκε.</p><p><strong>Ο Διόφαντος</strong></p><p>Ο Θέων είναι φανερό
από τα σχόλιά του ότι ήταν απόλυτα εξοικειωμένος με τα Μαθηματικά του
Διόφαντου. Του έλληνα μαθηματικού που έζησε στην Αλεξάνδρεια περί το 300
μ.Χ. και είναι γνωστό πως χρησιμοποιούσε «αλγεβρικές μεθόδους» για να
λύνει διάφορα αριθμητικά προβλήματα. Αυτά τού έδωσαν και το προσωνύμιο
«πατέρας της Αλγεβρας», αλλά μιας Αλγεβρας περισσότερο πρακτικής από όσο
τη γνωρίζουμε σήμερα, ευφυούς όμως και λειτουργικής για τις γνώσεις της
εποχής.Ο Μοχάμαντ Ιμπν Μουσά αλ Χουραΐζμι (περίπου 787-850 μ.Χ.) ήταν
ένας Πέρσης μαθηματικός που έζησε στη Βαγδάτη, στο ανάκτορο του χαλίφη
Αλ Μανσούρ.</p><p>Εισήγαγε στα μαθηματικά τους ινδικούς αριθμούς και το
θεσιακό δεκαδικό σύστημα, και το 820 εξέδωσε το πρώτο μεγάλο βιβλίο για
την Άλγεβρα της εποχής, ενώ και η λέξη αλγόριθμος είναι παραφθορά του
ονόματός του. Από εκείνη την εποχή αρχίζει και η μαθηματική επιστήμη να
χρωματίζεται από την επαφή των Αράβων μαθηματικών με αυτήν.</p><p><a href="https://hellas-now.com/oi-ellines-gnorizan-tin-algevra-2500-chronia-poly/#google_vignette">ΠΗΓΗ</a> </p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-79434055752464522452023-11-02T19:46:00.001+02:002023-11-02T19:46:09.987+02:00Αυτό είναι το μαθηματικό πρόβλημα που χρειάστηκε σχεδόν 100 χρόνια για να λυθεί<p> </p><p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwv4D_RGeseGxs_rjegWXiq9UvVwcmpTD9QMEeSC0GIMHRanvTdYi_c455F_nT5aYyVrt_f5X4T33aiud1VD7vTIOwpZWTcXw8OYzxKo_onrx2t1jvy3b6OBo9yos6ScRb0fQ0wxq_hekNfia-Rs95ZDw056UOIrKgGBkjOkcHSgPXEVswsJUWUKOPgXo/s1200/mathimatika-unsplash-1200x676-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="676" data-original-width="1200" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwv4D_RGeseGxs_rjegWXiq9UvVwcmpTD9QMEeSC0GIMHRanvTdYi_c455F_nT5aYyVrt_f5X4T33aiud1VD7vTIOwpZWTcXw8OYzxKo_onrx2t1jvy3b6OBo9yos6ScRb0fQ0wxq_hekNfia-Rs95ZDw056UOIrKgGBkjOkcHSgPXEVswsJUWUKOPgXo/w378-h213/mathimatika-unsplash-1200x676-1.jpg" width="378" /></a></div><br /><p></p><p>Σε κάποιο σημείο της ζωής μας όλοι έχουμε βρεθεί στην κατάσταση που
κοιτάμε ένα τεστ μαθηματικών το οποίο φαντάζει αδύνατο να λυθεί. Τι θα
γινόταν αν η εύρεση της λύσης ενός προβλήματος διαρκούσε σχεδόν έναν
αιώνα;</p><div id="inread-advertisement"><div id="article-inread-ad"><div class="ocm-player" style="margin: 1em auto;"></div></div></div>
<p>Για τους <strong>μαθηματικούς που ασχολούνται με το <a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CE%A1%CE%AC%CE%BC%CF%83%CE%B5%CF%8B" rel="noopener" target="_blank">Θεώρημα Ramsey</a></strong>, αυτό συμβαίνει σε μεγάλο βαθμό. Στην πραγματικότητα,<strong> μικρή πρόοδος είχε σημειωθεί στην επίλυση προβλημάτων Ramsey από τη δεκαετία του 1930.</strong>
</p><p>Τώρα, οι ερευνητές του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας στο Σαν
Ντιέγκο, Jacques Verstraete και Sam Mattheus, βρήκαν την απάντηση στο<strong> r(4,t), ένα μακροχρόνιο πρόβλημα Ramsey που προβλημάτιζε τον κόσμο των μαθηματικών για δεκαετίες.<span></span></strong></p><a name='more'></a>
<p></p>
<h2><strong>Ποιο ήταν το πρόβλημα Ramsey;</strong></h2>
<p>Στα μαθηματικά, ένα γράφημα είναι μια σειρά σημείων και οι γραμμές
μεταξύ αυτών των σημείων. Το Θεώρημα Ramsey υποδηλώνει ότι αν το γράφημα
είναι αρκετά μεγάλο,<strong> είναι εγγυημένο ότι θα βρείτε κάποιο είδος τάξης</strong> μέσα
σε αυτό – είτε ένα σύνολο σημείων χωρίς γραμμές μεταξύ τους είτε ένα
σύνολο σημείων με όλες τις πιθανές γραμμές μεταξύ τους (αυτά τα σύνολα
ονομάζονται “κλίκες”). Αυτό γράφεται ως <strong>r(s,t) όπου s είναι τα σημεία με γραμμές και t είναι τα σημεία χωρίς γραμμές.</strong>
</p><p>Για όσους από εμάς δεν ασχολούνται με τη θεωρία γραφημάτων, το πιο γνωστό πρόβλημα Ramsey, r(3,3), ονομάζεται μερικές φορές <strong>«το θεώρημα για τους φίλους και τους ξένους»</strong> και εξηγείται μέσω ενός πάρτι: <strong>σε
μια ομάδα έξι ατόμων, θα βρείτε τουλάχιστον τρία άτομα που γνωρίζονται
μεταξύ τους ή τρία άτομα που δεν γνωρίζονται μεταξύ τους.</strong> Η απάντηση στο r(3,3) είναι έξι.
</p><p><em>«Είναι ένα γεγονός της φύσης, μια απόλυτη αλήθεια. Δεν έχει
σημασία ποια είναι η κατάσταση ή ποιοι έξι άνθρωποι θα διαλέξετε – θα
βρείτε τρεις ανθρώπους που όλοι γνωρίζονται μεταξύ τους ή τρεις
ανθρώπους που όλοι δεν γνωρίζονται μεταξύ τους. Μπορεί να μπορέσετε να
βρείτε περισσότερους, αλλά είναι εγγυημένο ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον
τρεις στη μία ή την άλλη κλίκα»</em> ανέφερε ο Verstraete.
</p><p>Τι συνέβη <strong>αφότου οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι r(3,3) = 6; Φυσικά, ήθελαν να μάθουν τα r(4,4), r(5,5) και r(4,t)</strong> όπου
ο αριθμός των σημείων που δεν συνδέονται είναι μεταβλητός. Η λύση για
το r(4,4) είναι 18 και αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας ένα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Szekeres_theorem" rel="noopener">θεώρημα</a> που δημιουργήθηκε από τους Paul Erdös και George Szekeres τη δεκαετία του 1930.
</p><p>Προς το παρόν <strong>το r(5,5) είναι ακόμη άγνωστο.</strong>
</p><h2>Ένα καλό πρόβλημα αντεπιτίθεται</h2>
<p>Γιατί κάτι τόσο απλό στη διατύπωση είναι τόσο δύσκολο να λυθεί; <strong>Αποδεικνύεται ότι είναι πιο περίπλοκο από ό,τι φαίνεται.</strong> Ας
υποθέσουμε ότι γνωρίζατε ότι η λύση του r(5,5) ήταν κάπου μεταξύ 40-50.
Αν ξεκινούσατε με 45 σημεία, θα υπήρχαν περισσότερα από 10.234
γραφήματα για να εξετάσετε.
</p><p><em>«Επειδή αυτοί οι αριθμοί είναι τόσο δύσκολο να βρεθούν, οι
μαθηματικοί αναζητούν εκτιμήσεις. Αυτό είναι που έχουμε πετύχει ο Sam
και εγώ στην πρόσφατη εργασία μας. Πώς βρίσκουμε όχι την ακριβή
απάντηση, αλλά τις καλύτερες εκτιμήσεις για το ποιοι μπορεί να είναι
αυτοί οι αριθμοί Ramsey;»</em> εξηγεί ο Verstraete.
</p><p>Οι φοιτητές μαθηματικών μαθαίνουν τα προβλήματα Ramsey από νωρίς,
οπότε το r(4,t) ήταν στο μυαλό του Verstraete για το μεγαλύτερο μέρος
της επαγγελματικής του σταδιοδρομίας. Στην πραγματικότητα, είδε για
πρώτη φορά το πρόβλημα τυπωμένο στο βιβλίο «<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s_on_Graphs" rel="noopener">Erdös on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems</a>», γραμμένο από δύο καθηγητές του UC San Diego, την Fan Chung και τον αείμνηστο Ron Graham. Το πρόβλημα είναι <strong>μια υπόθεση του Erdös, ο οποίος προσέφερε 250 δολάρια στον πρώτο που θα μπορούσε να το λύσει.</strong></p><p><strong></strong></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><strong><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgloaeRJVgviZOHxmE8-gvkWU3bgIMFr4tQ5m7GeWpBLbWWdbrR_826hE6agP-rLwskvYZ8nk8ExheqzOk4zKCzxVFVUj8BXijXCza2neKbXoj_aj9t8gLuMH4pzD_cg2PI-MYu1QGl0h66f5MWLXennEcErIDojZkKVOtqSDoZsROW05_ahNFv9w_s2pM/s500/maths2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="404" height="404" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgloaeRJVgviZOHxmE8-gvkWU3bgIMFr4tQ5m7GeWpBLbWWdbrR_826hE6agP-rLwskvYZ8nk8ExheqzOk4zKCzxVFVUj8BXijXCza2neKbXoj_aj9t8gLuMH4pzD_cg2PI-MYu1QGl0h66f5MWLXennEcErIDojZkKVOtqSDoZsROW05_ahNFv9w_s2pM/w328-h404/maths2.jpg" width="328" /></a></strong></div><strong><br /> </strong>
<p></p><h2>Τα ψευδοτυχαία γραφήματα έδωσαν την λύση</h2>
<p>«Πολλοί άνθρωποι έχουν σκεφτεί το r(4,t). Είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα
για πάνω από 90 χρόνια. Αλλά δεν ήταν κάτι που βρισκόταν στην πρώτη
γραμμή της έρευνάς μου. Όλοι γνωρίζουν ότι είναι δύσκολο και όλοι έχουν
προσπαθήσει να το λύσουν, οπότε αν δεν έχεις μια νέα ιδέα, δεν είναι
πιθανό να φτάσεις πουθενά» εξήγησε ο Verstraete.
</p><p>Πριν από περίπου τέσσερα χρόνια, ο Verstraete εργαζόταν πάνω σε
ένα διαφορετικό πρόβλημα Ramsey με έναν μαθηματικό στο Πανεπιστήμιο του
Ιλινόις-Τσικάγο, τον Dhruv Mubayi. Μαζί <strong>ανακάλυψαν ότι τα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorandom_graph" rel="noopener" target="_blank">ψευδοτυχαία γραφήματα</a> θα μπορούσαν να ενισχύσουν τις τρέχουσες γνώσεις για αυτά τα παλιά προβλήματα.</strong>
</p><p>Το 1937, ο Erdös ανακάλυψε ότι η <strong>χρήση τυχαίων γραφημάτων θα μπορούσε να δώσει καλά κατώτερα όρια στα προβλήματα Ramsey</strong>. Αυτό που ανακάλυψαν οι Verstraete και Mubayi ήταν ότι <strong>η δειγματοληψία από ψευδοτυχαία γραφήματα δίνει συχνά καλύτερα όρια για τους αριθμούς Ramsey από ό,τι τα τυχαία γραφήματα.</strong> Αυτά τα όρια -ανώτερα και κατώτερα όρια στην πιθανή απάντηση- περιόριζαν <strong>το εύρος των εκτιμήσεων που μπορούσαν να κάνουν</strong>. Με άλλα λόγια, <strong>πλησίαζαν περισσότερο στην αλήθεια.</strong>
</p><p>Το<strong> 2019, </strong>προς τέρψη του κόσμου των μαθηματικών<strong>, οι Verstraete και Mubayi χρησιμοποίησαν ψευδοτυχαία γραφήματα για να λύσουν το r(3,t)</strong>. Ωστόσο, ο Verstraete <strong>δυσκολεύτηκε να φτιάξει ένα ψευδοτυχαίο γράφημα που θα μπορούσε να βοηθήσει στην επίλυση του r(4,t).</strong></p><p><strong></strong></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><strong><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg340bg0hqxe1tDfqphZrql85Ka8lF7b4f_fktYLjdCxZcyYPjg3s8vsX9D9moATvFnYo2wcvOdbKQzvKledOvx6uMOwBORqgXno3BvQeL-86uxld1VIwOwYPxn8Z2delSgdEbHZKdnFeL1mMQVmvKI8NTj3vSVo9rHsKlqVR8hlOt-_JSCv2jWUdh4AJQ/s800/Jacques-Verstraete.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="529" data-original-width="800" height="241" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg340bg0hqxe1tDfqphZrql85Ka8lF7b4f_fktYLjdCxZcyYPjg3s8vsX9D9moATvFnYo2wcvOdbKQzvKledOvx6uMOwBORqgXno3BvQeL-86uxld1VIwOwYPxn8Z2delSgdEbHZKdnFeL1mMQVmvKI8NTj3vSVo9rHsKlqVR8hlOt-_JSCv2jWUdh4AJQ/w363-h241/Jacques-Verstraete.jpg" width="363" /></a></strong></div><strong><br /> </strong>
<p></p><p> πηγή: Jacques Verstraete</p>
<p> Aρχισε να ασχολείται με διάφορους τομείς των μαθηματικών εκτός της συνδυαστικής, όπως <strong>η πεπερασμένη γεωμετρία, η άλγεβρα και οι πιθανότητες</strong>.
Τελικά ένωσε τις δυνάμεις του με τον Mattheus, έναν μεταδιδακτορικό
ερευνητή της ομάδας του, του οποίου το υπόβαθρο ήταν στην πεπερασμένη
γεωμετρία.
</p><p><em>«Αποδείχθηκε ότι το ψευδοτυχαίο γράφημα που χρειαζόμασταν
μπορούσε να βρεθεί στην πεπερασμένη γεωμετρία. Ο Sam ήταν το τέλειο
άτομο για να έρθει και να μας βοηθήσει να φτιάξουμε αυτό που
χρειαζόμασταν»</em> δήλωσε ο Verstraete.
</p><p>Μόλις είχαν το ψευδοτυχαίο γράφημα στη θέση του, έπρεπε ακόμη να
λύσουν αρκετά κομμάτια των μαθηματικών. Χρειάστηκε σχεδόν ένας χρόνος,
αλλά τελικά συνειδητοποίησαν ότι είχαν μια λύση: <strong>το r(4,t) είναι κοντά σε μια κυβική συνάρτηση του t.</strong> Αν
θέλετε ένα πάρτι όπου θα υπάρχουν πάντα τέσσερα άτομα που όλοι
γνωρίζονται μεταξύ τους ή t άτομα που δεν γνωρίζονται μεταξύ τους, θα
χρειαστείτε περίπου t<sup>3</sup> (t εις την τρίτη) άτομα παρόντα.
Υπάρχει ένας μικρός αστερίσκος (στην πραγματικότητα ένα 0) επειδή
πρόκειται για μια εκτίμηση και όχι για μια ακριβή απάντηση. Αλλά <strong>το t<sup>3</sup> είναι πολύ κοντά στην ακριβή απάντηση.</strong>
</p><p>Τα ευρήματα βρίσκονται υπό εξέταση στο Annals of Mathematics. Μία <a href="https://arxiv.org/abs/2306.04007" rel="noopener" target="_blank">προέκδοση έχει ανέβει στο arXiv.</a>
</p><p><em>«Πραγματικά μας πήρε χρόνια για να το λύσουμε. Και υπήρχαν
πολλές φορές που είχαμε κολλήσει και αναρωτιόμασταν αν θα μπορούσαμε να
το λύσουμε καθόλου. Αλλά δεν πρέπει ποτέ να τα παρατάμε, όσος χρόνος και
αν χρειαστεί»</em> δήλωσε ο Verstraete, ο οποίος τόνισε τη σημασία της επιμονής, που την υπενθυμίζει συχνά στους μαθητές του. <em>«Αν διαπιστώσετε ότι το πρόβλημα είναι δύσκολο και έχετε κολλήσει, αυτό σημαίνει ότι είναι ένα καλό πρόβλημα. Η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fan_Chung" rel="noopener" target="_blank">Fan Chung</a> είπε ότι ένα καλό πρόβλημα αντιστέκεται. Δεν μπορείτε να περιμένετε να αποκαλυφθεί μόνο του»</em>.
</p><p>Ο Verstraete γνωρίζει ότι μια τέτοια επίμονη αποφασιστικότητα ανταμείβεται καλά: <em>«Μου τηλεφώνησε η Fan Chung και μου είπε ότι μου χρωστάει 250 δολάρια».</em></p><p><em> <a href="https://www.enikos.gr/technology/afto-einai-to-mathimatiko-provlima-pou-chreiastike-schedon-100-chronia-gia-na-lythei/2054508/">ΠΗΓΗ</a></em>
</p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-84764580385111862302023-10-22T17:16:00.005+03:002023-10-22T17:16:56.619+03:00Τα μαθηματικά πριν από τον ύπνο μπορούν να βελτιώσουν τη μνήμη<p> </p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfObFHGpuDXNRmz4Y6dWYGawHRf-MSqO1nBhr5VE2d9EMSLosWkONW7lGbMyX-Cqk0zruFyBwHalcRKZ5Cxd8f36lrzp8vpX-cFZKXAur-wOd7b0ZEMc2TNX9xt59-qQTeLRT5wt0ycJ22DkbWEnWyTo9zgMEzHvmdw4Nd6On4oqqf5H3EM7bOAQaCG7c/s2560/jeshoots-com-5EKw8Z7CgE4-unsplash-scaled.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1707" data-original-width="2560" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfObFHGpuDXNRmz4Y6dWYGawHRf-MSqO1nBhr5VE2d9EMSLosWkONW7lGbMyX-Cqk0zruFyBwHalcRKZ5Cxd8f36lrzp8vpX-cFZKXAur-wOd7b0ZEMc2TNX9xt59-qQTeLRT5wt0ycJ22DkbWEnWyTo9zgMEzHvmdw4Nd6On4oqqf5H3EM7bOAQaCG7c/s320/jeshoots-com-5EKw8Z7CgE4-unsplash-scaled.jpg" width="320" /></a></div><p></p><p>Οι ερευνητές Jayne Spiller και Camilla Gilmore στο Κέντρο Μαθηματικής
Γνώσης του Πανεπιστημίου του Loughborough στο Ηνωμένο Βασίλειο,
μελέτησαν πώς συνδέεται ο ύπνος με την μαθηματική μνήμη, διαπιστώνοντας
ότι ο ύπνος μετά την εκμάθηση βελτιώνει την ανάκληση πληροφοριών.</p><div id="inread-advertisement"><div id="article-inread-ad"><div class="ocm-player" style="margin: 1em auto;"></div></div></div>
<p>Στην<a href="https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsos.230663" rel="noopener" target="_blank"> εργασία τους</a>,
“Θετική επίδραση του ύπνου στην ανάκληση πράξεων πολλαπλασιασμού,”<span></span></p><a name='more'></a> που
δημοσιεύτηκε στο Royal Society Open Science, οι δύο επιστήμονες
ερεύνησαν εάν η εκμάθηση σύνθετων ασκήσεων πολλαπλασιασμού πριν από τον
ύπνο ωφελεί την μνήμη σε σύγκριση με την εκμάθηση τους κατά τη διάρκεια
της ημέρας, προκειμένου να κατανοήσουν πώς επηρεάζει ο ύπνος την
ανάκληση μαθηματικών πράξεων, ειδικά των πινάκων προπαίδειας.
<p></p><p>Στη μελέτη συμμετείχαν 77 ενήλικες, ηλικίας 18 έως 40 ετών από το
Ηνωμένο Βασίλειο. Κάθε άτομο έμαθε σύνθετα προβλήματα πολλαπλασιασμού
σε δύο διαφορετικές συνθήκες: πριν από τον ύπνο (sleep learning) και το
πρωί (wake learning). Οι συμμετέχοντες ολοκλήρωσαν διαδικτυακές
συνεδρίες στις οποίες έμαθαν νέα σύνθετα προβλήματα πολλαπλασιασμού ή
εξετάστηκαν σε υλικό στο οποίο είχαν προηγουμένως εκπαιδευτεί. Οι
συνεδρίες εκμάθησης περιλάμβαναν τόσο δοκιμασίες χωρίς χρονόμετρο όσο
και δοκιμασίες με χρονόμετρο.
</p>
<p data-sourcepos="3:1-3:342">Οι συμμετέχοντες είχαν καλύτερη μνήμη όταν
η εκμάθηση γινόταν πριν από τον ύπνο, σε σχέση με την εκμάθηση την
ημέρα (με μεσαίο μέγεθος επίδρασης). Ακόμη και όταν οι συμμετέχοντες
είχαν διαφορετικές ικανότητες εκμάθησης, η εκμάθηση πριν από τον ύπνο
φαίνεται ότι είχε ευεργετική επίδραση στην μνήμη, (μικρότερο μέγεθος
επίδρασης).
</p><p data-sourcepos="5:1-5:231">Η μαθηματική επάρκεια των
συμμετεχόντων συσχετίστηκε με τις βαθμολογίες τους στην εκμάθηση, αλλά
όχι με το μέγεθος του οφέλους που σχετίζεται με τον ύπνο για την μνήμη.
</p><p data-sourcepos="7:1-7:460">Η μελέτη υπογραμμίζει τις πιθανές
εκπαιδευτικές προεκτάσεις της αξιοποίησης των ωφελειών που σχετίζονται
με τον ύπνο. Ο θετικός αντίκτυπος του ύπνου στην ανάκληση σύνθετων
πράξεων πολλαπλασιασμού θα μπορούσε να είναι ιδιαίτερα χρήσιμος για τα
παιδιά που εξασκούνται σε πίνακες πολλαπλασιασμού ή σε άλλες δεξιότητες
που σχετίζονται με απομνημόνευση μαθηματικών πράξεων. Ωστόσο, θα ήταν
ενδιαφέρον να δούμε πόσο καλά θα γινόταν δεκτό ένα μάθημα μαθηματικών
πριν από τον ύπνο.
</p><p data-sourcepos="9:1-9:514">Ενώ οι συγγραφείς υποστηρίζουν ότι ο
ύπνος προσέφερε πρόσθετο όφελος στην μνήμη σε σύγκριση με την εκμάθηση
κατά τη διάρκεια της ημέρας, οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η
κωδικοποίηση ενισχύονται πιθανώς από την έλλειψη συνεχιζόμενων
εξωτερικών ερεθισμάτων. Οι συγγραφείς επισημαίνουν αυτόν τον περιορισμό
της έλλειψης άλλων σχετικών ερεθισμάτων με παρόμοια πολυπλοκότητα
κωδικοποίησης για να αποδείξουν στη μελέτη τους την εξειδίκευση τους
οφέλους που σχετίζεται με τον ύπνο στην μνήμη.
</p><p data-sourcepos="11:1-11:603">Όταν κοιμόμαστε, ο εγκέφαλος μπορεί
να «κλειδώνει» κάτι καινούργιο που μαθαίνουμε επειδή δεν υπάρχει
ανταγωνισμός. Αντίθετα, όταν είμαστε ξύπνιοι, ο εγκέφαλος μπορεί να
βρεθεί αντιμέτωπος με συνομιλίες, ανάγνωση άρθρων, παρακολούθηση
τηλεόρασης, και άλλο εκπαιδευτικό υλικό. Αυτός ο ανταγωνισμός για την
κωδικοποίηση της μνήμης όταν το μυαλό δεν κοιμάται, θα μπορούσε να είναι
η αιτία των διαφορών στη μνήμη, που παρατηρήθηκαν στη μελέτη. </p><p data-sourcepos="11:1-11:603"><a href="https://www.enikos.gr/timeout/ta-mathimatika-prin-apo-ton-ypno-boroun-na-veltiosoun-ti-mnimi/2042481/">ΠΗΓΗ</a> </p><p></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-15982753571703054782023-10-04T08:11:00.000+03:002023-10-04T08:11:02.313+03:00Το Πυθαγόρειο θεώρημα βρέθηκε σε πήλινη πλάκα 1.000 χρόνια αρχαιότερη από τον Πυθαγόρα<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0dmkFV_DmMJSR9pxPT_D4mGMU0NaTSeGQd1FkajczhNPssZtUEVDjVlFP_qnKHOYHJZQFXFTkVKKU82YKANqio7BrzHdqmWYCxKuOYb4wbp4lWhei2OHeRAeTn-Uiau6FAexntp9OC9AGLH3ihvbX6IfLm43mzzqelWmcVNQYC7Hd5GqST-lODnUeelo/s1200/clay-tablet-mathemetical.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="838" data-original-width="1200" height="223" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0dmkFV_DmMJSR9pxPT_D4mGMU0NaTSeGQd1FkajczhNPssZtUEVDjVlFP_qnKHOYHJZQFXFTkVKKU82YKANqio7BrzHdqmWYCxKuOYb4wbp4lWhei2OHeRAeTn-Uiau6FAexntp9OC9AGLH3ihvbX6IfLm43mzzqelWmcVNQYC7Hd5GqST-lODnUeelo/s320/clay-tablet-mathemetical.jpg" width="320" /></a></div><br /><p></p><p>Όσοι μελετούν μαθηματικά για αρκετό καιρό, έχουν πιθανότατα
καταραστεί τον Πυθαγόρα. Εκτός και εάν είναι λάτρεις των τριγώνων, καθώς
τότε έχουν σίγουρα αναφωνήσει «δόξα στον Πυθαγόρα».<span></span></p><a name='more'></a><p></p><div id="inread-advertisement"><div id="article-inread-ad"><div class="ocm-player" style="margin: 1em auto;"></div></div></div>
<p>Ωστόσο, ενώ ο Πυθαγόρας ήταν μια σημαντική ιστορική προσωπικότητα
στην ανάπτυξη των μαθηματικών, δεν κατάλαβε την εξίσωση που σχετίζεται
περισσότερο με το όνομά του (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>).
Στην πραγματικότητα, υπάρχει μια αρχαία βαβυλωνιακή πλάκα (με το όνομα
IM 67118) που χρησιμοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα για να λύσει το μήκος
μιας διαγωνίου μέσα σε ένα ορθογώνιο. Η πλάκα, που πιθανότατα
χρησιμοποιούταν για διδασκαλία, <a href="https://mathsciencehistory.com/2022/03/08/it-didnt-belong-to-pythagoras/" rel="noopener">χρονολογείται από το 1770 π.Χ.,</a> δηλαδή αιώνες πριν γεννηθεί ο <a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pythagoras/#:~:text=Pythagoras%20was%20a%20Greek%20philosopher,the%20first%20to%20prove%20it." rel="noopener">Πυθαγόρας το 570 περίπου π.Χ.</a></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhk_1_r-tEvlxjgR-Hm_vz4lBBvsoJ87nN3aHNQv9jMEpIxKhQWjcMlW88tvXjezWQcSvi-YWEMyK0JZL5DRY_8y3m8xNmfiEb8sMgjidn0bumEUHF2isnaLVKwcd3waHobXMC6bCx9v6EW4hXTfnrGHPwQJ0a00KyEtGLVBz7BCxvUkqmS52E73cZeAoI/s1153/Clay_tablet_mathematical_geometric-algebraic_similar_to_the_Pythagorean_theorem._From_Tell_al-Dhabbai_Iraq._2003-1595_BCE._Iraq_Museum.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1153" data-original-width="800" height="333" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhk_1_r-tEvlxjgR-Hm_vz4lBBvsoJ87nN3aHNQv9jMEpIxKhQWjcMlW88tvXjezWQcSvi-YWEMyK0JZL5DRY_8y3m8xNmfiEb8sMgjidn0bumEUHF2isnaLVKwcd3waHobXMC6bCx9v6EW4hXTfnrGHPwQJ0a00KyEtGLVBz7BCxvUkqmS52E73cZeAoI/w231-h333/Clay_tablet_mathematical_geometric-algebraic_similar_to_the_Pythagorean_theorem._From_Tell_al-Dhabbai_Iraq._2003-1595_BCE._Iraq_Museum.jpg" width="231" /></a></div> Η πήλινη πλάκα (IM 67118) από το Tell al-Dhabba’i του Ιράκ / πηγή: Μουσείο του Ιράκ<br />
<p></p><p>Μια άλλη πλάκα που χρονολογείται περίπου από 1800–1600 π.Χ. έχει
ένα τετράγωνο με επισημασμένα τρίγωνα μέσα. Η μετάφραση των σημάνσεων
από τη βάση 60 – το σύστημα μέτρησης που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι
Βαβυλώνιοι – έδειξε ότι αυτοί οι αρχαίοι μαθηματικοί γνώριζαν το
Πυθαγόρειο θεώρημα καθώς και άλλες προηγμένες μαθηματικές έννοιες. </p><p>«Το συμπέρασμα είναι αναπόφευκτο. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τη σχέση
μεταξύ του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου και της πλευράς του (d =
a√2)»,<a href="https://link.springer.com/article/10.1057/jt.2009.16" rel="noopener"> γράφει ο μαθηματικός Bruce Ratner.</a>
«Αυτός ήταν πιθανώς ο πρώτος αριθμός που είναι γνωστός ότι είναι
παράλογος. Ωστόσο, αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι ήταν εξοικειωμένοι
με το Πυθαγόρειο Θεώρημα – ή, τουλάχιστον, με την ειδική περίπτωση του
για τη διαγώνιο ενός τετραγώνου d<sup>2 </sup>= a<sup>2 </sup>+ a<sup>2 </sup>= 2a<sup>2</sup>) – περισσότερα από χίλια χρόνια πριν από τον μεγάλο σοφό για τον οποίο ονομάστηκε» προσθέτει. </p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2bIfVA7f9hToCx32xhWxTD_TCguTCiYwMCqNCRBGRfiDKQygt7FrE2pIr-ufsN4YomtU3Gt1vrRx3iLJrEUqqXym1IXY0lv4_EKhA0Bij7tU8dokKEgh3xIMUpoM30qxClBYhFBlzdlfa7xqKNK3vLze3enP4zHoxyB5Rs3ZbVyDz71kkKhrptCoJcMM/s599/Kapitolinischer_Pythagoras.webp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="599" data-original-width="449" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2bIfVA7f9hToCx32xhWxTD_TCguTCiYwMCqNCRBGRfiDKQygt7FrE2pIr-ufsN4YomtU3Gt1vrRx3iLJrEUqqXym1IXY0lv4_EKhA0Bij7tU8dokKEgh3xIMUpoM30qxClBYhFBlzdlfa7xqKNK3vLze3enP4zHoxyB5Rs3ZbVyDz71kkKhrptCoJcMM/s320/Kapitolinischer_Pythagoras.webp" width="240" /></a></div><br /><p></p><p>Γιατί λοιπόν αυτό αποδόθηκε στον Πυθαγόρα; Δεν υπάρχει κάποια πρωτότυπη γραφή από τον <a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%85%CE%B8%CE%B1%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B1%CF%82" rel="noopener">Πυθαγόρα</a>.
Ό,τι γνωρίζουμε γι’ αυτόν μεταδόθηκε από άλλους, ιδιαίτερα από τους
Πυθαγόρειους – μέλη μιας σχολής που ίδρυσε στη σημερινή νότια Ιταλία. Το
σχολείο, που ονομαζόταν «Ημικύκλιο του Πυθαγόρα», ήταν μυστικοπαθές,
αλλά η γνώση που μάθαινε ή ανακαλύφθηκε εκεί μεταδιδόταν και συχνά
αποδίδεται στον ίδιο τον άνθρωπο. </p><p>«Ένας λόγος για τη σπανιότητα των αρχικών πηγών του Πυθαγόρα ήταν ότι
η πυθαγόρεια γνώση μεταδόθηκε από τη μια γενιά στην άλλη από στόμα σε
στόμα, καθώς το υλικό γραφής ήταν σπάνιο» τονίζει ο Ratner. «Επιπλέον,
από σεβασμό προς τον αρχηγό τους, πολλές από τις ανακαλύψεις που έκαναν
οι Πυθαγόρειοι αποδόθηκαν στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Αυτό θα εξηγούσε τον
όρο “Πυθαγόρειο θεώρημα”».
</p><p>Αν και ο Πυθαγόρας δεν δημιούργησε τη θεωρία, η σχολή του σίγουρα την έκανε <a href="https://web.cs.ucla.edu/~klinger/dorene/math1.htm#:~:text=Pythagorean%20Theorem&text=The%20Pythagorean%20theorem%20was%20first,until%20Pythagoras%20stated%20it%20explicitly." rel="noopener">ευρέως γνωστή</a> και συνδέθηκε μαζί του για τα επόμενα χιλιάδες χρόνια, τουλάχιστον. </p><p><a href="https://www.enikos.gr/timeout/to-pythagoreio-theorima-vrethike-se-pilini-plaka-1-000-chronia-archaioteri-apo-ton-pythagora/2038612/">ΠΗΓΗ</a> </p><p> </p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-3881788711412001312023-09-20T17:42:00.002+03:002023-09-20T17:42:57.485+03:00Ο γρίφος με τον φράχτη και η έξυπνη απάντηση του μαθηματικού<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4jot_nR9hs9BbUZZGH2iU9KU9IwwQMmzZrUM7wVonaV3Nojw6IhgPR3gspXr6CbS9LfSJmhXoI-nBe43Gw_wYZbChwATk4gNPi1HEFbXmlNwDbpKw_WWJNkiQBQ9whyZ2cfwnjkJGOvJTu4zsUhwvmKB9KihCJtOD0Wo2QNyyj_M64hPrls5eZC505o0/s868/fraktis.webp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="538" data-original-width="868" height="270" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4jot_nR9hs9BbUZZGH2iU9KU9IwwQMmzZrUM7wVonaV3Nojw6IhgPR3gspXr6CbS9LfSJmhXoI-nBe43Gw_wYZbChwATk4gNPi1HEFbXmlNwDbpKw_WWJNkiQBQ9whyZ2cfwnjkJGOvJTu4zsUhwvmKB9KihCJtOD0Wo2QNyyj_M64hPrls5eZC505o0/w436-h270/fraktis.webp" width="436" /></a></div><br /> <p></p><div class="jsx-2277262082 wpBody font_100 bodyArticleStandard">
<p>Κάποτε ένας αγρότης προκάλεσε έναν μηχανικό, έναν φυσικό και έναν
μαθηματικό σε μια δοκιμασία: Θα έπρεπε με το ίδιο κομμάτι φράχτη που
τους έδωσε, να διαγωνιστούν για το ποιος θα καταφέρει να περιφράξει το
μεγαλύτερο κομμάτι γης. Δύσκολη δοκιμασία αλλά όλοι είχαν μια απάντηση…</p>
<p>Ο μηχανικός έκανε τον φράχτη κυκλικό λέγοντας πως αυτός είναι ο πιο αποτελεσματικός τρόπος περίφραξης αλλά βέβαια δεν κέρδισε.<br />Ο
φυσικός έστησε τον φράχτη σε μια μεγάλη ευθεία γραμμή και θεώρησε πως
εκτείνεται επ’ άπειρο. Με αυτό τον τρόπο είπε πως κατόρθωσε να
περιφράξει τον μισό πλανήτη.<br />Ο μαθηματικός όμως γέλασε και με τον τρόπο που χρησιμοποίησε τον φράχτη, κέρδισε την δοκιμασία. Τι έκανε;</p><div class="jsx-142156621 amSlotInReadVideo"><div class="jsx-142156621 ocm-inread videoCnt"></div></div>
<p><br />Η απάντηση:<span></span></p><a name='more'></a><p></p>
<p>Ο μαθηματικός έστησε έναν μικρό φράχτη γύρω από τον εαυτό του και στη συνέχεια δήλωσε πως ο ίδιος ήταν έξω από τον φράχτη.</p><p><a href="https://www.newsbeast.gr/weird/arthro/9896776/o-grifos-me-ton-frachti-kai-i-exypni-apantisi-tou-mathimatikou" target="_blank">ΠΗΓΗ</a> </p>
</div>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-55716511470964593712023-09-20T17:37:00.001+03:002023-09-20T17:37:42.976+03:00Μαθηματικός κατάφερε να λύσει το πρόβλημα της «λωρίδας του Μέμπιους» μετά από 46 χρόνια<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglhLJrXD8Gl4eqGmDcpm2XykcenSOLaR8ZiM6E1mw0S1bcHrrOwTxlBIrwMHoWL6TKBifZFFbc9xmR4AfsGOZ9z7aW1mTZkpAX8HOH_vCj_arLgl15JAv4i-C4AlXw5cm50RrQjiHnSSTZcQdEbH_uES7jy5z96b03TOa39TVRlvNSoBgv9NAitBDnDg0/s868/44DAA5B1-8418-4D55-BCA2359C8C87915E_source.webp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="562" data-original-width="868" height="287" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglhLJrXD8Gl4eqGmDcpm2XykcenSOLaR8ZiM6E1mw0S1bcHrrOwTxlBIrwMHoWL6TKBifZFFbc9xmR4AfsGOZ9z7aW1mTZkpAX8HOH_vCj_arLgl15JAv4i-C4AlXw5cm50RrQjiHnSSTZcQdEbH_uES7jy5z96b03TOa39TVRlvNSoBgv9NAitBDnDg0/w444-h287/44DAA5B1-8418-4D55-BCA2359C8C87915E_source.webp" width="444" /></a></div><p></p><p><br /></p><div class="jsx-2277262082 wpBody font_100 bodyArticleStandard">
<p>Τη λύση σε ένα φαινομενικά απλό ερώτημα, το οποίο όμως βασάνισε την
μαθηματική κοινότητα για 46 ολόκληρα χρόνια βρήκε ο Richard Schwartz,
μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Brown των ΗΠΑ.</p>
<p>Πρόκειται για τη λωρίδα του Μέμπιους για την οποία οι Charles Weaver και Benjamin Halpern αναρωτήθηκαν το 1977: <strong>«Ποια είναι η μικρότερη δυνατή διάσταση, χωρίς να τέμνεται με τον εαυτό της;»</strong>.<span></span></p><a name='more'></a><p></p><div class="jsx-142156621 amSlotInReadVideo "><div class="jsx-142156621 cnt"><div class="jsx-426522538 amSlot filled"><div class="amunitContainer"><div class="amBox" data-lazyloaded-by-ocm="" data-oau-code="/2836794/newsbeast.gr/article_inread" data-unit="article_inread" id="amSlot-5"><div id="google_ads_iframe_/2836794/newsbeast.gr/article_inread_0__container__" style="border: 0pt; display: inline-block; height: 250px; width: 300px;"></div></div></div></div></div></div>
<figure class="wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio"><div class="wp-block-embed__wrapper">
</div></figure>
<p>Στην πρωτοποριακή μελέτη τους, οι Halpern και Weaver κατέληξαν σε ένα
όριο για τη λωρίδα του Μέμπιους, κάνοντας παραλληλισμούς με την κοινή
γεωμετρία του διπλωμένου χαρτιού. Ειδικότερα, πρότειναν ότι ο λόγος
μεταξύ του μήκους και του πλάτους μιας λωρίδας του Μέμπιους πρέπει να
υπερβαίνει το √3, δηλαδή περίπου το 1,73. Έτσι, μια λωρίδα του Μέμπιους
που έχει μήκος ένα εκατοστό θα πρέπει να έχει πλάτος μεγαλύτερο από 1,73
εκατοστά.</p>
<p>Ο Schwartz, έχοντας μάθει για αυτό το μαθηματικό πρόβλημα πριν από
τέσσερα χρόνια, προσπαθούσε ακούραστα να το λύσει από τότε. Αρχικά
σημείωσε σημαντική πρόοδο σε ένα paper που ανάρτησε το 2021, αλλά
αργότερα συνειδητοποίησε ότι είχε κάνει ένα σημαντικό λάθος στην
προσέγγιση βελτιστοποίησης που ακολουθούσε.</p>
<p>Εν τέλει, ο πειραματισμός του Schwartz με μια δύο διαστάσεων εκδοχή
της λωρίδας τον οδήγησε σε μια παρατήρηση που ήταν και το κλειδί για τη
λύση. Τελικά, αντίθετα με την προηγούμενη πεποίθησή του ότι το σχήμα
έμοιαζε με παραλληλόγραμμο, στην πραγματικότητα ήταν τραπεζοειδές.</p>
<p>Μιλώντας σχετικά, ο Schwartz εξομολογήθηκε: «Ντροπιαστικά, ανακάλυψα
πρόσφατα ότι έκανα ένα λάθος κατά τη δημιουργία του προβλήματος
βελτιστοποίησης».</p>
<p>Μετά από αρκετά ξενύχτια λοιπόν, ο Schwartz έλυσε το πρόβλημα που
βασάνιζε την κοινότητα εδώ και σχεδόν 50 χρόνια, αποδεικνύοντας την
αναλογία που είχαν προτείνει οι Halpern και Weaver.</p>
<p>Για την ιστορία, η λωρίδα του Μέμπιους περιγράφηκε το 1858 από τους
Γερμανούς μαθηματικούς August Möbius και Johann Listing και είναι γνωστή
για τη μοναδική, μη-προσανατολισμένη φύση της. Για παράδειγμα, ένα
μυρμήγκι που ταξιδεύει πάνω στη λωρίδα του Μέμπιους θα διέσχιζε και τις
δύο πλευρές της με μια συνεχή κίνηση, χωρίς να διακρίνει μεταξύ των
πλευρών. Αυτή η ξεχωριστή ιδιότητα μεταφράστηκε σε πολλές πρακτικές
εφαρμογές από τις ταινίες στα μαγνητόφωνα μέχρι τους μεταφορικούς
ιμάντες.</p>
<p>Μάλιστα, η λωρίδα εμφανίζεται στο διεθνές σύμβολο της ανακύκλωσης,
αλλά μέχρι και στο λογότυπο του Google Drive, συμβολίζοντας τις
περισσότερες φορές το χαρακτηριστικό της «λούπας».</p><p><a href="https://www.newsbeast.gr/technology/arthro/10034662/mathimatikos-katafere-na-lysei-to-provlima-tis-loridas-tou-mebious-meta-apo-46-chronia?fbclid=IwAR2JWhOX-KicRo1oVW--DPMu5We7PIOUjD-cXUCJW0_6AQF32hsbJAC_-ck" target="_blank">ΠΗΓΗ</a> </p>
</div><p></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-66430221887593852302023-03-20T15:04:00.001+02:002023-03-20T15:04:33.307+02:00Το πείραμα του Ερατοσθένη στο ΓΕΛ Πλατέος - Κορυφής <p><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTNtv0oF9Zhia5FZDcnahHxMyTKp-6SQRxhTBZLiMy-9xSVRO3vfZDS3rjYtqskQTLZcYlpshcrXdQeniD4Hj0EjbVduUd4nXZuJGkWrVpgScCLHqIMfTkQFU1OKzKK20820vpYsNnLUG2P-sik01tzWp1Z-u7KDHA4ap9LfUfdb1lXtDtGSM-rVH7/s1805/1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1805" data-original-width="1275" height="464" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTNtv0oF9Zhia5FZDcnahHxMyTKp-6SQRxhTBZLiMy-9xSVRO3vfZDS3rjYtqskQTLZcYlpshcrXdQeniD4Hj0EjbVduUd4nXZuJGkWrVpgScCLHqIMfTkQFU1OKzKK20820vpYsNnLUG2P-sik01tzWp1Z-u7KDHA4ap9LfUfdb1lXtDtGSM-rVH7/w328-h464/1.jpg" width="328" /></a></div><br /><!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OfficeDocumentSettings>
<o:AllowPNG/>
</o:OfficeDocumentSettings>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>
<w:WordDocument>
<w:View>Normal</w:View>
<w:Zoom>0</w:Zoom>
<w:TrackMoves/>
<w:TrackFormatting/>
<w:PunctuationKerning/>
<w:ValidateAgainstSchemas/>
<w:SaveIfXMLInvalid>false</w:SaveIfXMLInvalid>
<w:IgnoreMixedContent>false</w:IgnoreMixedContent>
<w:AlwaysShowPlaceholderText>false</w:AlwaysShowPlaceholderText>
<w:DoNotPromoteQF/>
<w:LidThemeOther>EN-US</w:LidThemeOther>
<w:LidThemeAsian>X-NONE</w:LidThemeAsian>
<w:LidThemeComplexScript>X-NONE</w:LidThemeComplexScript>
<w:Compatibility>
<w:BreakWrappedTables/>
<w:SnapToGridInCell/>
<w:WrapTextWithPunct/>
<w:UseAsianBreakRules/>
<w:DontGrowAutofit/>
<w:SplitPgBreakAndParaMark/>
<w:EnableOpenTypeKerning/>
<w:DontFlipMirrorIndents/>
<w:OverrideTableStyleHps/>
</w:Compatibility>
<m:mathPr>
<m:mathFont m:val="Cambria Math"/>
<m:brkBin m:val="before"/>
<m:brkBinSub m:val="--"/>
<m:smallFrac m:val="off"/>
<m:dispDef/>
<m:lMargin m:val="0"/>
<m:rMargin m:val="0"/>
<m:defJc m:val="centerGroup"/>
<m:wrapIndent m:val="1440"/>
<m:intLim m:val="subSup"/>
<m:naryLim m:val="undOvr"/>
</m:mathPr></w:WordDocument>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>
<w:LatentStyles DefLockedState="false" DefUnhideWhenUsed="false"
DefSemiHidden="false" DefQFormat="false" DefPriority="99"
LatentStyleCount="376">
<w:LsdException Locked="false" Priority="0" QFormat="true" Name="Normal"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 7"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 8"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 9"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 9"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 7"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 8"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 9"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footnote text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="header"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footer"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index heading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="35" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="caption"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="table of figures"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="envelope address"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="envelope return"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footnote reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="line number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="page number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="endnote reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="endnote text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="table of authorities"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="macro"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="toa heading"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="10" QFormat="true" Name="Title"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Closing"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Signature"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="1" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="Default Paragraph Font"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Message Header"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="11" QFormat="true" Name="Subtitle"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Salutation"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Date"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text First Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text First Indent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Note Heading"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Block Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Hyperlink"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="FollowedHyperlink"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="22" QFormat="true" Name="Strong"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="20" QFormat="true" Name="Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Document Map"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Plain Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="E-mail Signature"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Top of Form"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Bottom of Form"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal (Web)"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Acronym"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Address"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Cite"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Code"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Definition"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Keyboard"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Preformatted"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Sample"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Typewriter"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Variable"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal Table"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation subject"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="No List"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Contemporary"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Elegant"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Professional"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Subtle 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Subtle 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Balloon Text"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="Table Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Theme"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" Name="Placeholder Text"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="1" QFormat="true" Name="No Spacing"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" Name="Revision"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="34" QFormat="true"
Name="List Paragraph"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="29" QFormat="true" Name="Quote"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="30" QFormat="true"
Name="Intense Quote"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="19" QFormat="true"
Name="Subtle Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="21" QFormat="true"
Name="Intense Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="31" QFormat="true"
Name="Subtle Reference"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="32" QFormat="true"
Name="Intense Reference"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="33" QFormat="true" Name="Book Title"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="37" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="Bibliography"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="TOC Heading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="41" Name="Plain Table 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="42" Name="Plain Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="43" Name="Plain Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="44" Name="Plain Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="45" Name="Plain Table 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="40" Name="Grid Table Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46" Name="Grid Table 1 Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51" Name="Grid Table 6 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52" Name="Grid Table 7 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46" Name="List Table 1 Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51" Name="List Table 6 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52" Name="List Table 7 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Mention"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Smart Hyperlink"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Hashtag"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Unresolved Mention"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Smart Link"/>
</w:LatentStyles>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 10]>
<style>
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:"Κανονικός πίνακας";
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-priority:99;
mso-style-parent:"";
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin-top:0cm;
mso-para-margin-right:0cm;
mso-para-margin-bottom:10.0pt;
mso-para-margin-left:0cm;
line-height:115%;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:11.0pt;
font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-font-family:Calibri;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;
mso-hansi-font-family:Calibri;
mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-fareast-language:EN-US;}
</style>
<![endif]-->
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;"><span style="font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EL;">Το διάσημο πείραμα του Ερατοσθένη με
το οποίο υπολογίστηκε πριν από 2.300 χρόνια η περιφέρεια της Γης
πραγματοποίησαν<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>οι μαθητές του <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">ΓΕΛ Πλατέος – Κορυφής Ημαθίας</b> την
εαρινή ισημερία την Δευτέρα 20 Μαρτίου επειδή την ημέρα αυτή ο ήλιος βρίσκεται
κάθετα πάνω από τον ισημερινό της Γης .<span></span></span></p><a name='more'></a><a name="more"></a> <p></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;"><span style="font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EL;">Χρησιμοποιώντας<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>μέσα όπως - ράβδους ,χάρακες, μεζούρες
- οι μαθητές μέτρησαν την περιφέρεια της Γης προσαρμόζοντας φυσικά
ορισμένες παραμέτρους στα σύγχρονα μέσα (την απόσταση της θέσης του σχολείου
από τον ισημερινό).</span></p><p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;"><span style="font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EL;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: center;"><span style="font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EL;"> </span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8gkwyH7GTUtkAtC5mC7oFiJDXrVXKnxdVJ1K1pYi9J1h7_BUkDiIAQWCkC-dp4xF9puApZbSPH2-brXUu_BNm4la4J29EzN8g6KOHB7_8sUCwUaTAjqv_xACuhMZQTe7GplO0Kccdtt1n9GhuOHZEygHE_FEyt6aaCMm0r0i3i43rdhEvT4bQjl9F/s2048/2.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1542" data-original-width="2048" height="267" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8gkwyH7GTUtkAtC5mC7oFiJDXrVXKnxdVJ1K1pYi9J1h7_BUkDiIAQWCkC-dp4xF9puApZbSPH2-brXUu_BNm4la4J29EzN8g6KOHB7_8sUCwUaTAjqv_xACuhMZQTe7GplO0Kccdtt1n9GhuOHZEygHE_FEyt6aaCMm0r0i3i43rdhEvT4bQjl9F/w355-h267/2.jpg" width="355" /></a></p><p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;"><span style="font-family: "Times New Roman",serif; font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EL;"> <br /></span></p>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6H8e9mkHBufAHzWcEJRi6wXy01Aj6S4_aeBsFPkLQm4ZNmsXVOwvcfU5bAsQb0QhIuUv6od8wihk-sb_bJxKJ04TV9LNxweQskWkfuI9iUerbgiWzpR-hA6eVHYDxKJ-BcAuwcL461R_BffqTUwIxd7-X5zntG6uiQSmIcoT_RmL8vQGCrI15gcUL/s2048/4.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1542" data-original-width="2048" height="241" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6H8e9mkHBufAHzWcEJRi6wXy01Aj6S4_aeBsFPkLQm4ZNmsXVOwvcfU5bAsQb0QhIuUv6od8wihk-sb_bJxKJ04TV9LNxweQskWkfuI9iUerbgiWzpR-hA6eVHYDxKJ-BcAuwcL461R_BffqTUwIxd7-X5zntG6uiQSmIcoT_RmL8vQGCrI15gcUL/s320/4.jpg" width="320" /> </a><p></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRi55eThrkd1fFRJL8SnycCl4hFnaUCW18kGEZtXnYl5rk9zb7327D_9sL3pHZNTPmtuVUS0ZlxK_0H0Gklnb8ehmejOnJW9Vqn9tgJ9gUwyaZdbZGfPSJJ4545oDgv5Rlm_wxYOQrDF1Yuv3prykrkWX4sm0kxkG-2A01H23CFBtTftA7z3-NlPoX/s1748/5.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1748" data-original-width="1198" height="454" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRi55eThrkd1fFRJL8SnycCl4hFnaUCW18kGEZtXnYl5rk9zb7327D_9sL3pHZNTPmtuVUS0ZlxK_0H0Gklnb8ehmejOnJW9Vqn9tgJ9gUwyaZdbZGfPSJJ4545oDgv5Rlm_wxYOQrDF1Yuv3prykrkWX4sm0kxkG-2A01H23CFBtTftA7z3-NlPoX/w310-h454/5.jpg" width="310" /></a></div><br /> <!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OfficeDocumentSettings>
<o:AllowPNG/>
</o:OfficeDocumentSettings>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>
<w:WordDocument>
<w:View>Normal</w:View>
<w:Zoom>0</w:Zoom>
<w:TrackMoves/>
<w:TrackFormatting/>
<w:PunctuationKerning/>
<w:ValidateAgainstSchemas/>
<w:SaveIfXMLInvalid>false</w:SaveIfXMLInvalid>
<w:IgnoreMixedContent>false</w:IgnoreMixedContent>
<w:AlwaysShowPlaceholderText>false</w:AlwaysShowPlaceholderText>
<w:DoNotPromoteQF/>
<w:LidThemeOther>EN-US</w:LidThemeOther>
<w:LidThemeAsian>X-NONE</w:LidThemeAsian>
<w:LidThemeComplexScript>X-NONE</w:LidThemeComplexScript>
<w:Compatibility>
<w:BreakWrappedTables/>
<w:SnapToGridInCell/>
<w:WrapTextWithPunct/>
<w:UseAsianBreakRules/>
<w:DontGrowAutofit/>
<w:SplitPgBreakAndParaMark/>
<w:EnableOpenTypeKerning/>
<w:DontFlipMirrorIndents/>
<w:OverrideTableStyleHps/>
</w:Compatibility>
<m:mathPr>
<m:mathFont m:val="Cambria Math"/>
<m:brkBin m:val="before"/>
<m:brkBinSub m:val="--"/>
<m:smallFrac m:val="off"/>
<m:dispDef/>
<m:lMargin m:val="0"/>
<m:rMargin m:val="0"/>
<m:defJc m:val="centerGroup"/>
<m:wrapIndent m:val="1440"/>
<m:intLim m:val="subSup"/>
<m:naryLim m:val="undOvr"/>
</m:mathPr></w:WordDocument>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>
<w:LatentStyles DefLockedState="false" DefUnhideWhenUsed="false"
DefSemiHidden="false" DefQFormat="false" DefPriority="99"
LatentStyleCount="376">
<w:LsdException Locked="false" Priority="0" QFormat="true" Name="Normal"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 7"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 8"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 9"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 9"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 7"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 8"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 9"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footnote text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="header"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footer"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index heading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="35" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="caption"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="table of figures"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="envelope address"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="envelope return"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footnote reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="line number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="page number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="endnote reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="endnote text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="table of authorities"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="macro"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="toa heading"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="10" QFormat="true" Name="Title"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Closing"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Signature"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="1" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="Default Paragraph Font"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Message Header"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="11" QFormat="true" Name="Subtitle"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Salutation"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Date"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text First Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text First Indent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Note Heading"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Block Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Hyperlink"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="FollowedHyperlink"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="22" QFormat="true" Name="Strong"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="20" QFormat="true" Name="Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Document Map"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Plain Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="E-mail Signature"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Top of Form"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Bottom of Form"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal (Web)"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Acronym"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Address"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Cite"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Code"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Definition"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Keyboard"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Preformatted"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Sample"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Typewriter"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Variable"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal Table"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation subject"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="No List"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Contemporary"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Elegant"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Professional"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Subtle 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Subtle 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Balloon Text"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="Table Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Theme"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" Name="Placeholder Text"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="1" QFormat="true" Name="No Spacing"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" Name="Revision"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="34" QFormat="true"
Name="List Paragraph"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="29" QFormat="true" Name="Quote"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="30" QFormat="true"
Name="Intense Quote"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="19" QFormat="true"
Name="Subtle Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="21" QFormat="true"
Name="Intense Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="31" QFormat="true"
Name="Subtle Reference"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="32" QFormat="true"
Name="Intense Reference"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="33" QFormat="true" Name="Book Title"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="37" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="Bibliography"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="TOC Heading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="41" Name="Plain Table 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="42" Name="Plain Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="43" Name="Plain Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="44" Name="Plain Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="45" Name="Plain Table 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="40" Name="Grid Table Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46" Name="Grid Table 1 Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51" Name="Grid Table 6 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52" Name="Grid Table 7 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46" Name="List Table 1 Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51" Name="List Table 6 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52" Name="List Table 7 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Mention"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Smart Hyperlink"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Hashtag"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Unresolved Mention"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Smart Link"/>
</w:LatentStyles>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 10]>
<style>
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:"Κανονικός πίνακας";
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-priority:99;
mso-style-parent:"";
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin-top:0cm;
mso-para-margin-right:0cm;
mso-para-margin-bottom:10.0pt;
mso-para-margin-left:0cm;
line-height:115%;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:11.0pt;
font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-font-family:Calibri;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;
mso-hansi-font-family:Calibri;
mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-fareast-language:EN-US;}
</style>
<![endif]-->
<p class="MsoNormal">Τον 3ο αιώνα π.Χ. ο Ερατοσθένης, ενώ ήταν διευθυντής της
Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, είχε την πληροφορία ότι κάθε χρόνο στις 21
Ιουνίου ο ήλιος έριχνε κατακόρυφα τις ακτίνες του στο Ασουάν. </p>
<p class="MsoNormal">Γνωρίζοντας ότι αυτό δεν συνέβαινε την ίδια μέρα στην
Αλεξάνδρεια επιβεβαίωσε την πεποίθησή του για την καμπυλότητα της Γης και
ακολουθώντας απλές σκέψεις και υπολογισμούς, δηλαδή μετρώντας το ύψος μιας
ράβδου και το μήκος της σκιάς της στην Αλεξάνδρεια, υπολογίζοντας την γωνία που
σχημάτιζαν οι ακτίνες του ήλιου με τη ράβδο, μετρώντας την απόσταση της
Αλεξάνδρειας από το Ασουάν - μισθώνοντας βηματιστές ή χρησιμοποιώντας
καμήλες - και εν συνεχεία κάνοντας απλούς μαθηματικούς υπολογισμούς,
μέτρησε την περιφέρεια της Γης με απόκλιση 1%.</p><p class="MsoNormal"> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3fah429OMAUMDSU3zXDzpUfB52fCbIiyZjIynmAEYxjCnOZ-7VLN3K-H0QHEdNOSigUazXncNjDMWwjpf7jR3YK2G3mJTgxhnhT8uGeJ6cGbTzzU8p_HwIubn6frAUWMMTyQn6GdfuUWImuk9IEWSqixuoCtIDpIQoujwQ00T4GKJJvFRyrLbWupk/s451/%CE%B5%CF%81%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%83%CE%B8%CE%B5%CE%BD%CE%B7%CF%82%202.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="316" data-original-width="451" height="224" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3fah429OMAUMDSU3zXDzpUfB52fCbIiyZjIynmAEYxjCnOZ-7VLN3K-H0QHEdNOSigUazXncNjDMWwjpf7jR3YK2G3mJTgxhnhT8uGeJ6cGbTzzU8p_HwIubn6frAUWMMTyQn6GdfuUWImuk9IEWSqixuoCtIDpIQoujwQ00T4GKJJvFRyrLbWupk/s320/%CE%B5%CF%81%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%83%CE%B8%CE%B5%CE%BD%CE%B7%CF%82%202.gif" width="320" /></a></div><br /><p></p>
<p></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-32571121347102842612022-10-16T09:07:00.002+03:002022-10-16T09:07:21.079+03:00«Γιορτή Μαθηματικών» στη Βέροια<p> </p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial,helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 14px;">«Γιορτή
Μαθηματικών» πραγματοποιήθηκε το απόγευμα του Σαββάτου 15/10/2022 στη
Βέροια και συγκεκριμένα στην αίθουσα εκδηλώσεων στο Εκκοκκιστήριο Ιδεών.</span></span></p>
<p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial,helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 14px;">Χαιρετισμό
στην εκδήλωση με τίτλο «Γιορτή Μαθηματικών» απηύθυνε η πρόεδρος του παραρτήματος της Ε.Μ.Ε
Ημαθίας, Χαρούλα Σαραφοπούλου και στη συνέχεια,
παρουσίασε έναν – έναν τους ομιλητές και πριν την έναρξη της κάθε
ομιλίας, διάβασε τα βιογραφικά τους.</span></span></p>
<p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial,helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 14px;">Τον
λόγο αρχικά πήρε ο καθηγητής του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου
Θεσσαλονίκης, Ιωάννης Αντωνίου, ο οποίος ανέπτυξε το θέμα με τίτλο «Το
Κβαντικό πανηγύρι».</span></span></p>
<p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial,helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 14px;">Στη
συνέχεια ο Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Κρήτης, Μιχαήλ Λάμπρου
μίλησε για το θέμα «Ευρετική ή γιατί ο Αρχιμήδης είπε ότι κάνει μεγάλη
υπηρεσία στα Μαθηματικά»</span></span></p>
<p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial,helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 14px;">Και
τέλος, τα «Φημισμένα προβλήματα των πιθανοτήτων», ανέπτυξε ο Ομότιμος
Καθηγητής του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, Πολυχρόνης
Μωυσιάδης.</span></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial,helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 14px;">Το video της εκδήλωσης είναι από το verianet.gr .<br /></span></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial,helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 14px;"></span></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" class="BLOG_video_class" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/leV30aslmzE" width="320" youtube-src-id="leV30aslmzE"></iframe></div><br /> <p></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-49150144341691192782022-05-11T17:24:00.000+03:002022-05-11T17:24:11.514+03:00Πώς δημιουργήθηκαν τυχαία τα σύμβολα συν (+) και πλην (-)<p> </p><div style="text-align: center;"><img alt="" class="attachment-hitmag-featured size-hitmag-featured wp-post-image" height="218" src="https://www.ma8imatikos.gr/wp-content/uploads/2019/02/εξισωση-735x400.jpg" width="400" /></div>
<blockquote>
<p style="text-align: left;">Οι μαθηματικές σημειώσεις του 11ου αιώνα
διέφεραν πολύ από αυτές που ξέρουμε σήμερα. Πέρα από τα αριθμητικά
ψηφία, δεν υπήρχαν σύμβολα, όπως το συν (+) και το πλην (-), και οι
εξισώσεις γράφονταν με λέξεις.<span></span></p><a name='more'></a><p></p>
</blockquote>
<div style="text-align: center;"><figure aria-describedby="caption-attachment-1303" class="wp-caption aligncenter" id="attachment_1303" style="width: 396px;"><figcaption class="wp-caption-text" id="caption-attachment-1303">Στην πάνω σειρά η εξίσωση πριν την επινόηση του συν του πλην και το x. Στην κάτω σειρά, η ίδια εξίσωση σήμερα.</figcaption></figure><img alt="" class="wp-image-1303 " height="202" src="http://www.ma8imatikos.gr/wp-content/uploads/2019/02/Screenshot_3-300x153.png" width="396" /></div>
<p>O <strong>Φιμπονάτσι</strong> λοιπόν που έφερε τους ινδικο-αραβικούς
αριθμούς, τους οποίους λέει φιγκούρε ιντόρουμ, προσπάθησε να κάνει
συντομογραφίες. Έτσι λοιπόν, όταν φέρνει την art de la cosa, την τέχνη
του πράγματος, η άγνωστη ποσότητα παρουσιάζεται με τα αρχικά της λέξης.</p>
<p><strong>Οι εξισώσεις με λέξεις και η δημιουργία των συμβόλων</strong></p>
<p>Για παράδειγμα, ο άγνωστος «x» γραφόταν ως co από το cosa που στα
λατινικά σημαίνει πράγμα. Από τη λατινική λέξη cubo, έπαιρναν τα πρώτα
δύο γράμματα και σημείωναν τον άγνωστο «χ» σε κύβο, <strong>cu</strong>. Λέξεις χρησιμοποιούσαν για να αναπαραστήσουν και τα σύμβολα. Έτσι για το σύμβολο της ισότητας, έγραφαν<strong> ae</strong>. Το ίδιο κάνουν όταν και με τη ρίζα, που τη σημειώνουν με ένα<strong> ρ</strong>.</p>
<p>Το γεγονός ότι δεν υπήρχε συμβολισμός στα μαθηματικά έφερνε πολλές
δυσκολίες στους λογίους της εποχής για να κατανοήσουν τις μαθηματικές
πράξεις. Γι αυτό χρειάστηκε να δημιουργηθούν τα σύμβολα. Ο άνθρωπος που
έφερε τον συμβολισμό στα μαθηματικά είναι ο <strong>Φρανσουά Βιέτ</strong>,
ο οποίος ήταν παράλληλα νομικός στην γαλλική αυλή, αλλά και
αποκωδικογράφος. Ίσως αυτή η ιδιότητά του να βοήθησε πολύ περισσότερο
στα μαθηματικά.</p>
<p style="text-align: center;"><img alt="" class="size-medium wp-image-1304 aligncenter" height="153" src="http://www.ma8imatikos.gr/wp-content/uploads/2019/02/Screenshot_4-400x204-300x153.png" width="300" /></p>
<p>Τα σύμβολα <strong>συν</strong> και <strong>πλην</strong>, που έκαναν
τόσο προσιτές τις πράξεις θεωρείται πως προέκυψαν μέσα από καθημερινές
εργασίες. Κάποτε στις χώρες που ανήκαν στην Χανσεατική Ένωση, δηλαδή την
ένωση των γερμανικών κυρίως πόλεων της Βαλτικής και της Βόρειας
Θάλασσας, κάποιοι εργάτες σημείωσαν μία γραμμή πάνω σε σάκους που ήταν
λιποβαρείς. Σε αυτούς που ήταν υπέρβαροι βάλανε ένα σταυρό. Έτσι μέσα
από την καθημερινότητα και την εργασία βγήκε το συν και το πλην.</p>
<p>Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε σήμερα και απλοποιούν τόσο πολύ τους
υπολογισμούς μας λέγονται ινδοαραβικοί. Ονομάστηκαν έτσι προς τιμήν των
δύο πολιτισμών που τους ανέπτυξαν και έφεραν επανάσταση στην Ευρώπη της
Αναγέννησης.</p>
<div style="text-align: center;"><figure class="wp-caption aligncenter" style="width: 422px;"><img alt="" height="282" src="https://www.thoughtco.com/thmb/3Ag9yUiRocE6goXH3eVPLHfTSRQ=/768x0/filters:no_upscale():max_bytes(150000):strip_icc()/Leonardo-Pisano-Fibonacci-f9d544e22fb147fea36f99b4dcd77f50.jpg" width="422" /><figcaption class="wp-caption-text">Ο
Λεονάρντο της Πίζας (1175 – 1240), γνωστός και ως Φιμπονάτσι
(Fibonacci) ήταν Ιταλός μαθηματικός που έμεινε στην ιστορία για την
περίφημη Ακολουθία Φιμπονάτσι και για την εισαγωγή στην Ευρώπη του
αραβικού δεκαδικού συστήματος αρίθμησης καθώς και άλλων μαθηματικών
καινοτομιών σε μια σκοτεινή εποχή για τις επιστήμες στην Ευρώπη.</figcaption></figure></div>
<p>Διαδόθηκαν στην Ευρώπη τον 11ο αιώνα, από έναν ιταλό μαθηματικό, τον Λεονάρδο της Πίζας. O μαθηματικός αυτός, γνωστός ως <strong>Φιμπονάτσι</strong>,
έγραψε ένα βιβλίο που εξηγούσε στα λατινικά πώς να χρησιμοποιούν τα νέα
αριθμητικά ψηφία, ενώ δίδασκαν μεθόδους επίλυσης καθημερινών
προβλημάτων. Χρησιμοποιήθηκαν στο εμπόριο, στις συναλλαγές και για
πρακτικές ανάγκες της ρουτίνας.</p>
<p><strong>Οι αλλαγές στο εμπόριο</strong></p>
<p>Τα νέα ψηφία δεν προκάλεσαν ριζικές αλλαγές μόνο στα μαθηματικά.
Η αριθμητική με τα ινδοαραβικά ψηφία και η συγγραφή των βιβλίων του
Φιμπονάτσι συμβαδίζει με εξελίξεις στο κοινωνικό επίπεδο, οι οποίες
σηματοδοτούν την απαρχή του καπιταλιστικού συστήματος. Αυτές οι
εξελίξεις ωφελήθηκαν από το γεγονός ότι τα νέα αριθμητικά ψηφία ήταν
πολύ πιο εύχρηστα από τα ρωμαϊκά στοιχεία που χρησιμοποιούσαν στην
Ευρώπη μέχρι τότε.</p>
<p style="text-align: center;"><img alt="" class=" wp-image-1305 aligncenter" height="217" src="http://www.ma8imatikos.gr/wp-content/uploads/2019/02/220px-RomanAbacusRecon.jpg" width="273" /></p>
<p>Οι ευκολίες που δημιουργήθηκαν με τους νέους αριθμούς είναι ότι
μπορούσαν να κάνουν πράξεις με πολύ μεγάλους αριθμούς και να σημειώνουν
τα πάντα γραπτώς, γρήγορα και εύκολα. Ένα άλλο πρόβλημα που λύθηκε είναι
ότι σταμάτησαν να χρησιμοποιούν τον άβακα, τον οποίο μάλιστα χρειαζόταν
να τον κουβαλούν. Απελευθερώθηκαν ουσιαστικά από το αριθμοόργανο, που
ήταν απαραίτητο για τις πράξεις τους. Το μόνο που χρειαζόταν πλέον ένας
έμπορος ή ένας τραπεζίτης ήταν ένα κομμάτι χαρτί, ένα μελάνι κι ένα
φτερό, το οποίο είναι κινούμενο. Γι’ αυτούς τους λόγους τα νέα
αριθμητικά ψηφία έγιναν δεκτά με μεγάλη και ανακούφιση και χαρά.</p><p><a href="https://www.mixanitouxronou.gr/pos-dimioyrgithikan-tychaia-ta-symvola-syn-kai-plin-oi-exisoseis-ton-11o-aiona-grafontan-me-lexeis-pos-simeionan-ton-agnosto-quot-ch-quot/" target="_blank">ΠΗΓΗ</a> </p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-86292831997086629432022-04-18T07:47:00.001+03:002022-04-18T07:48:15.055+03:00Το αντιπαράδειγμα σε δράση-Λάθη και παραλείψεις (Θ.Ξένος)<p> </p><p><span style="font-size: small;"> <span style="font-size: medium;">Δύο αρχεία από παρουσιάσεις του Θανάση Ξένου σε ημερίδες των Ε.Μ.Ε Ημαθίας και Κοζάνης</span></span></p><p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi70-gQNyh9suZ34PSc5Yy8R2swJg9SyIuUjVyGYSWdqNG3gWeRZRS6dVZL7p5GeqPfVlTC9xhSmQzi0makAzMVAATVl8BJmbm75uqBxjG5Lh7kGiWKTHsrowtLBRl_Y2lMCYGT6bpvHB-4EzD1DiU4X7Zb287CcKsvBXhIccbywn48Qa_t_UmE8gQr/s259/%CE%BA%CE%B1%CF%84%CE%AC%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%BF%CF%82.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="194" data-original-width="259" height="194" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi70-gQNyh9suZ34PSc5Yy8R2swJg9SyIuUjVyGYSWdqNG3gWeRZRS6dVZL7p5GeqPfVlTC9xhSmQzi0makAzMVAATVl8BJmbm75uqBxjG5Lh7kGiWKTHsrowtLBRl_Y2lMCYGT6bpvHB-4EzD1DiU4X7Zb287CcKsvBXhIccbywn48Qa_t_UmE8gQr/s1600/%CE%BA%CE%B1%CF%84%CE%AC%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%BF%CF%82.jpg" width="259" /></a></div><br /><p><br /></p><p><span style="font-size: large;"><b><a href="https://drive.google.com/file/d/120EJnDrDyrmqVygoh0MDgGnp86xQHkUp/view?usp=sharing">Το αντιπαράδειγμα σε δράση</a></b></span></p><p><span style="font-size: large;"><b><a href="https://drive.google.com/file/d/1iSnUzg_8u6H-JtdjA5z5ux7j2bdnkLmQ/view?usp=sharing">Λάθη και παραλείψεις</a> </b></span><br /></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-58117552537797812292022-02-02T07:29:00.004+02:002022-02-02T07:29:58.265+02:00 Ίππασος: Ο μαθητής που… πρόδωσε τον Πυθαγόρα και βρήκε τον πρώτο άρρητο αριθμό<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjqJUeuJPxL_qsvDF4B5pSFL2S8tZDZ_rdZTFN2r_0pQgm3YpE366mQU9zGk9l16C-NqN5s2eSqtqfTYG2XoltTjAtwzRW3eTh0HhbKCL3Zx_Wkaa0c5HB2Vn1ldjU1108qV4KWksm6YiGG5woHSETfY3d62HR8btg56fGZh5NOn1smAI7kYMIcVA5h=s900" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="609" data-original-width="900" height="245" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjqJUeuJPxL_qsvDF4B5pSFL2S8tZDZ_rdZTFN2r_0pQgm3YpE366mQU9zGk9l16C-NqN5s2eSqtqfTYG2XoltTjAtwzRW3eTh0HhbKCL3Zx_Wkaa0c5HB2Vn1ldjU1108qV4KWksm6YiGG5woHSETfY3d62HR8btg56fGZh5NOn1smAI7kYMIcVA5h=w361-h245" width="361" /></a></div><p></p><p><br /></p><p>Ήταν ίσως ο καλύτερος μαθητής που φοίτησε ποτέ στη σχολή του
Πυθαγόρα. Την ίδια στιγμή όμως ήταν και αυτός που κατάφερε να καταρρίψει
τους Πυθαγόρειους, ανοίγοντας ένα νέο, πολύ σημαντικό κεφάλαιο για τα
μαθηματικά.</p>
<p><strong>Η διάσημη σχολή του Πυθαγόρα – Οι «θεϊκοί» αριθμοί και η ελλιπής εξήγηση του κόσμου</strong></p>
<p>Οι Πυθαγόρειοι δεν ήταν μία αμιγώς επιστημονική ομάδα. Για την
ακρίβεια, οι βασικές ανησυχίες τους κυμαίνονταν γύρω από την φιλοσοφία
και την θρησκεία. Τα μαθηματικά ωστόσο κατείχαν την ύψιστη θέση στην
διαμόρφωση της ιδεολογίας τους.<span></span></p><a name='more'></a><p></p>
<p>Οι αριθμοί για τον Πυθαγόρα και τους μαθητές του, ήταν κάτι το θεϊκό.
Δεν ήταν απλοί συμβολισμοί που διευκολύνουν τον άνθρωπο να μετράει και
να υπολογίζει. Ήταν κάτι ανώτερο από τον υλικό κόσμο, στον οποίο
έβρισκαν εφαρμογή. Κάτι που άνηκε στη σφαίρα του ιδεατού και μόνο μέσα
από την βαθύτατη νόηση γινόταν προσιτό.</p>
<p>Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους, ολόκληρο το σύμπαν ήταν αποτέλεσμα των αριθμών και της γεωμετρίας.<br />
Ωστόσο, από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό και από όσους φοίτησαν στο
Ομακοείον (το κτίριο ομαδικής διδασκαλίας των Πυθαγόρειων στην Κρότωνα
της Ιταλίας) είχαν… ξεφύγει οι περισσότεροι αριθμοί. Στην σκέψη των
μαθηματικών της εποχής, όλοι οι αριθμοί μπορούσαν να εκφραστούν ως
κλάσματα δύο ακεραίων. Για τους Πυθαγόρειους δε, τα πάντα στον κόσμο
ισοδυναμούσαν με έναν αντίστοιχο (ρητό) αριθμό. Αν αυτό ίσχυε όμως, ποιο
ρόλο έχουν οι άρρητοι, που μάλιστα είναι και ασύγκριτα περισσότεροι.</p>
<p><strong>Ο άνθρωπος που κατέρριψε όλα όσα πίστευαν οι Πυθαγόρειοι</strong></p>
<p>Το μαθηματικό τμήμα της Πυθαγόρειας σχολής, ήταν ένα από τα πιο
προηγμένα της εποχής. Το πασίγνωστο Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι το πλέον
χαρακτηριστικό παράδειγμα. Αν και οι ιστορικοί κατά καιρούς έχουν
εκφράσει αμφιβολίες για τον «πατέρα» του θεωρήματος, είναι αποδεδειγμένο
πως ανακαλύφθηκε την εποχή που η σχολή του Πυθαγόρα άκμαζε. Μάλιστα,
συγγραφείς όπως ο Ευκλείδης και ο Κικέρων αποδίδουν με σιγουριά το
επίτευγμα στον σπουδαίο μαθηματικό.</p>
<p>Ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος στο Ομακοείον ήταν ο Ίππασος, ένας
από τους σημαντικότερους μαθητές του Πυθαγόρα και αυτός που έμελλε να
καταρρίψει συθέμελα όσες ιδέες είχαν «οικοδομηθεί» μέσα στην σχολή που
διακρίθηκε.<br />
Το εργαλείο του; Το θεώρημα που έκανε πασίγνωστο τον Πυθαγόρα!</p>
<p>Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο των δύο κάθετων πλευρών
ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Αν οι δύο κάθετες πλευρές
ισούνται με 1 όμως, τότε η υποτείνουσα έχει μήκος ίσο με την ρίζα του 2.
Αυτός ο αριθμός είχε προβληματίσει τους Πυθαγόρειους, χωρίς όμως να
κλονίσει την αμετάκλητη πεποίθηση τους, πως υπάρχει κάποιος ισοδύναμος
ρητός που να ισούται με την ρίζα του 2. Άλλωστε, οι Πυθαγόρειοι
αντιλαμβάνονταν πως υπάρχουν πάρα πολλοί ρητοί και ως εκ τούτου, η ρίζα
που έψαχναν μπορεί να… κρυβόταν πίσω από κάποιους πολύ μεγάλους
αριθμούς.</p>
<p>Ο Ίππασος όμως δεν μπορούσε να αφήσει μια ρίζα να τον… νικήσει.
Προσπάθησε να αποδείξει πως ισούται με κάποιον αριθμό, αλλά κατάφερε να
δείξει πως αυτός ο αριθμός δεν ήταν ρητός! Η Πυθαγόρεια φιλοσοφία
δέχτηκε ένα αγιάτρευτο πλήγμα. Ένας αριθμός που δεν είναι ρητός, δεν
μπορούσε να χωρέσει στην σκέψη των Πυθαγόρειων. Όλο τους το σύμπαν, ήταν
φτιαγμένο από κλάσματα, μην αφήνοντας χώρο σε… παράλογους αριθμούς που
τα δεκαδικά τους δεν έχουν σταματημό.</p>
<p>Ο ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος της Πυθαγόρειας Σχολής, ήταν ο
μεγαλύτερος προδότης που πάτησε ποτέ το πόδι του μέσα στους χώρους του
επιβλητικού της κτιρίου. Παρόλα αυτά η απόδειξή του ήταν απόλυτα σωστή
και αυτό έγινε άμεσα αντιληπτό από τον Πυθαγόρα. Η σχολή πλέον είχε δύο
επιλογές. Να κλείσει ή να «θάψει» την καταστροφική απόδειξη. Τελικά οι
Πυθαγόρειοι επέλεξαν το δεύτερο, κατηγορώντας τον Ίππασο για μέγιστη
προδοσία και πνίγοντάς τον στην θάλασσα.</p>
<p>Ο Ίππασος έχασε την ζωή του, όμως η ρίζα του 2 διατηρήθηκε «ζωντανή»,
ως ο πρώτος άρρητος αριθμός στην ιστορία των μαθηματικών. Όπως οι ίδιοι
οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν μάλιστα, οι αριθμοί υπάρχουν στην σφαίρα του
ιδεατού, όχι μόνο εκεί που μας… χρησιμεύουν.</p>
<p>Κάπως έτσι, γράφτηκε η πρώτη σελίδα στο τεράστιο κεφάλαιο των αρρήτων
αριθμών, οι οποίοι εκ των υστέρων αποδείχθηκαν πολύ περισσότεροι από
τους ρητούς. Για την ακρίβεια, αν μπορούσαμε να επιλέξουμε έναν
οποιοδήποτε αριθμό στην τύχη, τότε η πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι
ρητός είναι σχεδόν μηδενική!</p>
<p><strong>Η απόδειξη που έμεινε στην ιστορία</strong></p>
<p>Η απόδειξη του Ιππάσου αναφέρεται από τον Αριστοτέλη ως
χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης της «προς άτοπο απαγωγής». Ποιος όμως
ήταν ο συλλογισμός του μαθηματικού;</p>
<p>Υπέθεσε ότι ο a/b είναι ρητός αριθμός με την ιδιότητα a<sup>2</sup>/b<sup>2</sup>
=2. Οι αριθμοί a και b είναι πρώτοι μεταξύ τους, γιατί πολύ απλά αν
είχαν κοινό διαιρέτη τότε αυτός θα απλοποιούταν από το κλάσμα (πχ. Το
4/12 γράφεται ως 1/3) Οπότε καταλήγουμε στην σχέση a<sup>2</sup>=2b<sup>2</sup>.</p>
<p>Συνεπώς το a, επειδή έχει άρτιο τετράγωνο, είναι άρτιος αριθμός. ΄Άρα, a = 2m και από αυτό έπεται ότι 4m<sup>2</sup> = b<sup>2</sup>. Άρα b<sup>2</sup> = 2m<sup>2</sup>. Άρα ο b είναι άρτιος, όπως και ο a.</p>
<p>Από την στιγμή που ισχύει ότι a και b είναι άρτιοι όμως, έχουν κοινό
διαιρέτη το 2. Αυτό είναι άτοπο, αφού η υπόθεση λέει το αντίθετο. Άρα το
ρίζα 2 δεν μπορεί να είναι ρητός!</p>
<p><br /></p><p><em><strong>Πηγή: iefimerida.gr – https://www.iefimerida.gr</strong></em></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-321902613852018642022-01-31T06:54:00.002+02:002022-01-31T06:54:36.009+02:00Isabelle Galmiche: Η μαθηματικός στο πλευρό του Sebastien Loeb<p> </p><div class="nx_post_excerpt">
<p>H Isabelle Galmiche πραγματοποίησε
ονειρικό ντεμπούτο στην κορυφαία κατηγορία του Παγκόσμιου Πρωταθλήματος
Ράλλυ, κατακτώντας τη νίκη ως συνοδηγός του Sebastien Loeb – Ας τη
γνωρίσουμε.</p>
</div>
<p>Λίγες ημέρες μετά από την ανακοίνωση της αποχώρησης του Daniel Elena από την συνοδήγηση σε επαγγελματικό επίπεδο, έγινε γνωστό πως <strong>νέα συνοδηγός του Sebastien Loeb</strong>, θα είναι η <strong>50χρονη Γαλλίδα, Isabelle Galmiche</strong>.<span></span></p><a name='more'></a><p></p>
<p>Αν και αρκετοί απόρησαν, η επιλογή του Loeb ήταν απόλυτα λογική, αφού <strong>η Galmiche υπήρξε από το 2017, συνοδηγός του σε διαδικασίες δοκιμών κατά τις οποίες δεν ήταν παρών ο Daniel Elena</strong>.</p>
<p>Ταυτόχρονα, <strong>η Γαλλίδα αποτελούσε τη συνοδηγό στο gravel crew του πληρώματος, δίπλα στον Patrick Magaud,</strong> οπότε γνώριζε πολύ καλά τον τρόπο σκέψης και δουλειάς του 9 φορές Παγκόσμιου Πρωταθλητή.</p>
<h4><strong>Isabelle Galmiche: Λύνοντας αμέσως την εξίσωση του… πρωταθλητισμού</strong></h4>
<p>Πριν από το <strong>Ράλλυ Μόντε Κάρλο</strong>, το όνομα της <strong>Isabelle Galmiche</strong> δεν ήταν γνωστό στο ευρύ κοινό των αγώνων, οπότε ήταν λογικό να συζητηθεί ακόμη περισσότερο, μετά από τη νίκη με το <strong>Ford Puma Rally1</strong>, στο πλευρό του <strong>Sebastien Loeb</strong>.</p><div class="ocm-banner-wrapper"><div class="ocmAds gAdCentered desktop_only" id="ocm_js-dfp-tag-300x250_c_desk_1" style="clear: both; display: inline-block; margin: 0px auto; text-align: center; width: 100%;">
<div id="ocm_ad_js-dfp-tag-300x250_c_desk_1">
</div>
</div></div>
<p>Πολλοί θα μπορούσαν να σκεφτούν ότι με τον πολυνίκη του<strong> WRC</strong> πίσω από το τιμόνι, τα πάντα γίνονται πιο εύκολα.</p>
<p>Αυτό όμως δεν ισχύει, καθώς να “ακολουθήσεις” έναν οδηγό τέτοιου
διαμετρήματος και να έχεις υπό τον έλεγχό σου όλα τα δεδομένα, όπως
απαιτείται από τους συνοδηγούς κορυφαίου επιπέδου, μόνο απλό δεν είναι.</p>
<p><img alt="Sebastien Loeb-Isabelle Galmiche Monte 01" class="aligncenter size-full wp-image-145325" data-src="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche01.jpg" data-srcset="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche01.jpg 1600w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche01-300x169.jpg 300w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche01-1024x576.jpg 1024w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche01-768x432.jpg 768w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche01-1536x864.jpg 1536w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche01-211x120.jpg 211w" height="267" src="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche01.jpg" width="476" /></p><div class="ocm-banner-wrapper"><div class="ocmAds gAdCentered desktop_only" id="ocm_js-dfp-tag-300x250_e_desk_1" style="clear: both; display: inline-block; margin: 0px auto; text-align: center; width: 100%;">
<div id="ocm_ad_js-dfp-tag-300x250_e_desk_1">
</div>
</div></div>
<p>Ιδιαίτερα μάλιστα, αν σκεφτούμε πως η <strong>Isabelle Galmiche</strong>
έπεσε στα βαθιά, αφού μπορεί συμμετείχε σε ράλλυ από το 1995, όμως αυτή
ήταν μόλις η 7η συμμετοχή της στο Παγκόσμιο Πρωτάθλημα Ράλλυ και η
παρθενική, στην κορυφαία κατηγορία.</p>
<p>Εντύπωση προκάλεσε το γεγονός, πως <strong>η Galmiche εργάζεται επαγγελματικά ως καθηγήτρια μαθηματικών</strong>,
οπότε τα ράλλυ είναι για εκείνη ένα χόμπι, που πάντως μετά από τη
συμμετοχή-νίκη στο Μόντε, την έκανε γνωστή σε όλον τον κόσμο.</p>
<p>Έχοντας αφήσει την καθημερινή της εργασία για μία εβδομάδα, η Γαλλίδα
βρέθηκε δίπλα στον 9 φορές Παγκόσμιο Πρωταθλητή και νικητή 79, πριν από
το Ράλλυ Μόντε Κάρλο, αγώνων του Παγκόσμιου Πρωταθλήματος Ράλλυ.</p>
<p><img alt="Sebastien Loeb-Isabelle Galmiche Monte 04" class="aligncenter size-full wp-image-145328" data-src="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche04.jpg" data-srcset="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche04.jpg 1600w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche04-300x169.jpg 300w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche04-1024x576.jpg 1024w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche04-768x432.jpg 768w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche04-1536x864.jpg 1536w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche04-211x120.jpg 211w" height="311" src="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche04.jpg" width="553" /></p>
<p>Επιστρέφοντας στο σχολείο, όπου δεν είχε αναφερθεί με λεπτομέρειες στο χόμπι της, η <strong>50χρονη καθηγήτρια</strong> και συνοδηγός είναι πια <strong>νικήτρια ενός αγώνα στο WRC</strong>, συνοδεύοντας τον Loeb στην <strong>80ή νίκη της καριέρας του</strong>.</p>
<p>Παράλληλα, έγινε η <strong>πρώτη γυναίκα που ανεβαίνει στο ψηλότερο σκαλί του βάθρου μετά από το 1997</strong>,
όταν νικήτρια είχε αναδειχθεί, ξανά στο Ράλλυ Μόντε Κάρλο και ξανά στον
πρώτο αγώνα των νέων τότε, κανονισμών για τα αυτοκίνητα WRC, η Ιταλίδα <strong>Fabrizia Pons</strong>, στο πλευρό του Pierro Liatti με Subaru Impreza WRC.</p>
<p><img alt="Sebastien Loeb-Isabelle Galmiche Monte 02" class="aligncenter size-full wp-image-145326" data-src="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche02.jpg" data-srcset="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche02.jpg 1600w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche02-300x200.jpg 300w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche02-1024x683.jpg 1024w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche02-768x512.jpg 768w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche02-1536x1024.jpg 1536w" height="314" src="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Monte22_LoebGalmiche02.jpg" width="471" /></p>
<p><em>“Ήμουν αρκετά διακριτική στο σχολείο και δεν είπα πολλά στους
μαθητές πριν από τον αγώνα, οπότε νομίζω ότι θα εκπλαγούν αρκετά όταν με
ξαναδούν”</em>, <strong>δήλωσε η Isabelle Galmiche στο <a href="https://www.wrc.com/en" rel="noopener" target="_blank">www.wrc.com</a></strong>.<em>
“Είναι ένα όνειρο που γίνεται πραγματικότητα, ήταν ήδη όνειρο το
γεγονός ότι θα συμμετείχα στο Ράλλυ Μόντε Κάρλο δίπλα στον Seb με ένα
τόσο καλό αυτοκίνητο, αλλά να κερδίζεις, δε γίνεται καλύτερο από αυτό.
Τι τρελή ιστορία!”</em></p>
<p><strong>Πώς προέκυψε όμως η συνεργασία με τον Sebastien Loeb;</strong> <em>“Αφότου
ο Daniel (Elena) αποφάσισε να σταματήσει τα ράλλυ, ο Seb με κάλεσε στο
τηλέφωνο και με ρώτησε αν μπορώ να βρεθώ μαζί του στο Μόντε Κάρλο.
Φυσικά, είπα αμέσως ναι.</em></p>
<p><img alt="Gravel crews" class="aligncenter size-full wp-image-143655" data-src="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Gravelcrews_01.jpg" data-srcset="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Gravelcrews_01.jpg 1600w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Gravelcrews_01-300x200.jpg 300w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Gravelcrews_01-1024x683.jpg 1024w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Gravelcrews_01-768x512.jpg 768w, https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Gravelcrews_01-1536x1024.jpg 1536w" height="339" src="https://www.4troxoi.gr/wp-content/uploads/2022/01/Gravelcrews_01.jpg" width="509" /></p>
<p><em>“Κάναμε πολλές δοκιμές μαζί του (όταν βρισκόταν) στη Citroen και
τη Hyundai, όποτε ο Daniel δεν ήταν διαθέσιμος, όμως αυτός ήταν ο πρώτος
μας κοινός αγώνας – και τι εκπληκτικό αποτέλεσμα”</em>.</p>
<p>Όσον αφορά στον <strong>Sebastien Loeb</strong>, ο 8 φορές πια νικητής του Ράλλυ Μόντε Κάρλο, όπως είναι λογικό <strong>έμεινε πολύ ευχαριστημένος από την απόδοση της νέας του συνοδηγού</strong>.</p>
<p><em>“Αυτό το αυτοκίνητο είναι πραγματικά δύσκολο για τον συνοδηγό και
είχε πολλά να πει, όμως είχε τέλειο ρυθμό και καταλαβαίνει πώς να το
κάνει πραγματικά καλά”</em>, <strong>σχολίασε ο Loeb</strong>.</p>
<p><em>“Υπάρχουν πολλά πράγματα προς έλεγχο. Έχει μεγάλη εμπειρία από το
γαλλικό πρωτάθλημα, όμως στο WRC έχεις πολλά να κάνει γύρω από το
αυτοκίνητο. Έκανε εξαιρετική δουλειά”</em>.</p>
<p></p>
<p>Με τον αριθμό των γυναικών που συμμετέχουν στις υψηλότερες βαθμίδες του μηχανοκίνητου αθλητισμού να αυξάνεται, ο Οργανισμός “<strong>FIA Women in Motorsport</strong>” δεν παρέλειψε να συγχαρεί την <strong>Isabelle Galmiche</strong> για το κατόρθωμά της.</p>
<p><em>“Μετά από την εκπληκτική επίδοση της Isabelle Galmiche, θα θέλαμε να σας πούμε περισσότερα για εκείνη”</em>, <strong>αναφέρεται σε post του Οργανισμού στα social media</strong>.</p>
<p><em>“Η Isabelle είναι καθηγήτρια μαθηματικών για ενήλικες και
βρίσκεται δίπλα στον Sebastien Loeb από το 2017. Πάντα ήταν παθιασμένη
με τα ράλλυ, ξεκίνησε το 1995 και έχει συμμετάσχει σε… 248 αγώνες!</em></p>
<p><em>“Ξέρουμε ότι είναι εντυπωσιακό… Επιπλέον, αυτό το Σαββατοκύριακο η
Isabelle έγραψε ιστορία, καθώς είναι η πρώτη γυναίκα συνοδηγός που
κερδίζει ένα ράλλυ στο WRC μετά την Fabrizia Pons, το 1997”.</em></p><p><em><a href="https://www.4troxoi.gr/agones/wrc/isabelle-galmiche-i-mathimatikos-sto-pleyro-toy-sebastien-loeb/?fbclid=IwAR1kTrP_Sp6EgJQ65RBwMy-ZliItummXZp-Vp3DvHuY8Wnvdl-7C3CEiLLk">ΠΗΓΗ</a> </em></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-55459487204602553622022-01-19T20:10:00.000+02:002022-01-19T20:10:04.139+02:00Η εφαρμογή της θεωρίας του Jacob Bernoulli στα τυχερά παιχνίδια <p> </p><p style="text-align: center;"> <img border="0" data-original-height="609" data-original-width="900" height="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhkGJY1LJtm6WSS2ZhjS_KQbhQUpmCJAlDLazOvHbjYJNVuG_tNIxaj8_yFSCX7aWfAtzRUQscEQVzUai7njB2iDbz6CqPoPgGOhYGwbymtjFHO28hsxSRtpy-qcRprpVhF9hGRmGh6BLCNczUMxt5_1MOvu9jdwQ8MTpLefxUu4Xtz75ysqwksldg-=s320" width="320" /></p><p></p><p></p><br /><p>Ο Γιακόμπ Μπερνούλι (Jacob Bernoulli, 6 Ιανουαρίου 1655 – 16
Αυγούστου 1705) ήταν Ελβετός μαθηματικός, ένας από τους πολλούς
διακεκριμένους μαθηματικούς της οικογένειας Μπερνούλι. Ο Γιακόμπ
γεννήθηκε στη Βασιλεία. Ακολουθώντας την επιθυμία του πατέρα του,
σπούδασε θεολογία και έγινε κληρικός. Αντιθέτως όμως με τις επιθυμίες
των γονέων του σπούδασε επίσης μαθηματικά και αστρονομία. Ταξίδεψε στην
Ευρώπη από το 1676 μέχρι το 1682, ενημερωνόμενος για τις τελευταίες
ανακαλύψεις στα μαθηματικά και τις επιστήμες, όπως τα έργα του Ρόμπερτ
Μπόιλ και του Ρόμπερτ Χουκ.<span></span></p><a name='more'></a><p></p>
<p>Εξοικειώθηκε με τον λογισμό μέσω της αλληλογραφίας του με τον
Γκότφριντ Λάιμπνιτς, και μετά συνεργάστηκε με τον αδερφό του, Γιόχαν, σε
διάφορες εφαρμογές, με πιο σημαντικές την δημοσίευση διατριβών στις
υπερβατικές καμπύλες (1696) και την ισοπεριμετρική ανισότητα (1700,
1701). Το 1690, ο Γιακόμπ έγινε ο πρώτος ο οποίος ανέπτυξε την τεχνική
για την επίλυση διαχωρίσιμων διαφορικών εξισώσεων.</p>
<p>Όταν γύρισε στη Βασιλεία το 1682 ίδρυσε σχολή για μαθηματικά και
επιστήμες. Διορίστηκε καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της
Βασιλείας το 1687, παραμένοντας σε αυτή την θέση για την υπόλοιπη ζωή
του.</p>
<p>Το πιο γνωστό έργο του Γιακόμπ είναι το Ars Conjectandi (Η τέχνη του
εικάζειν), το οποίο δημοσιεύθηκε οκτώ χρόνια μετά τον θάνατό του, το
1713 από τον ανεψιό του, Νίκολας. Στο έργο αυτό περιέγραψε τα γνωστά
αποτελέσματα της θεωρίας των πιθανοτήτων και της απαρίθμησης, συχνά
παρέχοντας εναλλακτικές αποδείξεις. Το έργο περιλαμβάνει επίσης την
εφαρμογή της θεωρίας πιθανοτήτων σε τυχερά παιχνίδια και την εισήγηση
ενός θεωρήματος γνωστού ως ο νόμος των μεγάλων αριθμών. Οι όροι δοκιμές
Μπερνούλι και αριθμοί Μπερνούλι προέρχονται από το έργο αυτό. Ο
σεληνιακός κρατήρας Μπερνούλι έχει ονομαστεί προς τιμήν του ιδίου και
του αδερφού του, Γιόχαν.</p>
<p>Στην Ευρώπη, το θέμα των πιθανοτήτων αναπτύχθηκε επίσημα πρώτη φορά
τον δέκατο έκτο αιώνα με το έργο του Καρντάνο, του οποίου το ενδιαφέρον
για τις πιθανότητες πήγαζε από την αγάπη του για τον τζόγο.</p>
<p>Έθεσε επίσημα αυτό που σήμερα ονομάζεται κλασικός ορισμός της
πιθανότητας: αν ένα γεγονός έχει a πιθανά αποτελέσματα και επιλεγούν
οποιαδήποτε b από αυτά έτσι ώστε b ≤ a, η πιθανότητα να συμβεί
οποιοδήποτε από τα b είναι ba. Ωστόσο η πραγματική του επιρροή δεν ήταν
μεγάλη. Έγραψε μόνο ένα βιβλίο πάνω στο θέμα το 1525 με τίτλο Liber de
ludo aleae (Βιβλίο πάνω στα παιχνίδια τύχης), το οποίο όμως δημοσιεύθηκε
μετά τον θάνατό του το 1663.</p>
<p>Η ημερομηνία την οποία η ιστορικοί θεωρούν ως την αρχή των
πιθανοτήτων με την σύγχρονη έννοια είναι το 1654, χρονιά κατά την οποία ο
Πασκάλ και ο Φερμά άρχισαν να αλληλογραφούν σχετικά με τις πιθανότητες.
Αιτία για αυτό ήταν γράμμα που είχε στείλει την ίδια χρονιά ένας
τζογαδόρος από το Παρίσι ονόματι Αντουάν Γκομπό (Antoine Gombaud) στον
Πασκάλ και άλλους μαθηματικούς ρωτώντας διάφορα σχετικά με πιθανότητες.
Πιο συγκεκριμένα έθεσε το πρόβλημα της διαίρεσης του στοιχήματος,
σχετικά με ένα θεωρητικό παιχνίδι δύο παικτών στο οποίο κερδίζει ένας
από τους δύο μετά από συγκεκριμένο αριθμό γύρων. Το ερώτημα αφορούσε τον
δίκαιο διαμοιρασμό της αξίας που είχε συγκεντρωθεί αν το παιχνίδι
σταματούσε πρόωρα λόγω κάποιας εξωτερικής αιτίας.</p>
<p>Η αλληλογραφία Πασκάλ και Φερμά προκάλεσε το ενδιαφέρον άλλων
μαθηματικών, όπως ο Κρίστιαν Χόυχενς, ο οποίος το 1657 δημοσίευσε το De
ratiociniis in aleae ludo (Υπολογισμοί στα παιχνίδια της τύχης).Κατά την
διάρκεια αυτής της περιόδου ο Πασκάλ δημοσίευσε επίσης τα αποτελέσματά
του σχετικά με το τρίγωνο του Πασκάλ. Αναφέρονταν στο τρίγωνο, στο έργο
του Traité du triangle arithmétique (Χαρακτηριστικά του αριθμητικού
τριγώνου), ως το «αριθμητικό τρίγωνο».</p>
<p>Αργότερα ο Γιαν ντε Βιτ δημοσίευσε παρόμοιο υλικό στο έργο του
Waerdye van Lyf-Renten, στο οποίο χρησιμοποίησε στατιστικές έννοιες ώστε
να προσδιορίσει το προσδόκιμο ζωής.</p>
<p>Ο Μπερνούλι είχε μεγάλη παραγωγή μαθηματικού έργου μεταξύ 1684 και 1689 στην οποία περιλαμβάνεται και το Ars Conjectandi.<br />
Όταν ξεκίνησε το έργο του το 1684 σε ηλικία 30 ετών, δεν είχε ακόμα διαβάσει το<br />
έργο του Πασκάλ για το αριθμητικό τρίγωνο ούτε του ντε Βιτ για την
στατιστική πιθανότητα. Είχε ζητήσει ένα αντίγραφο του τελευταίου από τον
γνωστό του, Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, αλλά ο Λάιμπνιτς δεν κατάφερε
να του το στείλει. Του έστειλε ωστόσο τα έργα του Πασκάλ και του
Χόυχενς, στα οποία βασίζεται το Ars Conjectandi.</p>
<p>Ο Μπερνούλι ονόμασε το έργο Ars Conjectandi επειδή επιθυμούσε να το
συνδέσει με την έννοια ars inveniendi του σχολαστικισμού, το οποίο με
την σειρά του υποδεικνύει ότι τα αποτελέσματά του θα μπορούσαν να
εφαρμοστούν σε όλες τις πτυχές της ζωής και της κοινωνίας.</p>
<p>Το έργο του Μπερνούλι, αρχικά δημοσιευμένο στα λατινικά, διαιρείται σε τέσσερα μέρη.</p>
<p>Τo πρώτο μέρος πραγματεύεται αυτό που είναι γνωστό σήμερα ως κατανομή Μπερνούλι.</p>
<p>Η <b>κατανομή Μπερνούλλι</b> είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής
τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά
αποτελέσματα (επιτυχία – αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p.</p>
<p>Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή Χ που παίρνει τιμές 0 ή 1. Για Χ=1
έχουμε επιτυχία και για Χ=0 αποτυχία. Η κατανομή Μπερνούλλι παίρνει τις
εξής τιμές:</p>
<dl><dd>P(X=1)=p<br />
P(X=0)=q=1-p</dd></dl>
<p> </p>
<table class="wikitable">
<tbody>
<tr>
<th><b>συνάρτηση πιθανότητας</b></th>
<th><b>παράμετροι</b></th>
<th><b>μέση τιμή</b></th>
<th><b>διακύμανση</b></th>
</tr>
<tr>
<td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">p(1-p)</span></span></td>
<td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">,<img alt="{\displaystyle \,p\in [0,1]}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4449572ac985c35af802cf3a3f8e28594be10554" /><br />
</span></span></td>
<td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">p</span></span></td>
<td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">p(1-p)}<br />
</span></span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p> </p>
<p>Στο πρώτο μέρος επίσης ο Μπερνούλι ανέπτυξε την έννοια του Χόυχενς
για την αναμενόμενη τιμή, ή ο ζυγισμένος μέσος όλων των πιθανών
ενδεχομένων ενός γεγονότος. Ο Χόυχενς είχε αναπτύξει την ακόλουθη
εξίσωση: E = p0a0+p1a1+p2a2+···+pnan p0+p1+···+pn . Σε αυτή την εξίσωση,
το E είναι η αναμενόμενη τιμή, το pi είναι οι πιθανότητες να
πραγματωθεί κάθε τιμή, και το ai είναι οι τιμές. Ο Μπερνούλι
κανονικοποίησε την αναμενόμενη τιμή υποθέτοντας ότι pi είναι οι
πιθανότητες όλων των ξένων ενδεχομένων, οδηγούμενος έτσι στο συμπέρασμα
ότι p0 + p1 + … + pn = 1.</p>
<p>Μία ακόμα θεωρία που αναπτύχθηκε σε αυτό το τμήμα είναι η πιθανότητα
να επιτευχθεί τουλάχιστον ένας αριθμός επιτυχιών σε ένα αριθμό
πειραμάτων, που σήμερα ονομάζονται δοκιμές Μπερνούλι, με διάφορα
αποτελέσματα δεδομένου όμως ότι η πιθανότητα της επιτυχίας σε κάθε
πείραμα είναι η ίδια.</p>
<p>Στο τρίτο μέρος, ο Μπερνούλι εφάρμοσε τις τεχνικές πιθανότητας, που
μελέτησε στα προηγούμενα μέρη, σε κοινά τυχερά παιχνίδια της εποχής με
τράπουλα ή ζάρια. Παρουσίασε προβλήματα πιθανοτήτων σχετικά με αυτά αλλά
και γενικεύσεις αυτών χωρίς συγκεκριμένες σταθερές. Για παράδειγμα, ένα
πρόβλημα το οποίο είχε να κάνει με την αναμενόμενη τιμή φιγούρων που θα
τραβούσε κάποιος από μια τράπουλα 20 φύλλων με 10 φιγούρες μπορούσε να
γενικευθεί σε πρόβλημα με a φύλλα που είχαν b φιγούρες έτσι ώστε b<a.</p>
<p>Το τέταρτο μέρος πραγματεύεται την εφαρμογή των πιθανοτήτων σε
προσωπικές, δικαστικές και οικονομικές αποφάσεις. Σε αυτή την ενότητα ο
Μπερνούλι διαφέρει στον τρόπο σκέψης που σχετίζεται με την συχνότητα
πιθανότητας, κατά τον οποίο η πιθανότητα ορίζεται με εμπειρικό τρόπο.
Διαφέρει με ένα αποτέλεσμα που σχετίζεται με τον νόμο των μεγάλων
αριθμών, στο οποίο ο Μπερνούλι περιέγραψε ότι προβλέποντας τα
αποτελέσματα της παρατήρησης θα προσεγγίζουν την θεωρητική πιθανότητα
καθώς γίνονται περισσότερες δοκιμές, ενώ κατά την σχολή της συχνότητας
πιθανότητας, η πιθανότητα ορίζεται αντίστροφα. Ο Μπερνούλι ήταν πολύ
περήφανος για αυτό το αποτέλεσμα, αναφερόμενος σε αυτό ως το «χρυσό
θεώρημά» του, και σχολίασε ότι ήταν «ένα πρόβλημα με το οποίο είχε
ασχοληθεί για είκοσι χρόνια».</p>
<h2><span class="mw-headline" id="Το_τέλος">Το τέλος</span></h2>
<p>Ο Μπερνούλι επέλεξε το σχήμα μίας λογαριθμικής σπείρας και τη φράση <i>Eadem mutata resurgo</i> (<i>Αλλαγμένος και όμως ο ίδιος, ανασταίνομαι</i>) για την ταφόπλακά του. Η σπείρα που κατασκευάστηκε ωστόσο τελικά από τους τεχνίτες ήταν σπείρα του Αρχιμήδη.</p>
<p> </p>
<p><em><strong>ΠΗΓΕΣ: 1. WIKIPEDIA</strong></em><br />
<em><strong> 2.http://portal.survey.ntua.gr/main/labs/hgeod/ddeli/analmgeo/Digital_library/Wikepedia_Articles_on%20Propabilities.pdf</strong></em></p><p><em><strong><a href="https://www.lecturesbureau.gr/1/jacob-bernoulli/">ΠΗΓΗ</a> </strong></em></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-34605100250719595052022-01-19T20:06:00.007+02:002022-01-19T20:06:56.905+02:00Τετρακτύς , το ιερό σύμβολο των Πυθαγορείων<p> <br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj_0TiFqXBrqb5Yr4JHMGT2c7FUDkkRiRd3nC98cwTmWeB73eHrIxivIVmeSLtoDePETU5PcLpTEjSFs1gj4H7CX-xjsNEnozbB2q7IgCoZ1pNvMdPca4HCUnkevS3KQH59BJDNDha3tmYh5WydFwsaJukgQMr9ZnrcFgejuqUphehqJSOPm3pi8I8c=s900" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="609" data-original-width="900" height="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj_0TiFqXBrqb5Yr4JHMGT2c7FUDkkRiRd3nC98cwTmWeB73eHrIxivIVmeSLtoDePETU5PcLpTEjSFs1gj4H7CX-xjsNEnozbB2q7IgCoZ1pNvMdPca4HCUnkevS3KQH59BJDNDha3tmYh5WydFwsaJukgQMr9ZnrcFgejuqUphehqJSOPm3pi8I8c=s320" width="320" /></a></div><br /><p></p><p></p><p>Η Τετρακτύς αποτελεί την ουσία της διδασκαλίας και το ιερό
σύμβολο των Πυθαγορείων. Αποτελείται από τους δέκα πρώτους
αριθμούς(1-10) τοποθετημένους σε τέσσερις σειρές (ένας στην πρώτη σειρά,
δύο στην δεύτερη, τρεις στην τρίτη και τέσσερις στην τέταρτη σειρά)
όπως και στην εικόνα φαίνεται. Τετρακτύν αποκαλούσαν την “Τετράδας” που
είναι στην Πυθαγόρειο Φιλοσοφία η ουσία και η έννοια του αριθμού
τέσσερα. Η Τετρακτύς είναι ο τέταρτος “τριγωνικός αριθμός” εμφανίζοντας
έτσι μια άλλη άποψη της σχέσης Τετράδας και Τετρακτύος.</p>
<p><strong>Η Τετρακτύς<span></span></strong></p><a name='more'></a><br />
Οπωσδήποτε δεν πρέπει να ξεχνάμε την σχέση της Τετρακτύος με την
“Δεκάδα”. Εξ αυτού η Τετρακτύς αναφέρεται σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο με τα
προσηγορικά ονόματα: Κόσμος(διακόσμηση, στολίδι), Παν(ο θεός Πάνας – Παν
= Όλο), Ουρανός, Άτλας, Κλειδούχος, Αιών, Μνήμη, Γνώμων, Ειμαρμένη,
Κράτος, Φάνης, Ήλιος, Πυθμήν κ.α. Με την μελέτη των εννοιών των αριθμών
που υπάρχουν στην Τετρακτύν και των σχέσεων τους οι Πυθαγόρειοι
υποστηρίζουν ότι κάποιος φθάνει στην απόκτηση της σοφίας.<p></p>
<p>Η κύρια σχέση Τετράδας και Τετρακτύος φαίνεται και από την φημισμένη
σχέση των πρώτων τεσσάρων αριθμών με την δεκάδα την οποία παράγουν όταν
προστεθούν(1+2+3+4=10). Από αυτούς τους πρώτους τέσσερις αριθμούς(1, 2, 3
& 4), είναι δυνατόν να κατασκευαστούν οι λόγοι: “δια τεσσάρων”
(4:3, τέταρτης), “δια πέντε” (3:2, πέμπτης), “δια πασών” (2:1, Οκτάβα),
που στην μουσική αποδίδουν τα αναφερόμενα αρμονικά μουσικά διαστήματα τα
οποία πρώτος ο Πυθαγόρας καθόρισε επακριβώς με αριθμητικούς λόγους. Οι
αναλογίες αυτές δημιουργούν την Αρμονία, που για τους Πυθαγόρειους έχει
σημασία κυριολεκτικά κοσμική (εξ ου και η ονομασία της “Κόσμος”). Οι
Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν την Τετρακτύν για να ορκισθούν,
επικαλούμενοι μάλιστα τον Πυθαγόρα σαν κάποιο θεό, όπως φαίνεται από τα
“Χρυσά Έπη” όπου αναφέρεται:</p>
<p><i>«ναὶ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν<br />
</i><i>παγὰν ἀενάου φύσεως.»</i></p>
<p>(ναι μα τον παραδόσαντα στην ψυχή μας την τετρακτύν,<br />
που είναι η πηγή της αενάου φύσεως.)</p>
<p>Χρυσά Έπη – στίχοι: 47, 48</p>
<p>Οι αριθμοί σχετίζονται με τα γεωμετρικά σχήματα. Έτσι η μονάδα
σχετίζεται με το σημείο, η δυάδα με την γραμμή, η τριάδα με το τρίγωνο
και η τετράδα ή τετρακτύς με το τετράεδρο (ή τριγωνική πυραμίδα), το
πρώτο γεωμετρικό στερεό. Εθεωρείτο σύμβολό της το τετράγωνο που επίσης
ήταν το σύμβολο του θείου και της τελειότητας. Επίσης η σοφία θεωρούσαν
ότι αποκτιέται από τις τέσσερις εσωτερικές για τους Πυθαγόρειους
επιστήμες της αριθμητικής, μουσικής, γεωμετρίας και αστρονομίας. Συνιστά
σύμβολο του Θεού Απόλλωνος και οι Πυθαγόρειοι συνδέουν την Τετρακτύν με
το Μαντείο των Δελφών, όπως φαίνεται στο σημαντικό “περί υπάρξεως”
“άκουσμα” που αναφέρει ο Ιάμβλιχος: «τι εστί το εν Δελφοίς Μαντείον;
Τετρακτύς» (τι είναι το Μαντείο των Δελφών; Η Τετρακτύς).</p>
<p>Υπάρχει και άλλη μία Τετρακτύς, όπως αναφέρεται στον Τίμαιο του
Πλάτωνα, η οποία ονομάζεται διπλή Τετρακτύς και αποτελείται από οκτώ
γραμμές που δημιουργούνται από τους πρώτους οκτώ αριθμούς(1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8) οι οποίοι συνολικά μας δίνουν σύνολο 36 (1+2+3+4+5+6+7+8=36).
Από μια άλλη οπτική αυτή η Τετρακτύς δημιουργείται, και έτσι συνδέεται
με την κανονική τετράγραμμη Τετρακτύν, από το άθροισμα των τεσσάρων
πρώτων περιττών αριθμών και των τεσσάρων πρώτων αρτίων:
(1+3+5+7)+(2+4+6+8)=36 όπως αναφέρει και ο Πλούταρχος στο “Περί Ίσιδος
και Οσίριδος”.</p>
<p><br /></p><p><em><strong>Πηγή: WIKIPEDIA</strong></em></p>
<p>Εικόνα: https://steemit.com/original-poetry/@enternamehere/original-tetractys-poem-by-enternamehere<em><strong><br />
</strong></em></p>
<a href="https://www.lecturesbureau.gr/1/tetractys-2377/">ΠΗΓΗ</a><br />Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-4783695577918598082022-01-19T20:02:00.005+02:002022-01-19T20:02:49.552+02:00Ο Θαλής έκρινε πως το σωστό ήταν να απαντήσει στα προσβλητικά λόγια, αλλά, με το δικό του τρόπο.<p> <br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh1d5xEeIOGjquX2yX68ae9rphaBHy-q1GruF0ibO1UdPnQpGNgZIYM-ayKv7Ex1L-OqM6K4cvN9v0G-D8hh-eNLhvnjjtDcPoqSwQV1IKfUdEtoTs47A0sphMs1ndkcpl3slg61MO7R05AGGWl7lx9CEjz_Z0G9_lD4E40LjkWixS2649FI1qtBCmT=s900" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="609" data-original-width="900" height="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh1d5xEeIOGjquX2yX68ae9rphaBHy-q1GruF0ibO1UdPnQpGNgZIYM-ayKv7Ex1L-OqM6K4cvN9v0G-D8hh-eNLhvnjjtDcPoqSwQV1IKfUdEtoTs47A0sphMs1ndkcpl3slg61MO7R05AGGWl7lx9CEjz_Z0G9_lD4E40LjkWixS2649FI1qtBCmT=s320" width="320" /></a></div><br />
<p>Κι αλήθεια, ποτέ του δε θα μπορούσε ο Μέλισσος να λησμονήσει το Θαλή. Να τι είχε συμβεί πριν από χρόνια:</p>
<p>Ο Θαλής, απασχολημένος καθώς ήταν συνεχώς με την επιστημονική του
έρευνα, δεν είχε φροντίσει να αποκτήσει χρήματα. Η απόκτηση χρημάτων δεν
τον ενδιέφερε άλλωστε και ιδιαίτερα, αφού πίστευε ότι η πιο πολύτιμη
αλλά και η πιο σταθερή περιουσία που μπορεί να αποκτήσει ο άνθρωπος στη
ζωή του είναι η γνώση. «Ο πλούτος είναι κάτι το αβέβαιο», συνήθιζε να
λέει ο Θαλής, όπως και όλοι οι σοφοί άνθρωποι του καιρού του, «όμως η
γνώση, από τη στιγμή που την αποκτάς, είναι για πάντα δική σου και
κανείς ποτέ δεν μπορεί να σου τη στερήσει».<span></span></p><a name='more'></a><p></p>
<p>Ο Μέλισσος, πολύ νέος τότε, άκουγε συνεχώς να παινεύουν το Θαλή για
τη σοφία του και ζήλεψε τον έπαινο του δήμου. Πώς είναι δυνατόν,
σκεφτόταν, να θαυμάζουν έναν άνθρωπο σχεδόν φτωχό μόνο και μόνο επειδή
ξέρει τις αποστάσεις μεταξύ των αστεριών ή επειδή μπορεί να μετρήσει το
ύψος των πυραμίδων της Αίγυπτου; Δε θα ήταν πιο λογικό να θαυμάζουν
εκείνον, τον ίδιο το Μέλισσο, που είχε γεννηθεί σε οικογένεια με πολλά
χρήματα και που ήταν ήδη ένας ικανός έμπορος, κι ας ήταν τόσο νέος;</p>
<p>Έτσι, ένα πρωί που συνάντησε το Θαλή στην αγορά της Μιλήτου, ο Μέλισσος τον χλεύασε μπροστά σε όλο τον κόσμο:</p>
<p>«Να, λοιπόν, και ο περίφημος Θαλής, που όλη του η γνώση και η σοφία
δεν είναι αρκετές για να του φέρουν λίγα, έστω, χρήματα! Σπουδαία γνώση,
μα την αλήθεια!»</p>
<p>Ο Θαλής δε μίλησε. Τα λόγια του ανόητου εκείνου νεαρού εμπόρου τον
είχαν αφήσει αδιάφορο. Το ίδιο βράδυ όμως στο σπίτι του σκέφτηκε πως
είχε ευθύνη απέναντι σε όσους είχαν ακούσει τα λόγια του Μέλισσου.
Αρχικά, του είχε φανεί ότι δεν υπήρχε λόγος να του απαντήσει, καθώς τα
προσβλητικά λόγια ενός ξιπασμενου νεαρού δεν μπορούσαν καν να τον
αγγίςουν. Οι άλλοι όμως τι είχαν άραγε καταλάβει από αυτό το
περιστατικό; Ο Θαλής συνειδητοποίησε πως όσοι είχαν ακούσει στην αγορά
τα λόγια του Μέλισσου, και κυρίως οι πιο νέοι ανάμεσά τους, διέτρεχαν
τώρα έναν κίνδυνο: τον κίνδυνο να πιστέψουν ότι ο ίδιος δεν είχε
απαντήσει επειδή αναγνώριζε ότι τα<br />
λόγια του Μέλισσου ήταν σωστά. Γεννημένος δάσκαλος καθώς ήταν, ο Θαλής
ένιωσε να βαραίνει στους ώμους του αυτή η ευθύνη. Κι έτσι, έκρινε πως το
σωστό ήταν να απαντήσει στα προσβλητικά λόγια του Μέλισσου, αλλά με το
δικό του τρόπο.</p>
<p>Συνεχίζοντας τις αστρονομικές του παρατηρήσεις ο Θαλής κατέληξε σε κάποια μετεωρολογικά συμπεράσματα.</p>
<p>Συμπέρανε δηλαδή ότι οι καιρικές συνθήκες θα ευνοούσαν εκείνη τη
χρονιά τη σοδειά της ελιάς. Έτσι, φρόντισε από πολύ νωρίς να διαθέσει
τις λιγοστές του οικονομίες για να νοικιάσει όλα τα ελαιοτριβεία του
τόπου. Τα νοίκιασε, βέβαια, σε πολύ χαμηλή τιμή, καθώς ήταν ακόμη η
εποχή που κανείς άλλος δεν ασχολιόταν με τις ελιές.</p>
<p>Έφτασε όμως και ο καιρός της συγκομιδής της ελιάς και η σοδειά ήταν τόσο πλούσια που υπήρχε πολύ μεγάλη ζήτηση για ελαιοτριβεία.</p>
<p>Κι αφού τα ελαιοτριβεία τα είχε όλα νοικιάσει ο Θαλής, κέρδισε πολλά
χρήματα εκείνη τη χρονιά παραχωρώντας τα στους ενδιαφερομένους έναντι
αμοιβής.</p>
<p>Πήγε τότε ο Θαλής και βρήκε το Μέλισσο.</p>
<p>«Όπως βλέπεις», του είπε, «αν το θελήσω, μπορώ να γίνω πλούσιος χάρη στις γνώσεις μου, και μάλιστα πολύ πιο πλούσιος από σένα».</p>
<p>Ο Μέλισσος ντράπηκε ακόμα και vα σηκώσει το βλέμμα του για να
αντικρίσει αυτό του Θαλή. Καθώς όμως ήταν τίμιος νέος, αναγνώρισε το
λάθος του. Από τότε μάλιστα άρχισε να αποζητα τη συντροφιά ιου Θαλή κι
έγιναν, τελικά, φίλοι οι δυο τους.</p>
<p>Ο Μέλισσος δεν άφησε το εμπόριο, καθώς αυτή ήταν η εργασία του και
την έκανε καλά, άρχισε όμως να σκέφτεται. Άρχισε να θέτει ερωτήματα,
πρώτα στον εαυτό του και μετά στους άλλους. Έμαθε να μη θεωρεί τίποτα
δεδομένο. Έμαθε ακόμα, κι αυτό ήταν πολύ σημαντικό, να μην περιγελά
όσους δεν του έμοιαζαν. Και, παρ’ όλο που ποτέ του δεν έγινε αληθινός
σοφός, σαν το Θαλή, κατόρθωσε όμως κι εκείνος να αξιωθεί έναν κλήρο
γνώσης.</p>
<p></p>
<p><em><strong>Ο πιο σοφός απ’όλους</strong></em><br />
<em><strong>ΟΥΡΑΝΙΑ ΤΟΥΤΟΥΝΤΖΗ</strong></em></p>
<a href="https://www.lecturesbureau.gr/1/thales-held-that-the-right-thing-was-to-answer-to-the-insulting-words-but-in-his-own-way/?fbclid=IwAR3t17qAXNYECWLX9h2phSS5SwzTqFX0F-fpUFaq4jGdUpxP7lFlDnyTkQA">ΠΗΓΗ</a><br />Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-35336099799138444332022-01-07T11:08:00.001+02:002022-01-08T19:33:26.311+02:00Δημήτρης Χριστοδούλου: Ο σπουδαιότερος εν ζωή Έλληνας μαθηματικός μιλάει στη LiFO<p>Εκάλη. Το πρωινό είναι χειμωνιάτικο. Μια απόλυτη ησυχία επικρατεί παντού. Το σπίτι του διεθνούς φήμης Έλληνα μαθηματικού βρίσκεται σε κεντρικό σημείο της περιοχής. Πλέον, όταν βρίσκεται στην Ελλάδα, ζει απομονωμένος σ’ αυτή την επιβλητική μονοκατοικία και η μοναδική του έξοδος είναι η καθημερινή του βόλτα στην περιοχή. Με υποδέχεται στην είσοδο και κατευθυνόμαστε στο σαλόνι του σπιτιού. Οι πρώτες εικόνες που αντικρίζω θυμίζουν μουσείο. Ενθύμια, αμέτρητες φωτογραφίες, σπάνια έπιπλα, βιβλία, εφημερίδες και περιοδικά, εγκυκλοπαίδειες και, φυσικά, ένα δωμάτιο το οποίο είναι ασφυκτικά γεμάτο με τα βραβεία και τις διακρίσεις που έχει λάβει όλα αυτά τα χρόνια.
Μπροστά μου, άλλωστε, έχω τον άνθρωπο ο οποίος στην ηλικία των είκοσι ετών αναγορεύτηκε διδάκτορας στο Πρίνστον, ενώ στη διάρκεια της καριέρας του ασχολήθηκε με κάποια από τα δυσκολότερα προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής. Το φθινόπωρο του 1977, όταν ήταν ως μεταδιδακτορικός στο Ινστιτούτο Μαξ Πλανκ στο Μόναχο, ο Γιούργκεν Έλερς, ένας από τους διευθυντές του Ινστιτούτου, διέβλεψε την κλίση του στα μαθηματικά και φρόντισε ώστε να σπουδάσει μαθηματικά στο Παρίσι. <span></span></p><a name='more'></a>Έπειτα, μεταναστεύει στην Αμερική, όπου γίνεται καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο των Συρακουσών της Νέας Υόρκης, ενώ το 1992 γίνεται καθηγητής του Πανεπιστημίου Πρίνστον. Το 2001 μετακομίζει στην Ευρώπη, παίρνοντας τη θέση του καθηγητή Μαθηματικών και Φυσικής στο διάσημο Πολυτεχνείο της Ζυρίχης, εκεί που δίδαξε ο Άλμπερτ Αϊνστάιν.
Πριν ξεκινήσουμε τη συζήτησή μας, το βλέμμα μου στέκεται στις πολυάριθμες βραβεύσεις του.<p></p><p> Ενδεικτικά, αυτός ο σπουδαίος Έλληνας έχει λάβει το βραβείο του Κοινωφελούς Ιδρύματος Μακ Άρθουρ το 1993, το βραβείο Βôcher, το αρχαιότερο βραβείο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, αντίστοιχο του Νόμπελ, καθώς και το βραβείο Tomalla, που αφορά τη βαρύτητα και την κοσμολογία. Επίσης, το 2011 μοιράστηκε με τον Ρίτσαρντ Χάμιλτον το βραβείο Σω της Μαθηματικής Επιστήμης, ένα από τα δυο σημαντικότερα βραβεία παγκοσμίως στα μαθηματικά χωρίς όριο ηλικίας, ενώ το 2021 τού απονεμήθηκε από τη Διεθνή Ένωση Μαθηματικής Φυσικής το βραβείο Ανρί Πουανκαρέ. Τέλος, του έχει απονεμηθεί ο Ταξιάρχης του Φοίνικα από τον Πρόεδρο της Ελληνικής Δημοκρατίας και σήμερα είναι μέλος της Εθνικής Ακαδημίας Επιστήμων των ΗΠΑ, της Αμερικανικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών, καθώς και της Ακαδημίας της Ευρώπης. </p><p>Τα μαθηματικά είναι ένας τρόπος σκέψης. Πάντα με γοήτευε η πολυπλοκότητά τους. Εμπεριέχουν μια ομορφιά χωρίς να σου προξενούν συναισθήματα, εκτός από το δέος που σου προκαλούν. Με συναρπάζει ως μια νοητική και εμπειρική διαδικασία. Πρόκειται για ένα ανεκτίμητο μέσο κατανόησης του κόσμου αλλά και της λογικής συγκρότησής του.
Κατά τη διάρκεια της συνομιλίας μας, διακρίνω έναν άνθρωπο ευγενή, άμεσο, φιλόξενο και προσηνή. Διακρίνεται για την πολυσύνθετη και ιδιοφυή σκέψη του, τη δωρικότητα της έκφρασής του, ενώ σε κάθε του απάντηση ανατρέχει σε παραπομπές ή θεωρήματα κορυφαίων επιστημόνων. Αγαπά πολύ τα μαθηματικά των αρχαίων Ελλήνων και θεωρεί τον Αρχιμήδη ως «τη μεγαλύτερη επιστημονική μεγαλοφυΐα όλων των εποχών». Μάλιστα, λέει γι’ αυτόν πως «είναι ό,τι ακριβώς ο Όμηρος για τους ποιητές ή ο Μέγας Αλέξανδρος για τους ηγέτες». </p><p>Ο κ. Χριστοδούλου θεωρείται από την παγκόσμια επιστημονική κοινότητα ο κορυφαίος Έλληνας μαθηματικός της σύγχρονης περιόδου. Τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα εστιάζονται στις μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγωγούς, με εφαρμογή στη γενική θεωρία της σχετικότητας και στη μηχανική των ρευστών. Επίσης, ευρέως γνωστός έγινε από την απόδειξή του για τη μη γραμμική ευστάθεια του χωροχρόνου Minkowski της ειδικής σχετικότητας στο πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας των εξισώσεων του Αϊνστάιν. </p><p>Στη συνέντευξη που ακολουθεί μιλά για την εποχή μας, τα μαθηματικά, τις μαύρες τρύπες, τα πανεπιστήμια, την ευτυχία αλλά και για το τι θεωρεί σημαντικό στη ζωή. </p><p>— Τι τίτλο θα δίνατε στην εποχή μας; </p><p>Αναμφίβολα, είναι μια εποχή υψηλών κινδύνων. Εκτός από την πανδημία, θεωρώ ότι δύο από τα σημαντικότερα προβλήματα που θα κληθεί να αντιμετωπίσει η ανθρωπότητα άμεσα είναι η κλιματική κρίση και οι μεταλλαγμένες τροφές. Το τελευταίο χρονικό διάστημα εξαπλώνονται όλο και περισσότερο τα μεταλλαγμένα τρόφιμα, με αποτέλεσμα να απειλείται η υγεία μας εξαιτίας των καρκινογενέσεων που θα προκαλέσουν. Επίσης, νομίζω ότι οι επιπτώσεις της βιομηχανικής επανάστασης τώρα διαφαίνονται στον ορίζοντα. Ελπίζω ότι, αν αποφευχθούν τα λάθη του παρελθόντος, δεν είναι αργά πλέον προκειμένου ο πλανήτης να λάβει τα κατάλληλα μέτρα. Διαφορετικά, πιστεύω ότι θα δούμε σοβαρές καταστροφές στο φυσικό περιβάλλον, όπως και σε όλους τους τομείς της ζωής και της καθημερινότητας του ανθρώπου. </p><p>— Πώς βιώνετε την πανδημία; </p><p>Άλλαξε η ζωή μας μονομιάς. Βεβαιότητες κλονίστηκαν ή χάθηκαν. Κλειστήκαμε στο σπίτι, αποφεύγουμε τις κοινωνικές επαφές, περιορίσαμε τα ταξίδια, ενώ η τηλεργασία εισέβαλε στην καθημερινότητά μας. Είναι τόσο ρευστά τα δεδομένα καθημερινά, που οι προβλέψεις για το μέλλον είναι ιδιαίτερα επισφαλείς. </p><p>— Σε τι περιβάλλον μεγαλώσατε; </p><p>Ο πατέρας μου, Λάμπρος, ήταν ασφαλιστής, ενώ η μητέρα μου, Μαρία, μέχρι πριν να γεννηθώ δούλευε ως τραπεζική υπάλληλος. Βέβαια, μόλις γεννήθηκα αφιερώθηκε στο νοικοκυριό του σπιτιού. Ο πατέρας μου γεννήθηκε στην Αλεξάνδρεια από Ελληνοκύπριους γονείς που είχαν μεταναστεύσει στην Αίγυπτο. Η μητέρα μου γεννήθηκε στην Αθήνα από οικογένεια προσφύγων της Μικράς Ασίας. Γεννήθηκα στην Αθήνα τον Οκτώβριο του 1951. Από τα παιδικά μου χρόνια θυμάμαι πολύ έντονα τον νονό μου, τη γιαγιά μου αλλά και τους μακρινούς περιπάτους με τον πατέρα μου στην περιοχή των αρχαίων μνημείων. Σ’ αυτές τις διαδρομές με ενέπνεε λέγοντάς μου ιστορίες από το ένδοξο παρελθόν που η Ελλάδα είχε μια ξεχωριστή συμβολή στον ανθρώπινο πολιτισμό. Μια από τις παιδικές αναμνήσεις που δεν θα ξεχάσω είναι όταν ο πατέρας μου συνήθιζε να με πηγαίνει σε έναν κινηματογράφο για παιδιά που έπαιζε ντοκιμαντέρ. Ακόμα θυμάμαι την εντύπωση που μου έκανε όταν είδα ένα ντοκιμαντέρ για τον Αϊνστάιν. </p><p>— Πότε ανακαλύπτετε την κλίση σας στα μαθηματικά; </p><p>Θυμάμαι ότι πήγαινα στη Σχολή Μωραΐτη, αλλά αγαπούσα πολύ τον αθλητισμό, ειδικά την ενόργανη. Νομίζω ότι κάποια στιγμή, πρέπει να ήμουν γύρω στα 14, είχα τελειώσει τη Γ’ Γυμνασίου, χωρίς ακόμη να έχω ανακαλύψει την αιτία, ενδιαφέρθηκα πάρα πολύ για ένα πρόβλημα ευκλείδειας γεωμετρίας. Αφορούσε την τριχοτόμηση μίας γωνίας. Αυτό το πρόβλημα ήταν η σπίθα που άναψε μέσα μου, ξεκινώντας ένα φλέγον ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και τη θεωρητική φυσική. Κάπως έτσι, λοιπόν, έπιασα στα χέρια μου τον διαβήτη, το μολύβι και εισχώρησα στον κόσμο της φυσικής και των μαθηματικών κανόνων. Επίσης, πάντα μου άρεσε να διαβάσω τα βιβλία της επόμενης τάξης και να λύνω τις ασκήσεις. Άλλα ενδιαφέροντα δεν είχα και, μάλιστα, έλυνα και τις ασκήσεις των συμμαθητών μου. Ακόμη και φοιτητές του Πολυτεχνείου ερχόντουσαν για να τους λύσω τα προβλήματα. Στη συνέχεια, όταν ήμουν 17 ετών, έφυγα από την Ελλάδα και πήγα για μεταπτυχιακές σπουδές στη Φυσική στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον των ΗΠΑ. Ήμουν μαθητής της Β’ Λυκείου τότε. Ολοκλήρωσα το διδακτορικό μου μέσα σε τρία χρόνια. Η συνέχεια είναι γνωστή, αφού ξεκίνησα να εργάζομαι ως καθηγητής και ερευνητής σε πανεπιστήμια της Αμερικής και της Ευρώπης. Ήδη, είχα μυηθεί στις έννοιες του χώρου και του χρόνου και είχα μαγευτεί με τη γεωμετρία του Ρήμαν και τη σχετικότητα του Αϊνστάιν. </p><p>— Πώς καταφέρνετε σε ηλικία 20 ετών να λάβετε το διδακτορικό σας στη Φυσική από το Πανεπιστήμιο Πρίνστον; </p><p>Αρχικά, είχα έρθει σε επαφή με τον Αχιλλέα Παπαπέτρου, τον διακεκριμένο θεωρητικό φυσικό στο Παρίσι, μέσω ενός φίλου του πατέρα μου, ηλεκτρολόγου-μηχανολόγου, του Σπύρου Μιχαλοπούλου. Μετέπειτα, ο Παπαπέτρου μίλησε στον John Wheeler, καθηγητή Φυσικής του Πρίνστον, που βρισκόταν τότε με άδεια στο Παρίσι. Μάλιστα, ο Wheeler επιθυμούσε διακαώς να με κάνει κατ’ εικόνα και ομοίωσή του. Κάπως έτσι με κάλεσαν στο Παρίσι για να με εξετάσουν. Πέρασα τις εξετάσεις επιτυχώς και εισηγήθηκαν στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον να γίνω δεκτός ως «υπό δοκιμασία φοιτητής». Ωστόσο, μετά από 9 μήνες έγινα δεκτός κανονικά στο μεταπτυχιακό και σε ηλικία 19 ετών δημοσίευσα την πρώτη μου επιστημονική εργασία. Ήταν το φθινόπωρο του 1970, έναν μήνα μετά τα 19α γενέθλιά μου, όταν δημοσίευσα την επιστημονική εργασία «Αντιστρεπτοί και μη αντιστρεπτοί μετασχηματισμοί στη φυσική των μελανών οπών», που άνοιξε ένα καινούργιο κεφάλαιο, τη θερμοδυναμική των μελανών οπών. </p><p>— Και πώς βρεθήκατε να ασχολείστε με τα μαθηματικά; </p><p>Προσωπικά, πάντα πίστευα ότι τα μαθηματικά και η φυσική αποτελούν μια ενιαία επιστήμη. Πάντοτε πρέσβευα ότι τα μαθηματικά δίνουν τις απαντήσεις στα ερωτήματα και η φυσική είναι η επιστήμη η οποία τις ερμηνεύει. Θυμηθείτε ότι ο Γαλιλαίος είχε πει ότι το βιβλίο της φύσεως είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών. Ωστόσο, όταν ήμουν 26 ετών, ο άνθρωπος-κλειδί ήταν ο Jurgen Ehlers, Γερμανός φυσικός, ο οποίος είχε μια ιδιαίτερη αγάπη στα μαθηματικά. </p><p>Κι έτσι η έρευνά μου εστιάστηκε στη Θεωρία των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, της Διαφορικής Γεωμετρίας, της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας, των εξισώσεων του Αϊνστάιν καθώς και της Μηχανικής των Ρευστών. Την ίδια στιγμή, ευτύχησα στη διαδρομή μου να συναντήσω κορυφαία μυαλά όπως ο Πολ Ντιράκ. Μη λησμονείτε ότι η συμβολή του Ντιράκ στα αρχικά στάδια της κβαντομηχανικής και της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής θεωρείται πολύ σημαντική.
— Στο πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, έχετε αποδείξει την ευστάθεια του χωρόχρονου Minkowski στον οποίο ζούμε και έχετε διατυπώσει αυστηρά θεωρήματα σχετικά με τον σχηματισμό των Μελανών Οπών. Θα θέλατε να μας το εξηγήσετε;
Η απόδειξη της καθολικής ευστάθειας του επίπεδου χωροχρόνου της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, η οποία έχει ονομαστεί «Χωροχρόνος Minkowski», στο πλαίσιο της γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, αναφέρεται στον χωροχρόνο ο οποίος είναι καμπύλος και η καμπυλότητα, που αντιστοιχεί στη βαρύτητα, υπακούει στις εξισώσεις Αϊνστάιν. Οφείλω να πω ότι γι’ αυτή την απόδειξη έχω συνεργαστεί με τον Ρουμάνο μαθηματικό Σέργιο Κλάινερμαν. Μάλιστα, χρειάστηκαν έξι χρόνια εργασίας, όταν και οι δυο βρισκόμασταν στην ηλικία μεταξύ των 34 και 40. Αποτέλεσμα ήταν μια μονογραφία 514 σελίδων με τίτλο «Η καθολική μη γραμμική ευστάθεια του χώρου Minkowski». Ουσιαστικά, το έργο αυτό απέδειξε την ευστάθεια του επίπεδου χωροχρόνου της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας στο πλαίσιο της γενικής θεωρίας. Επίσης, έδωσε μια ενδελεχή περιγραφή της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Ειδικότερα, μια αρχική διαταραχή στο υφάδι του χωροχρόνου διαδίδεται σε κύματα και αυτά είναι τα βαρυτικά κύματα. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη διαταραχή των ήρεμων νερών μιας λίμνης όταν ρίξουμε σε αυτή μια πέτρα. Ωστόσο, όπως έδειξα σε μια εργασία με τίτλο «Η μη γραμμική φύση της βαρύτητας και τα πειράματα βαρυτικών κυμάτων», η οποία αποτελεί συνέχεια του εν λόγω έργου, υπάρχει μια λεπτή διαφορά με το παράδειγμα της λίμνης. Διότι, ενώ ο χωρόχρονος –όπως και η λίμνη– γίνεται ξανά επίπεδος μετά την παρέλευση των κυμάτων, ο τελικός επίπεδος χωρόχρονος σχετίζεται κατά μη τετριμμένο τρόπο με τον αρχικό επίπεδο χωροχρόνο, τούτο δε έχει ως επακόλουθο ένα παρατηρήσιμο φαινόμενο, τη μόνιμη μετατόπιση των πειραματικών μαζών ενός ανιχνευτού βαρυτικών κυμάτων.</p><p> — Ποια είναι η συνεισφορά, λοιπόν, του έργου σας επί της ευστάθειας του χωροχρόνου Minkowski; </p><p> Προφανώς, εισήγαγε μερικές νέες βασικές μαθηματικές ιδέες. Στις προηγούμενες εργασίες στον τομέα των μερικών διαφορικών εξισώσεων, προσπαθούσε κανείς να ελέγξει τις λύσεις μέσω νορμών ορισμένων ως προς μια τεχνητή προϋπάρχουσα δομή. Αυτή η βασική γραμμική προσέγγιση αποτυγχάνει να ελέγξει τις λύσεις καθολικά. </p><p>— Κατά τη γνώμη σας, ποια ήταν η πιο πρωτότυπη συνεισφορά του Αϊνστάιν; </p><p>Η γενική θεωρία της σχετικότητας, η οποία συνδύασε τις δυο προεκτάσεις της γεωμετρίας στην έννοια του καμπύλου χωροχρόνου και έδειξε ότι τα φυσικά φαινόμενα της βαρύτητας δεν είναι παρά η εκδήλωση της καμπυλότητας του χωροχρόνου. Επιπλέον, διατύπωσε τους νόμους τους οποίους υπακούει η γεωμετρία του χωροχρόνου – νόμοι οι οποίοι εμπεριέχουν τον νόμο της παγκόσμιας έλξης καθώς και τους νόμους της κίνησης του Νεύτωνα. Οι νόμοι αυτοί έχουν τη μορφή ενός συστήματος μερικών διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες είναι γνωστές ως εξισώσεις του Αϊνστάιν. </p><p> — Ποιο είναι το πιο δύσκολο πρόβλημα που έχετε λύσει; </p><p>Απ’ αυτά που έχω λύσει ή απ’ αυτά που δεν έχω λύσει ακόμη; (γέλια). Νομίζω ότι είναι αυτό που αφορά τις εξισώσεις του Euler και διέπουν τη ροή συμπιεστών ρευστών. Ολοκληρώθηκε πρόσφατα και το αποτέλεσμα είναι μια μονογραφία περίπου χιλίων σελίδων με τίτλο «Ο σχηματισμός κυμάτων κρούσεως σε τρισδιάστατα ρευστά». Αναλύει λεπτομερώς τι γίνεται έπειτα από πολύ χρόνο, όταν έχουμε μια αυθαίρετη αρχική διαταραχή σε πεπερασμένη περιοχή ενός συμπιεστού ρευστού στον τρισδιάστατο χώρο, με οποιαδήποτε θερμοδυναμική εξίσωση καταστάσεως. Επίσης, η ιστορία και η δυναμική της ανάπτυξης της επιστήμης δεν είναι σχεδόν ποτέ γραμμική. Παρ’ όλα αυτά, ένας τομέας έρευνας όπου αναμένω σημαντική πρόοδο των γνώσεών μας είναι η υδροδυναμική. Για παράδειγμα, όσον αφορά την τυρβώδη ροή και τους στροβιλισμούς των υγρών, δεν διαθέτουμε καμία απολύτως ικανοποιητική επιστημονική εξήγηση. </p><p>— Γιατί οι μαύρες τρύπες συγκαταλέγονται στα πιο μυστηριώδη και τρομακτικά σημεία του σύμπαντος; </p><p> Μια μαύρη τρύπα είναι περιοχή του χωροχρόνου που δεν είναι παρατηρήσιμη από το άπειρο. Η μαύρη τρύπα αποτελεί μεγάλη παραμόρφωση του χωροχρόνου που συνεπάγεται την απαγόρευση διαφυγής σε οτιδήποτε εισέλθει σε αυτήν, ακόμη και στο ίδιο το φως. Ο χωροχρόνος στο εσωτερικό μιας μαύρης τρύπας φτάνει σε ένα τέλος. Πλησιάζοντας αυτό το τέλος, η παραμόρφωση τείνει στο άπειρο. Έχουμε, λοιπόν, ανωμαλία στη δομή του χωροχρόνου. </p><p>— Τι είναι τα μαθηματικά για σας;</p><p>Ένας τρόπος σκέψης. Πάντα με γοήτευε η πολυπλοκότητά τους. Εμπεριέχουν μια ομορφιά χωρίς να σου προξενούν συναισθήματα, εκτός από το δέος που σου προκαλούν. Με συναρπάζει ως μια νοητική και εμπειρική διαδικασία. Πρόκειται για ένα ανεκτίμητο μέσο κατανόησης του κόσμου αλλά και της λογικής συγκρότησής του. Άλλωστε, όλα τα βασικά και θεμελιώδη ερωτήματα για τη δημιουργία του σύμπαντος περιγράφονται με μαθηματικά μοντέλα. </p><p> — Η έμπνευση πότε συνήθως σας επισκέπτεται; </p><p>Δεν ξέρω σε άλλους τι συμβαίνει, αλλά σε μένα η έμπνευση έρχεται πάντοτε τη νύχτα, όταν βρίσκομαι σε εκείνη την ενδιάμεση κατάσταση μεταξύ βαθύ ύπνου και εγρήγορσης. Ξέρετε, σε εκείνο το σημείο η συγκέντρωση στον κόσμο των ιδεών είναι η μεγίστη. </p><p>— Ποια είναι η γνώμη σας για το ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα; </p><p>Στην Ελλάδα κυριαρχεί η στείρα εκμάθηση γνώσεων χωρίς το διδακτικό προσωπικό να αντιλαμβάνεται την ουσία των πραγμάτων. Επιπρόσθετα, παρατηρούμε μια ακατανόητη παπαγαλία η οποία σκοτώνει τη σκέψη και την κριτική ανάλυση. Στο εξωτερικό θυμάμαι ότι οι φοιτητές λάτρευαν τους καθηγητές τους κι έτρεφαν έναν απεριόριστο θαυμασμό. Στη χώρα μας με λυπεί πολύ που πολλοί φοιτητές δεν γνωρίζουν καν τους καθηγητές τους. Επίσης, η παρεμπόδιση της εκπαιδευτικής λειτουργίας τους με προπηλακισμούς, χτίσιμο των γραφείων καθηγητών, πράξεις βίας είναι αδιανόητη. Και, δυστυχώς, η ανομία που επικρατεί έχει οδηγήσει στη θλιβερή απαξίωση του ελληνικού πανεπιστημίου. Σε αυτό, φυσικά, έχει συμβάλει η έντονη πολιτικοποίηση που επικρατεί στα πανεπιστήμια, λες και είναι φόρουμ κομματικών ιδεών. Για την ακρίβεια, με εντυπωσιάζει ότι κάποιοι βλέπουν τα πανεπιστημιακά αμφιθέατρα ως μια ευκαιρία για να προετοιμάσουν την κομματική τους καριέρα. Μάλιστα, είναι αστείο ότι υπάρχουν τα λεγόμενα «τραπεζάκια των κομμάτων». Επακόλουθο αυτής της νοοτροπίας είναι να μην ασχολείται κανείς με το πεδίο της έρευνας και να ενδιαφέρεται για οτιδήποτε άλλο παρά με την παραγόμενη γνώση. Όμως, τα πανεπιστήμια είναι χώροι μάθησης, μελέτης, έρευνας, ελεύθερης διακίνησης ιδεών και συζητήσεων και όχι εστίες ανομίας, βίας και αυθαιρεσίας. </p><p>— Ποια παθογένεια σας ενοχλεί; </p><p>Η συμφιλίωση με την παρακμή και η επιπολαιότητα. Νομίζω ότι πάσχουμε από το «σύνδρομο του ξερόλα». Μιλάμε διαρκώς επί παντός επιστητού. Ταυτόχρονα, έχουμε κυριευθεί από μια παράλογη αντίληψη η οποία λέει ότι προχωρά μπροστά αυτός που είναι έξυπνος κι όχι αυτός που εργάζεται σκληρά. Για να έχεις μια επιτυχημένη πορεία στη ζωή σου απαιτείται να αφοσιωθείς απόλυτα στον σκοπό σου και αυτό προϋποθέτει ότι πρέπει να εργάζεσαι αδιάκοπα. Διότι το να έχει κανείς μυαλό δεν είναι αρκετό. Χρειάζεται επιμονή, προσπάθεια και αυταπάρνηση. </p><p> — Σε μια ανταγωνιστική εποχή τι θα συμβουλεύατε έναν νέο σήμερα; </p><p>Να ανακαλύψει τι είναι αυτό που αγαπά και να μοχθεί για να το πετύχει. Να αναζητά κάθε μέρα πηγές γνώσης, ενημέρωσης και φαντασίας. Να μη σταματά ποτέ να μαθαίνει. Κάποτε ο Ισαάκ Νεύτων είχε γράψει για τον εαυτό του: «Δεν γνωρίζω πώς μπορεί να φαίνομαι στον κόσμο, όσον όμως αφορά τον εαυτό μου νομίζω ότι μοιάζω με ένα αγόρι που παίζει στην παραλία ψάχνοντας εδώ και εκεί να να βρει ένα καλύτερο βότσαλο ή ένα πιο όμορφο όστρακο από τα συνηθισμένα, ενώ την ίδια στιγμή ένας ολόκληρος ωκεανός γνώσης απλώνεται εντελώς ανεξερεύνητος μπροστά του». </p><p> — Σας τρομάζει η ανυπαρξία; </p><p> Δεν μπορώ να πω ότι δεν φοβάμαι τον θάνατο. Ωστόσο, αυτό που με τρομάζει είναι μήπως κάποια στιγμή χάσω το μυαλό μου. </p><p>— Έχετε ανακαλύψει τι είναι η ευτυχία; </p><p>Την ευτυχία κάθε άνθρωπος την ορίζει διαφορετικά. Για άλλους είναι στιγμές. Για μένα, πιστεύω ότι ευτυχία είναι η εκπλήρωση ενός υπέρτατου σκοπού. Να φωτίσεις με τις δικές σου δυνάμεις τη δημιουργία του κόσμου. </p><p>— Πιστεύετε στον Θεό; </p><p> Ναι, αλλά με την έννοια που πίστευε ο Αϊνστάιν ή ο Πλάτωνας. Δεν πίστευαν σε έναν προσωπικό Θεό που ασχολείται με τη μοίρα και τις πράξεις συγκεκριμένων ανθρώπων. Ουσιαστικά, θρησκευτικότητα είναι όταν θαυμάζεις απεριόριστα τη δομή του κόσμου και στέκεσαι με ταπεινότητα απέναντι στην αρμονία της φύσης. </p><p> — Τι θεωρείτε σημαντικό στη ζωή; </p><p> Την ψυχική ηρεμία και την πληρότητα. Νιώθω ευτυχής γιατί έχω καταφέρει να ζήσω όλα όσα ήθελα. Αλλά ακόμη δεν είμαι έτοιμος να πεθάνω. (γέλια).
</p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-18228229427063220122022-01-03T19:38:00.004+02:002022-01-03T19:38:41.025+02:00Τι ενδιαφέρον κρύβει το 2022; <p> </p><div class="wp-block-image" style="text-align: center;"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><a href="https://physicsgg.files.wordpress.com/2021/12/2022.png"><img class="wp-image-87135" data-attachment-id="87135" data-comments-opened="1" data-image-caption="" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="2022" data-large-file="https://physicsgg.files.wordpress.com/2021/12/2022.png?w=404" data-medium-file="https://physicsgg.files.wordpress.com/2021/12/2022.png?w=253" data-orig-file="https://physicsgg.files.wordpress.com/2021/12/2022.png" data-orig-size="404,480" data-permalink="https://physicsgg.me/2022/" src="https://physicsgg.files.wordpress.com/2021/12/2022.png?w=404" /></a></figure></div>
<p><br /></p>
<p>Μαθηματικά το 2022, εκτός από άρτιος αριθμός, είναι και <strong><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sphenic_number"><mark class="has-inline-color has-vivid-red-color" style="background-color: rgba(0,0,0,0);">σφηνικός</mark></a></strong>
αριθμός διότι γράφεται ως γινόμενο τριών πρώτων αριθμών 2x3x337=2022.
Διαθέτει όπως όλοι οι σφηνικοί αριθμοί οκτώ διαιρέτες (1, 2, 3, 6, 337,
674, 1011, 2022).<span></span></p><a name='more'></a><p></p>
<p>Επίσης, είναι αριθμός <strong><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harshad_number"><mark class="has-inline-color has-vivid-red-color" style="background-color: rgba(0,0,0,0);">harshad</mark></a></strong> διότι διαιρείται με το άθροισμα των ψηφίων του: 2022/(2+0+2+2)=337 αλλά και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Evil_number"><mark class="has-inline-color has-vivid-red-color" style="background-color: rgba(0,0,0,0);"><strong>σατανικός αριθμός</strong></mark></a> διότι στο δυαδικό σύστημα γράφεται ως: <strong>11111100110</strong>
και το άθροισμα των μονάδων είναι άρτιος (σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό ο
αριθμός 666 – στο δυαδικό 1010011010 – δεν είναι σατανικός!)</p>
<p>Στην ρωμαϊκή γραφή γράφεται ως: ΜΜΧΧΙΙ</p>
<p>Iσαπέχει από τους διαδοχικούς πρώτους αριθμούς 2017 και 2027, επομένως 2022=(2017+2027)/2.</p>
<p>Γράφεται ως (10+9)x8x(7+6)+(5+4)x(3+2)+1=2022 και 10+(((9×8×7)−6+5)×(4+3−2−1))=2022</p>
<p>Γράφεται στην μορφή 2<sup>11</sup>-26=2022 και διαιρεί τον αριθμό 79<sup>7</sup>-1</p>
<p>Είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 1050 και 1728: 2022<sup>2</sup>=1050<sup>2</sup>+1728<sup>2</sup></p>
<p>Προσεγγίζεται από την παράσταση: π<sup>6</sup>+e<sup>6</sup>+ π<sup>5</sup>+e<sup>5</sup>+ π<sup>4</sup>+e<sup>4</sup>+ π<sup>3</sup>+e<sup>3</sup>≈2022</p>
<p>Το 2022 εμφανίζεται 8 φορές <a href="http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/digits.html">στα πρώτα 100000 ψηφία του π</a></p>
<p>Aν το 2022 ήταν ο αριθμός στην πινακίδα ενός αυτοκινήτου τότε θα μπορούσε να επιλυθεί π.χ. ως εξής: <strong>2<sup>0</sup>=2/2</strong> (για να γίνει κατανοητό πρέπει να διαβαστεί πρώτα το άρθρο με τίτλο: <strong> </strong></p><p><strong>( O Landau και οι πινακίδες κυκλοφορίας αυτοκινήτων</strong> ) <br /></p><p><a href="https://physicsgg.me/2021/12/30/%CF%84%CE%B9-%CE%B5%CE%BD%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CF%86%CE%AD%CF%81%CE%BF%CE%BD-%CE%BA%CF%81%CF%8D%CE%B2%CE%B5%CE%B9-%CF%84%CE%BF-2022/">ΠΗΓΗ</a> </p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-45066874107106970942021-12-31T09:47:00.001+02:002021-12-31T09:47:33.013+02:00Ευχές <p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh9m5e2mWoze69wYeIuE1OvbvjHj_qJ1xYq3rYWNSemTqb7-lWMdHmlYNcgCv0RfaXfMiV8mhJ3k1A877c-JeAfn6_IU7m8kxS0Ym7T2-paHS8-RGAc3gxkldecKHYROuUE3PhuXgE_s_DX2D5vCuqdo_RBzECtLL9Bj4ROo00TRVLxcg7D45oqeaKC=s748" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="748" data-original-width="525" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh9m5e2mWoze69wYeIuE1OvbvjHj_qJ1xYq3rYWNSemTqb7-lWMdHmlYNcgCv0RfaXfMiV8mhJ3k1A877c-JeAfn6_IU7m8kxS0Ym7T2-paHS8-RGAc3gxkldecKHYROuUE3PhuXgE_s_DX2D5vCuqdo_RBzECtLL9Bj4ROo00TRVLxcg7D45oqeaKC=s320" width="225" /></a></div><br /> <p></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-36880299755053152392021-12-13T22:51:00.002+02:002021-12-13T22:51:40.700+02:00Τα μαθηματικά,η αισθητική και η ομορφιά των εξισώσεων!!!<p></p><p><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhZrppuH74b4Hx0UG1SKuL2Pj8d258M4FIJrTwjlDOyxPoU_8IAGi2aVjvmYWE9B3OiambIG3mTv_yzqEU0RUp3FDSPycXQxPd1CGJhbyiCbY9MaUOpxgjL7y-XEDFKNctTDrf9-KINCxuptq3mukmK_mp8vVFLq9HoKy7FTUsRvwyAhiaGWi_EnsFJ=s900" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="609" data-original-width="900" height="226" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhZrppuH74b4Hx0UG1SKuL2Pj8d258M4FIJrTwjlDOyxPoU_8IAGi2aVjvmYWE9B3OiambIG3mTv_yzqEU0RUp3FDSPycXQxPd1CGJhbyiCbY9MaUOpxgjL7y-XEDFKNctTDrf9-KINCxuptq3mukmK_mp8vVFLq9HoKy7FTUsRvwyAhiaGWi_EnsFJ=w334-h226" width="334" /></a></div><br />Σύμφωνα με έρευνα που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Frontiers in Human
Neuroscience, μία μαθηματική απόδειξη μπορεί να διεγείρει το ίδιο τμήμα
του εγκεφάλου με αυτό που επηρεάζει η τέχνη και η ιδέα της ομορφιάς.
Τρεις νευρολόγοι από πανεπιστήμια της Βρετανίας χρησιμοποίησαν ένα
μαγνητικό τομογράφο με τον οποίο απεικόνισαν την εγκεφαλική
δραστηριότητα 15 ανθρώπων που ασχολούνταν επαγγελματικά με τα
μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια του πειράματος, οι ερευνητές προέβαλαν σε
μία οθόνη μαθηματικούς τύπους με τυχαία σειρά, οι οποίοι προηγουμένως
είχαν αξιολογηθεί ως όμορφοι, ουδέτεροι ή άσχημοι σε μία κλίμακα από το
-5 έως το 5.Τα αποτελέσματα από τις τομογραφίες, δείχνουν παρόμοια
εγκεφαλική δραστηριότητα με αυτή που προκαλείται από την εμπειρία της
ομορφιάς μέσω της τέχνης, όπως αυτή που προκαλεί ένας πίνακας ζωγραφικής
ή η ακρόαση μουσικής.<span><a name='more'></a></span>
<p></p>
<p>Ο Σεμίρ Ζέκι,καθηγητής Νευροβιολογίας του πανεπιστημίου UCL στην
Αγγλία, δήλωσε: «Αυτό που το κάνει ενδιαφέρον, είναι πως μαθαίνουμε πως η
εμπειρία της ομορφιάς σε κάτι τόσο αφηρημένο όπως τα μαθηματικά
συσχετίζεται με τη δράση που έχουν στο ίδιο τμήμα του εγκεφάλου
αισθητήρια που έχουν να κάνουν με συναισθήματα και αντιλήψεις», «Η
ομορφιά ενός μαθηματικού τύπου ίσως να είναι αποτέλεσμα της απλότητας,
της συμμετρίας και της κομψότητας στη διατύπωση μιας οικουμενικής
αλήθειας. Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά αποτελούσαν ύψιστη κορύφωση της
ομορφιάς». Οι παροικούντες στην μαθηματική Ιερουσαλήμ δεν χρειάζονταν
μια τέτοια έρευνα. Ήξεραν. Ο μαθηματικός John H.Conway έλεγε: “Είναι
κάτι που οι μαθηματικοί μπορούν να αντιληφθούν πλήρως.Τα μαθηματικά στην
πραγματικότητα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου ζήτημα αισθητικής!!”Ο Βρετανός
μαθηματικός G.H.Hardy έγραφε στην περίφημη απολογία του:<br />
“Η ομορφιά είναι το πρώτο κριτήριο: δεν υπάρχει μόνιμη θέση σ’ αυτόν τον
κόσμο για τα άσχημα μαθηματικά.” Ένας άλλος Βρετανός μαθηματικός
George Boole υπερθεμάτιζε: “Δεν έχει σημασία σε ποιο βαθμό ένα
μαθηματικό θεώρημα φαίνεται σωστό ,πιθανότατα είναι ατελές αν δεν δίνει
την εντύπωση ότι είναι και όμορφο.” . Ενώ, ο Richard Feynman συμπλήρωνε:
“Αυτοί που δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να νιώσουν μια
πραγματική συγκίνηση για την ομορφιά, την βαθύτερη ομορφιά της φύσης
…Εάν θέλετε να μάθετε για την φύση, να εκτιμήσετε την φύση, είναι
απαραίτητο να κατανοήσετε την γλώσσα που μιλάει. ”<br />
Την σκυτάλη παραλαμβάνει ο Γαλιλαίος στον «Αναλυτή» του, το 1623:<br />
«Η φιλοσοφία είναι γραμμένη σ’ αυτό το μεγάλο βιβλίο. Εννοώ το σύμπαν,
το οποίο είναι συνεχώς μπροστά μας ανοιχτό. Αλλά κάνεις δεν μπορεί να
το κατανοήσει , αν δεν μάθει πρώτα να καταλαβαίνει την γλώσσα και να
ερμηνεύει το αλφάβητο με το οποίο είναι γραμμένο. Είναι γραμμένο στην
γλώσσα των μαθηματικών και το αλφάβητο του είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι
και τα αλλά γεωμετρικά σχήματα, που χωρίς αυτά δεν μπορεί διαβάσει ούτε
μια λέξη, χωρίς αυτά είναι σαν περιφέρεται κανείς σε ένα σκοτεινό
λαβύρινθο.»<br />
Το δημοσίευμα,κατατάσσει στην κλίμακα ομορφιάς στην υψηλότερη θέση την
ταυτότητα του Euler 1 + eiπ = 0, η οποία παρά την απλότητά της εμπλέκει
τις σημαντικότερες πέντε μαθηματικές σταθερές μέσω των τριών βασικών
αριθμητικών πράξεων ή το θεώρημα του Πυθαγόρα και τις σχέσεις
Cauchy-Riemann στη μιγαδική ανάλυση.Στο ίδιο άρθρο, ως η πιο άσχημη
εξίσωση αναφέρεται το ανάπτυγμα του μεγαλυτέρου Ινδού Srinivasa
Ramanujan του 1/π ως το άθροισμα μίας άπειρης σειράς όρων που ανακάλυψε
το 1910.<br />
Αντίστροφα, τα μαθηματικά και η αισθητική είναι απολύτως δεμένα με τον
μαθηματικό τύπο του George Birkhoff .Άλλωστε δεν είναι τυχαίο που ακόμα
και εικαστικοί καλλιτέχνες χρησιμοποιούν τον μαθηματικό συμβολισμό των
εξισώσεων ως πρότυπο αισθητικής απόλαυσης και τελειότητας .<br />
Για παράδειγμα, ο Αυστραλός φωτογράφος Τζάστιν Μάλινς,τo 2010 έκανε μια
πρωτότυπη έκθεση φωτογραφιών των πιο σημαντικών εξισώσεων.<br />
“Εγώ δεν είμαι μαθηματικός” γράφει ο Μάλινς .Για μένα, οι διανοητές που
συνέταξαν τις εξισώσεις μοιάζουν με τους μεγάλους εξερευνητές που
επιστρέφουν από μακρινές παραλίες και μιλούν για φανταστικούς τόπους και
μαγικά πλάσματα.”<br />
Ο Αυστραλός καλλιτέχνης ανέλαβε λοιπόν να αφηγηθεί αυτές τις εξισώσεις,
να τις απομυθοποιήσει, να τις φωτογραφίσει, να τις χωρίσει σε κατηγορίες
και να τις δείξει στο ευρύ κοινό. Τον τίτλο της πιο όμορφης εξίσωσης
θεωρεί και αυτός ότι δικαιούται η ταυτότητα του Όιλερ. Για τον Μάλινς,
το θεώρημα αυτό είναι σαν το Γκραν Κάνιον, το Έβερεστ και τους
Καταρράκτες του Νιαγάρα μαζί: το τι βλέπεις εξαρτάται από τη γωνία υπό
την οποία το κοιτάς.</p>
<p> <a href="https://www.lecturesbureau.gr/1/the-mathematics-the-aesthetics-and-the-beauty-of-the-equations-791/?fbclid=IwAR1mYSmvC9r44YAKmtPJWNduhlni3Zz5rv2oxE3CW9J40tBjJugxoKRXIaQ">ΠΗΓΗ</a></p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-66485538048421435272021-12-10T06:45:00.008+02:002021-12-10T06:45:59.410+02:00 Η μηχανή Ramanujan δημιουργεί αυτόματα εικασίες για θεμελιώδεις σταθερές<br /><div class="entry-thumb">
<img alt="" class="attachment-codilight_lite_single_medium size-codilight_lite_single_medium wp-post-image jetpack-lazy-image jetpack-lazy-image--handled" data-attachment-id="52695" data-comments-opened="1" data-image-caption="" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="π" data-large-file="https://i2.wp.com/omathimatikos.gr/wp-content/uploads/2021/12/π.jpg?fit=523%2C346&ssl=1" data-lazy-loaded="1" data-medium-file="https://i2.wp.com/omathimatikos.gr/wp-content/uploads/2021/12/π.jpg?fit=350%2C232&ssl=1" data-orig-file="https://i2.wp.com/omathimatikos.gr/wp-content/uploads/2021/12/π.jpg?fit=800%2C530&ssl=1" data-orig-size="800,530" data-permalink="https://omathimatikos.gr/?attachment_id=52695" height="288" src="https://i2.wp.com/omathimatikos.gr/wp-content/uploads/2021/12/π.jpg?resize=700%2C350&ssl=1" width="576" /> </div>
<p><span id="more-52694"></span></p>
<blockquote>
<h3><span>Μια ομάδα ερευνητών στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας του Ισραήλ
κατασκεύασε αυτό που περιγράφουν ως μηχανή Ramanujan – μια συσκευή που
δημιουργεί αυτόματα εικασίες (μαθηματικές δηλώσεις που προτείνονται ως
αληθινές δηλώσεις) για θεμελιώδεις σταθερές. </span></h3>
</blockquote>
<p><span>Έχουν γράψει ένα χαρτί που περιγράφει τη συσκευή τους και το έχουν ανεβάσει στον διακομιστή προεκτύπωσης </span><i><span>arXiv</span></i><span> . Δημιούργησαν
επίσης μια ιστοσελίδα για άτομα που επιθυμούν να επιτρέψουν στο δίκτυο
να χρησιμοποιήσει τους κύκλους διαδικασίας του υπολογιστή τους, να
προτείνει μια απόδειξη ή να αναπτύξει κώδικα για νέες μαθηματικές δομές.</span></p>
<p><span>Η μηχανή Ramanujan είναι περισσότερο μια ιδέα παρά μια
πραγματική μηχανή – υπάρχει ως ένα δίκτυο υπολογιστών που εκτελούν
αλγόριθμους αφιερωμένους στην εύρεση εικασιών για θεμελιώδεις σταθερές
με τη μορφή συνεχόμενων </span><a class="textTag" href="https://phys.org/tags/fractions/" rel="tag"><span>κλασμάτων</span></a><span>—
ορίζονται ως κλάσματα άπειρου μήκους όπου ο παρονομαστής είναι μια
ορισμένη ποσότητα συν ένα κλάσμα, όπου ένα τελευταίο κλάσμα έχει
παρόμοιο παρονομαστή κ.λπ.) </span></p><p><span>Ο σκοπός της μηχανής είναι να βρει εικασίες
(με τη μορφή μαθηματικών τύπων ) που οι άνθρωποι μπορούν να αναλύσουν,
και ελπίζουμε να αποδειχθούν αληθινά μαθηματικά. Η ομάδα που δημιούργησε
το μηχάνημα ελπίζει ότι η ιδέα τους θα εμπνεύσει τις μελλοντικές γενιές
μαθηματικών – για το σκοπό αυτό, σημειώνουν ότι οποιοιδήποτε νέοι
αλγόριθμοι, αποδείξεις ή εικασίες που αναπτύσσονται από έναν
συμμετέχοντα θα φέρουν το όνομά τους. </span></p><p><span>Οι ερευνητές σημειώνουν ότι η
μηχανή τους έχει ήδη ανακαλύψει δεκάδες νέες εικασίες.</span></p>
<p>πηγή: <a href="https://phys.org/news/2019-07-ramanujan-machine-automatically-conjectures-fundamental.html">https://phys.org</a>/</p>Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4633809468992051668.post-58391807212093919912021-12-08T20:31:00.006+02:002021-12-08T20:31:43.421+02:00Πυθαγόρας: Ο Έλληνας που άλλαξε τον κόσμο<p></p><div class="td-pb-span8 td-main-content" role="main">
<div class="td-ss-main-content">
<div class="td-post-content tagdiv-type">
<h4><strong>Mην βαδίζεις στις λεωφόρους αλλά στα μονοπάτια. Mην ακολουθείς τις γνώμες των πολλών, αλλά τις γνώμες των μορφωμένων.</strong></h4>
<figure class="wp-block-image size-large"><a class="td-modal-image" href="https://www.dinfo.gr/wp-content/uploads/2021/01/pythagoras-900x506.jpg"><img alt="" class="wp-image-179717 td-animation-stack-type0-2" height="286" src="https://www.dinfo.gr/wp-content/uploads/2021/01/pythagoras-900x506.jpg" width="509" /></a></figure>
<p><br /><br />Ο <strong>Πυθαγόρας ο Σάμιος</strong>, υπήρξε σημαντικός
Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης, θεωρητικός της μουσικής,
ηγέτης αρχαίου θρησκευτικού και πολιτικού κινήματος, ιδρυτής της
Πυθαγόρειας σχολής.<br /><br />Γεννήθηκε το 570 στην Σάμο και στα 18 του,
όταν εμφανίστηκε το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτους, προβλέποντας ότι
η τυραννία θα εμπόδιζε τα σχέδια και την φιλομάθειά του, έφυγε για την
Μίλητο όπου σπούδασε κοντά στον Φερεκύδη, στον Αναξίμανδρο και στον
Θαλή.<span></span></p><a name='more'></a><br /><br />Ο Θαλής του δίδαξε μαθηματικά, γεωμετρία και όσα έχουν
σχέση με τους αριθμούς και τους υπολογισμούς και τον προέτρεψε να
μεταβεί στην Αίγυπτο και να συναναστραφεί με τους ιερείς της Μέμφιδος
και της Διόσπολης, από τους οποίους ο ίδιος είχε λάβει πολλές γνώσεις,
προβλέποντας πως ο Πυθαγόρας θα γινόταν ο θεϊκότερος και σοφότερος από
όλους τους ανθρώπους, τόσο ήταν ξεχωριστός.<br /><br />Στην Αίγυπτο ο
Πυθαγόρας έμεινε 22 χρόνια και τελειοποίησε τις γνώσεις σε γεωμετρία και
αστρονομία. Κατόπιν βρέθηκε στη Βαβυλώνα όπου συναναστράφηκε τους
Μάγους, δηλαδή τους Πέρσες ιερείς και διδάχθηκε θεολογικά και
αστρονομικά θέματα για άλλα 12 έτη.<br /><br />Επέστρεψε στην Σάμο 56 ετών
και κατασκεύασε ένα ημικυκλικό διδασκαλείο που διατηρήθηκε για αιώνες με
την ονομασία «ημικύκλιο του Πυθαγόρα» και στο οποίο επιχείρησε να
μεταδώσει στους συμπατριώτες του τις γνώσεις του, όμως δεν βρήκε την
ανταπόκριση που περίμενε.<br /><br />Οι Σάμιοι ούτε μεγάλο ενδιαφέρουν
έδειξαν ούτε και ακολουθούσαν τις διδασκαλίες του στον τρόπο ζωής. Ο
Πυθαγόρας αποφάσισε να μετοικίσει στην νότια Ιταλία, έχοντας την γνώμη
πως πατρίδα του είναι η χώρα όπου βρίσκονται οι περισσότεροι άνθρωποι με
διάθεση για να μάθουν. Προτού φτάσει στην Ιταλία, πέρασε από Δελφούς,
Δήλο και Κρήτη, όπου είχε συναντήσεις με σοφούς της εποχής.<br /><br />Στον
Κρότωνα της Ιταλίας που τελικά εγκαταστάθηκε ξεκίνησε να διδάσκει τους
νέους με την φήμη του να μεγαλώνει αστραπιαία. Ερχόταν από πολλά μέρη
για να τον ακούσουν και αρκετοί Έλληνες γοητεύτηκαν τόσο μαζί του που
δεν επέστρεψαν στις ιδιαίτερες πατρίδες τους αλλά μαζί με τα παιδιά και
τις γυναίκες τους έκτισαν ένα τεράστιο οίκημα ομαδικής ακροάσεως, το
Ομακοείον και σε κοντινές περιοχές ίδρυσαν μικρές πόλεις που αποτέλεσαν
την βάση για την Μεγάλη Ελλάδα της Ιταλίας.<br /><br />Η σχολή του Πυθαγόρα
είχε ηθικοθρησκευτική, επιστημονική και πολιτική μορφή, τα μέλη της
έπαιξαν σημαντικό ρόλο στα πολιτικά δρώμενα της Ιταλίας. Ο ίδιος ο
Πυθαγόρας ταξίδευε σε Ιταλία και Σικελία, κι όταν έβρισκε μια πόλη
υπόδουλη σε κάποια άλλη, προέτρεπε τους κατοίκους της να κάνουν τα πάντα
για να απελευθερωθούν.<br /><br />Οι ιδέες των Πυθαγορείων προκάλεσαν την
οργή και τον φθόνο των πολιτικών τους αντιπάλων οι οποίοι κατέφυγαν στην
συκοφαντία και στην βία. Τους κατηγόρησαν πως ετοίμαζαν τάχα τυραννίδα
και επιτέθηκαν σε μια τους συγκέντρωση, συνέλαβαν πολλούς από αυτούς και
στις συμπλοκές που ακολούθησαν σε ολόκληρη την πόλη δολοφόνησαν πολλούς
άλλους.<br /><br />Ο Πυθαγόρας σύμφωνα με μία εκδοχή δολοφονήθηκε, σύμφωνα
με μία άλλη, κατέφυγε στο Μεταπόντιο όπου πέθανε ύστερα από χρόνια. Για
την προσωπική του ζωή γνωρίζουμε ότι είχε παντρευτεί σε μεγάλη ηλικία
την Θεανώ από τον Κρότωνα με την οποία είχε 3 κόρες κι 1 γιο.<br /><br />Όσον
αφορά την διδασκαλία του Πυθαγόρα, ναι μεν οποιοσδήποτε μπορούσε να
ακούει τις δημόσιες ομιλίες του, για να γίνει όμως μαθητής του υπήρχαν
αυστηρά κριτήρια επιλογής, έπρεπε να υιοθετήσει έναν διαφορετικό τρόπο
ζωής, να ασκηθεί στην εγκράτεια, να απέχει από συγκεκριμένες τροφές και
να κάνει καθαρμούς.<br /><br /> Οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν πως ανά περιόδους
εμφανίζονται και πάλι εκείνα που υπήρξαν παλαιότερα, ένας διαρκής
κύκλος είναι η ζωή κι όλα τα έμψυχα πρέπει να τα θεωρούνται ομογενή.<br /><br />Πίστευαν
πως η ψυχή δε χάνεται με τον θάνατο αλλά ακολουθεί μια συνεχή
διαδικασία μετενσάρκωσης, σε κατώτερες ή ανώτερες μορφές έως ότου
επιτευχθεί η τελική κάθαρση που οδηγεί στην αθανασία της.<br /><br />Αυτή η
κάθαρση επιτυγχάνεται με την βοήθεια της μουσικής, της φιλοσοφίας και
των μαθηματικών. Οι αριθμοί για τους Πυθαγόρειους αποτελούν την πρώτη
αρχή, την προσδιοριστική δύναμη του κόσμου.<br /><br />Το σύμπαν προήλθε από
το χάος και απέκτησε μορφή με το μέτρο και την αρμονία των αριθμών,
στους αριθμούς και στη σχέση ανάμεσα τους βρίσκεται η ουσία των όντων
και των φαινομένων. Ο αριθμός 7 για παράδειγμα εκφράζει την υγεία και το
φως, ο 4 την δικαιοσύνη, ο 3 το γάμο, ο 8 τον έρωτα και τη φιλία.<br /><br /><strong>Ο Πυθαγόρας εκτός πολλών άλλων, ανακάλυψε τον πίνακα πολλαπλασιασμού και το πυθαγόρειο θεώρημα.</strong><br /><br />Επίσης
έθεσε τις βάσεις για την επιστήμη της Μουσικής, ανακάλυψε τη σχέση
ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό τους ύψος, στις ανακαλύψεις
του οφείλουμε το πεντάγραμμο, τις διαβαθμίσεις των τόνων, τους μουσικούς
φθόγγους.<br /><br />Σε όλη του την ζωή προωθούσε την διατροφή με ελαφρές
τροφές, όπως ο κρίθινος άρτος, τα λαχανικά, το μέλι, και οι φρέσκοι ή
αποξηραμένοι καρποί και απέφευγε το κρέας.<br /><br />Ως μυστικό ευτυχίας,
συνιστούσε στους ανθρώπους να προσέχουν δύο στιγμές στην καθημερινή τους
ζωή. Πριν κοιμηθούν, να κάνουν μια ολιγόλεπτη επισκόπηση της μέρας που
τέλειωσε, και μόλις ξυπνήσουν, να εξετάζουν πόσα και ποια έργα θα
πράξουν εντός της ημέρας που ακολουθεί.<p></p><br /><p><a href="https://prosimomath.gr/pythagoras-o-ellinas-poy-allaxe-ton-kosmo/" rel="noreferrer noopener" target="_blank">Πηγή</a> <a href="https://prosimomath.gr/pythagoras-o-ellinas-poy-allaxe-ton-kosmo/" rel="noreferrer noopener" target="_blank">κειμένου</a></p>
<div class="td-g-rec td-g-rec-id-content_bottom tdi_3 td_block_template_6 ">
</div>
</div>
</div></div><div class="td-pb-span4 td-main-sidebar" role="complementary"><div class="td-ss-main-sidebar"> </div>
</div>
Δημήτρης Χhttp://www.blogger.com/profile/15013556927609277106noreply@blogger.com0