Όταν τα μαθηματικά δεν υπηρετούσαν την ύλη, αλλά μόνο το πνεύμα !!!!

Μετά το Θαλή το Μιλήσιο (6ος π.Χ. αι.) που ήταν ο πρώτος άνθρωπος που αναζήτησε μια λογική θεμελίωση των γεωμετρικών θεωρημάτων απελευθερώνοντας τα σχήματα από τα αντικείμενα που τα προσδιορίζουν και προσπάθησε να εξηγήσει ορθολογικά τα φαινόμενα του κόσμου, τη σκυτάλη στην ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών  παίρνουν οι Πυθαγόρειοι.

Οι Πυθαγόρειοι (5ος π.Χ. αι.) χρησιμοποιούσαν ένα δικό τους ιδιόμορφο συμβολιστικό σύστημα αποτελούμενο από σημεία (τελείες).

Το κλειδί της συμβολικής αυτής ήταν ότι έπρεπε σε κάθε σχήμα η κάθε πλευρά να έχει τον ίδιο αριθμό κουκίδων. Η παραστατική αυτή συμβολική των αριθμών τους χώρισε σε πολλές κατηγορίες όπως: άρτιους, περιττούς, τρίγωνους, τετράγωνους, τέλειους, φίλιους κ.α. Οι αριθμοί 3,6,10,... του παραπάνω σχήματος είναι οι τρίγωνοι αριθμοί. Οι αριθμοί 4,9,16,...είναι οι τετράγωνοι αριθμοί (πώς συμβολίζονται με τετράγωνα;) 

Για να κατανοήσουμε τη σημασία αυτής της ανακάλυψης αρκεί να αναλογιστούμε ότι ακόμη και στη σύγχρονη εποχή των υπερυπολογιστών δεν έχει βρεθεί αν για παράδειγμα το πλήθος των φίλιων αριθμών είναι άπειρο ή πεπερασμένο. 

(Φίλιοι είναι τα ζευγάρια των αριθμών που ο καθένας είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του άλλου. Π.χ. οι αριθμοί 284, 220  αφού

284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110(όλοι οι διαιρέτες του 220)

220=1+2+4+71+142(όλοι οι διαιρέτες του 284)

* Ο Pierre Fermat το 1636 βρήκε το ζεύγος 17.296, 18.416
* Ο Renè Descartes βρήκε ένα τρίτο ζεύγος, 9.363.584, 9.437.056
* Ο Nicolò Paganini, το 1866 βρήκε το 1.184, 1.210 )

Το σχέδιο των Πυθαγορείων ήταν να δώσουν σε ολόκληρη τη φύση ένα μαθηματικό υπόβαθρο,  πιστεύοντας ότι ανακάλυψαν στους αριθμούς την "ουσία του όντος" (μη ξεχνάμε ότι η Πυθαγόρειοι εκτός από επιστημονική και φιλοσοφική σχολή είχαν και θρησκευτικοπολιτική ταυτότητα. Τα κείμενα που σώζονται για αυτούς είναι συνήθως ελλιπή, λόγω της μυστικότητας που λειτουργούσαν, γιαυτό και δύσκολα διακρίνει κανείς τι ανήκει στο μύθο και τι στην ιστορία. Περίπου την ίδια εποχή την "ουσία του όντος" αναζητούσαν και οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι.). 

Έπρεπε λοιπόν να μελετήσουν την ίδια τη φύση των αριθμών εκτός Λογιστικής ανυψώνοντας την Αριθμητική πάνω και πέρα από τις υπολογιστικές ανάγκες των εμπόρων. Έτσι αυτό το μαθηματικό οικοδόμημα των Πυθαγορείων κατάφερε και επηρέασε τη φιλοσοφική και θρησκευτική σκέψη των αρχαίων ελλήνων. Για παράδειγμα: η απουσία του 0  και η ανυπαρξία αυτής της έννοιας εξοστράκιζε κάθε θεωρία για Δημιουργία εκ του μηδενός. Η μη θεώρηση του 1 ως αριθμού και αφού δε μπορούσαν να τον κατατάξουν ούτε στους άρτιους, ούτε στους περιττούς, τον ταύτισαν με το σύμβολο της θεότητας. 

Μονάς.

Ήταν το ένα και αντιπροσωπεύει πολλές μεταφυσικές κυριότητες και έννοιες. Ήταν γνωστή ως Είδος, Πηγή, ευδαιμονία, δημιουργός, ευτυχία, αρμονία, τάξη, φιλία. Εξισώθηκε με τον Απόλλωνα και τον Υπερίωνα. Είναι το σημείο, η πηγή των αριθμών Μονάς από το Έν.

Δυάς.

Το πρώτο στάδιο προς την διαδρομή της δημιουργίας. Αντιπροσώπευσε την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα και την αστάθεια. Καλείται συχνά τόλμη κα διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της μονάδας. Ο πρώτος θήλυ αριθμός, η δυαδικότητα. 

Ωστόσο η μεγάλη ανακάλυψη των Πυθαγορείων έγκειται στην εύρεση των ασύμμετρων (άρρητων) αριθμών, κάτι που τους δημιούργησε ταυτόχρονα και προβλήματα. Πιθανώς το κίνητρο για αυτή την ανακάλυψη να ήταν το ενδιαφέρον τους για το γεωμετρικό μέσο (α:β = β:γ) που ήταν και σύμβολο της αριστοκρατίας. Προσπαθώντας όμως να βρουν το γεωμετρικό μέσο των ιερών αριθμών 1 και 2 κατέληξαν να μελετούν το λόγο της πλευράς ενός τετραγώνου προς τη διαγώνιο του. Είδαν τότε ότι ο λόγος αυτός δε μπορεί να εκφραστεί με αριθμούς  που σήμερα τους αποκαλούμε ρητούς (ακέραιοι, κλάσματα). Πώς όμως είναι δυνατόν, ενώ η πλευρά ενός τετραγώνου να έχει μήκος 1 μονάδα η διαγώνιος να έχει μήκος το απροσδιόριστο-άπειρο μέγεθος της τετραγωνικής ρίζας του 2 (1,4142135...). Και ενώ όλοι παρατηρούμε ότι είναι ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα;

Η ανακάλυψη αυτής της αόρατης ασυμμετρίας, της ύπαρξης του απροσδιόριστου (άπειρον στα αρχαία ελληνικά) μήκους σε πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα, τους γκρέμισε την αντίληψη που είχαν για τον κόσμο και τους αριθμούς. Το άπειρο συνυπάρχει μέσα στο πεπερασμένο και το χάος/παράλογο μέσα στον κόσμο/λογική. Τα μεγέθη αυτά που δεν υπήρχε (ρητός) αριθμός που να τα μετρά οι Πυθαγόρειοι τα ονόμασαν άλογα δηλαδή ανέκφραστα. Σήμερα τα λέμε άρρητα.

Παρότι στην αρχή προσπάθησαν να κρατήσουν μυστική την ανακάλυψη τους ο ΄Ιπασσος ο Μεταποντίνος έσπασε τον όρκο της σιωπής και διέδωσε το τρομερό μυστικό (σύμφωνα με την παράδοση μετά από λίγο καιρό τον βρήκανε πνιγμένο). Έτσι τον 5ο π.Χ. αιώνα οι Έλληνες γνώριζαν ότι δεν είναι το παν αριθητόν και υποταγμένο στο λόγο. Το ά-λογο είναι παρόν μέσα στη φύση αν και αόρατο.

Η κρίση αυτή των μαθηματικών (πολλοί σοφιστές έσπευσαν να χαρακτηρίσουν τα μαθηματικά ψευδοεπιστήμη) ήταν κρίση και όλης της θεώρησης που είχαν για τον  κόσμο όπως: για την ομαλή κυκλική κίνηση των πλανητών ή για την ιερή γεωμετρία τους που με την ακινησία των σχημάτων και την απαγόρευση των νεύσεων στους κανόνες της δεν επέτρεπαν την ενασχόληση της με την άλγεβρα και τη μηχανική (φυσική), ως κάτι το αντιπνευματικό και υλιστικό.

Αυτός που "έσωσε" τα μαθηματικά από αυτήν την κρίση θεωρείται ο Εύδοξος που ήταν ο πρώτος που παρέκαμψε το πρόβλημα της ασυμμετρίας εισάγοντας τη θεωρία των αναλογιών και τη θεώρηση των αριθμών ως ευθύγραμμα τμήματα.

Αργότερα ο Ευκλείδης συνοψίζει όλη τη μαθηματική σκέψη της εποχής γράφοντας τα "Στοιχεια", δηλαδή την αποδεικτική γεωμετρία, πάλι όμως χωρίς κινήσεις, όπου τα σχήματα (άυλες επεκτάσεις των ιδεών) κατασκευάζονται μόνο με κανόνα και διαβήτη (ευθείες και κύκλοι, όπως στις ουράνιες κινήσεις) και δεν κινούνται. Η αριστοτέλεια τυπική λογική στα μαθηματικά και η χρήση αποδείξεων και όχι κινήσεων (δυνάμεις) όπως στη μηχανική έκανε τη θεωρία αυτή να μη φοβάται αντιφάσεις και παράδοξα (θυμηθείτε Παρμενίδη , Ζήνωνα). Ταυτόχρονα όμως απόρριπτε αυτό που σήμερα ονομάζουμε άλγεβρα, επειδή σε αυτήν τίποτα δεν αποδεικνείεται με βάση την αριστοτελική λογική. Η μη ενασχόληση των θεωρητικών με τις πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών και της φυσικής καθυστέρησε πολύ και τη βιομηχανική επανάσταση.

Εκτός από λίγες περιπτώσεις όπως ο Ιππίας με την τετραγωνίζουσα, ή ο Μέναιχμος  και ο Απολλώνιος με τις θεωρίες τους περί κωνικών τομών, πραγματική ενασχόληση των μαθηματικών με τις πρακτικές εφαρμογές  έχουμε αργότερα κατά τα ελληνιστικά χρόνια με τον Αρχιμήδη να αναπτύσσει τη μηχανική και τη φυσική, το Διόφαντο την άλγεβρα, τον Πτολεμαίο την εξηνταδική αστρονομία, τον Ίππαρχο να θεμελιώνει την τριγωνομετρία κ.ά.

Συμπέρασμα από αυτήν την ιστορία δύσκολα μπορούμε να βγάλουμε. Το σίγουρο είναι ότι ο τρόπος επίλυσης ενός προβλήματος προσδιορίζει καθοριστικά το πλαίσιο των αντιλήψεών μας, πολλές φορές χωρίς να το καταλαβαίνουμε. Η προσπάθεια των Πλατωνικών να σώσουν τους αριθμούς και την ηθική των Θεών, οδήγησαν την ανθρώπινη σκέψη στη Γεωμετρία και την απαξίωση της ύλης. Ποια θα ήταν η πορεία του αρχαίου ελληνικού πνεύματος αν είχε επικρατήσει ο Υλισμός του Δημόκριτου και όχι ο Ιδεαλισμός του Πλάτωνα είναι ένα ερώτημα που δεν μπορεί να απαντηθεί. Το μόνο που με βεβαιότητα μπορούμε να πούμε είναι ότι ο τρόπος αντιμετώπισης των φιλοσοφικών-θεολογικών ερωτημάτων επηρεάζει τον τρόπο αντίληψης των μαθηματικών προβλημάτων και αντιστρόφως.