Η εικασία του Κέπλερ και ένα πρόβλημα για τα κανόνια

                    

                                                   

    Εν  έτη  1591 , ο  Σερ Γουόλτερ Ράλεϊ  Βρετανός εξερευνητής,λαθρέμπορος και ενίοτε πειρατής  έθεσε ένα ερώτημα πρακτικού ενδιαφέροντος στον φίλο του μαθηματικό Τόμας  Χάριοτ .

Τον ρώτησε αν ήταν  δυνατό όταν θα βλέπει με το κιάλι από απόσταση στo κατάστρωμα ενος  εχθρικου πλοίου  μια  πυραμιδική στοίβα από μπάλες για τα κανόνια  να υπολογίζει το πλήθος τους.
 

                                 

   Ουσιαστικά ρωτούσε  αν  έχουμε μια πυραμίδα από σφαίρες  με τετράγωνη βάση  και γνωρίζουμε ότι η πλευρά της βάσης ισούται με K σφαίρες τότε  ποιο είναι το πλήθος  Ν των σφαιρών της πυραμίδας .Ο Χάριοτ  έλυσε το πρόβλημα  η απάντηση ήταν  Ν= (1/6)Κ(Κ+1)(1+2Κ)  μπάλες.

  Ο Χάριοτ αναρωτήθηκε ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από σφαίρες  που μπορεί να σχηματίζει στο έδαφος ένα τετράγωνο νxν και στην συνέχεια να είναι δυνατό να τις στοιβάξουμε  σε μια πυραμίδα με τετράγωνη βάση με ύψος  Κ σφαίρες. Έπρεπε να λύσει μια διοφαντική εξίσωση:

                                              (1/6)Κ(Κ+1)(1+2Κ)=ν²

Η εξίσωση έχει λύση  Κ=24 ,ν=70 με πλήθος 4900 σφαίρες .

 Το 1875 ο Εdourd Lukaς  διατύπωσε την εικασία ότι δεν υπήρχαν άλλες λύσεις ,43 χρόνια αργότερα  το 1918 ο G.N Watson απέδειξε ότι  ειχε δίκιο.

Ο Χαριοτ όμως ενδιαφερόταν για την σφαιροδιάταξη γιατί  θεωρούσε ότι είχε άμεση συνάφεια  με τα μικρότερα  σωματίδια της ύλης,για τα δεδομένα της εποχής,τα άτομα. Αναρωτήθηκε  λοιπόν «ποια διάταξη σφαιρών πιάνει τον μικρότερο χώρο;»

 Το 1606 έστειλε σχετική επιστολή με το αναπάντητο ερώτημα στον φίλο του Γερμανό αστρονόμο Γιοχάνες Κέπλερ .Ο Κέπλερ  διατύπωσε  το 1611 την εικασία ότι ο πιο συμπαγής τρόπος τακτοποίησης σφαιρών είναι ο τρόπος με τον οποίο στοιβάζουν οι μανάβηδες τα πορτοκάλια στους πάγκους τους. 

                  

  Ο ίδιος ο Κέπλερ πειραματίστηκε με πορτοκάλια και παρατήρησε ότι όταν τα στοίβαζε σε κύβο, με το ένα στρώμα πορτοκαλιών ακριβώς πάνω στο άλλο, του έμενε κενό το 48% του συνολικού όγκου. Αν τα έριχνε τυχαία, έμενε κενό περίπου το 35% του χώρου . Αν όμως έστρωνε πρώτα το κάτω στρώμα σε εξαγωνική διάταξη και πάνω του στοίβαζε το επόμενο έτσι ώστε τα πορτοκάλια του να μπαίνουν στα διάκενα του από κάτω στρώματος - σχηματίζοντας μια πυραμίδα -,τότε έμενε ανεκμετάλλευτο μόνο το 26% του συνολικού όγκου. 

                                        

Δεν μπόρεσε όμως να αποδείξει μαθηματικά ότι αυτή ήταν η βέλτιστη διάταξη. Η εικασία του Κέπλερ αποδείχθηκε το 1998 από τον Αμερικανό μαθηματικό Thomas Hales.

Thomas Callister Hales