Πέμπτη 20 Δεκεμβρίου 2012

Οι εκατό Πετεινοί (The Hundred Fowls)!!! Eνα πρόβλημα από τον Κινέζο μαθηματικό του 6ου αιώνα Sun Tsu Suan Ching!!!




  Ένα δημοφιλές πρόβλημα ψυχαγωγικών μαθηματικών  του 6ου  αιώνα βρίσκουμε στο βιβλίο του Κινέζου μαθηματικού  Sun Tsu Suan Ching  "Κλασσική Αριθμητική του Suan Ching ".
Η διατύπωση του έχει ως εξής :



" Εάν ένας πετεινός  αξίζει 5 νομίσματα , μια κότα 3 νομίσματα , και τρία κοτόπουλα μαζί 1 νόμισμα, πόσους πετεινούς, κότες και κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100, μπορεί κάποιος  να αγοράσει με  100 νομίσματα; "( τα πλήθη των πουλερικών είναι θετικοί ακέραιοι )

  Το σύνθετο αυτό πρόβλημα με χρήση  αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί:


 
όπου x, y, z ο αριθμός από πετεινούς,κότες και κοτόπουλα, αντίστοιχα.
  Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας  z=100-x-y  από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη  έχουμε:

 

Η οποία είναι μια γραμμική διοφαντική  εξίσωση με δύο άγνωστους .
Έχουμε δυο επιλογές:
Άν την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα πρέπει να λάβουμε υπόψιν ότι καθένας  από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος  .
Από την εξίσωση  7x+4y=100  διαπιστώνουμε ότι  ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k  όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:

28k+4y=100   ή   7k+y=25  με τρεις  ακέραιες  λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
                                     
                                                          x                y                z
 
                                                          4              18               78
                                                          8              11               81
                                                        12                7               84  
 
Έτσι, υπάρχουν τρεις τρόποι για την επιλογή του αριθμού των πετεινών , τις κότες και τα κοτόπουλα, συνολικού πλήθους  100  με το αντίτιμο  100 νομίσματα.
















  

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου