Ένα δημοφιλές πρόβλημα ψυχαγωγικών μαθηματικών του 6ου αιώνα βρίσκουμε στο βιβλίο του Κινέζου μαθηματικού Sun Tsu Suan Ching "Κλασσική Αριθμητική του Suan Ching ".
Η διατύπωση του έχει ως εξής :
" Εάν ένας πετεινός αξίζει 5 νομίσματα , μια κότα 3 νομίσματα , και τρία κοτόπουλα μαζί 1 νόμισμα, πόσους πετεινούς, κότες και κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100, μπορεί κάποιος να αγοράσει με 100 νομίσματα; "( τα πλήθη των πουλερικών είναι θετικοί ακέραιοι )
Το σύνθετο αυτό πρόβλημα με χρήση αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί:
όπου x, y, z ο αριθμός από πετεινούς,κότες και κοτόπουλα, αντίστοιχα.
Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας z=100-x-y από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε:
Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας z=100-x-y από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε:
Η οποία είναι μια γραμμική διοφαντική εξίσωση με δύο άγνωστους .
Έχουμε δυο επιλογές:
Άν την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα πρέπει να λάβουμε υπόψιν ότι καθένας από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος .
Από την εξίσωση 7x+4y=100 διαπιστώνουμε ότι ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:
28k+4y=100 ή 7k+y=25 με τρεις ακέραιες λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
Έχουμε δυο επιλογές:
Άν την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα πρέπει να λάβουμε υπόψιν ότι καθένας από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος .
Από την εξίσωση 7x+4y=100 διαπιστώνουμε ότι ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:
28k+4y=100 ή 7k+y=25 με τρεις ακέραιες λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
x y z
4 18 78
8 11 81
12 7 84
8 11 81
12 7 84
Έτσι, υπάρχουν τρεις τρόποι για την επιλογή του αριθμού των πετεινών ,
τις κότες και τα κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100 με το αντίτιμο 100
νομίσματα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου