Μαθηματικοί λύνουν ένα μυστήριο ενός αιώνα

Ένα νέο πλαίσιο για την επίλυση των μαθηματικών ταυτοτήτων Ρότζερς-Ραμανούτζαν ανακάλυψαν τρεις μαθηματικοί.
Η εργασία τους απαντά σε ερωτήματα που είχαν δημιουργηθεί από την εργασία του μεγάλου Ινδού μαθηματικού Σρινιβάσα Ραμανούτζαν και τα αποτελέσματα μπορούν να αποβούν πολύ χρήσιμα για τη μελέτη των αλγεβρικών αριθμών.
Οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι ρίζες (λύσεις) εξισώσεων πολυωνύμων ν-οστού βαθμού τα οποία έχουν ακέραιους συντελεστές και δεν αποτελούν ταυτόχρονα λύσεις άλλων πολυωνύμων μικρότερου βαθμού.

«Όταν ασχολείται κανείς με τη θεωρία αριθμών, οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι από τα πρώτα πράγματα που συναντάει κι όμως είναι εκπληκτικά δύσκολο να βρούμε συναρτήσεις που να τους παράγουν», εξηγεί ο μαθηματικός Κεν Όνο του πανεπιστημίου του Έμορι που συμμετείχε στην έρευνα μαζί με το φοιτητή του, Μάικλ Γκρίφιν και τον Όλε Βάρναρ, ερευνητή του πανεπιστημίου του Κουίνσλαντ.
Ο πιο διάσημος από τους αλγεβρικούς αριθμούς είναι το φι ή αλλιώς η χρυσή τομή, το οποίο είναι ίσο με περίπου 1.618 και θεωρείται πως έχει χρησιμοποιηθεί σε αρχιτεκτονικά μνημεία και έργα τέχνης όπως ο Παρθενώνας.
Αν και δεν υπάρχουν άλλοι διάσημοι αλγεβρικοί αριθμοί, η μελέτη τους έχει ξεχωριστή σημασία στη θεωρία αριθμών.
Ο διάσημος Ελβετός μαθηματικός του 18^ου αιώνα Λέοναρντ Όιλερ είχε ασχοληθεί εκτενώς με το ζήτημα μέσω της θεωρίας του για τα συνεχή κλάσματα, η οποία παράγει αριθμούς παρόμοιους το φι δίχως όμως να σημειώσει κάποια άλλη θεαματική πρόοδο.

CORNELL UNIVERSITY

Απόσπασμα των μαθηματικών ταυτοτήτων Ρότζερς - Ραμανούτζαν.

Ο αυτοδίδακτος και μεγαλοφυής Ραμανούτζαν ωστόσο, το 1913 μελέτησε μία σειρά σχέσεων που είχε ανακαλύψει ο βρετανός μαθηματικός Λέοναρντ Ρότζερς  το 1894 και κάνοντας τις απαραίτητες προσθήκες κατέληξε στη μέθοδο συνεχών κλασμάτων Ρότζερς-Ραμανούτζαν που θεωρείται από τις μεγαλύτερες επιστημονικές συνεισφορές του με εφαρμογές στη στατιστική, τη θεωρία αριθμών και τη θεωρία πεδίου. Αν και οι μαθηματικοί της εποχής εκείνης είχαν εντυπωσιαστεί από την απλότητα και τη φαντασία που περιείχαν οι σχέσεις του Ραμανούτζαν, ο πρόωρος θάνατός του το 1920 δεν του έδωσε την ευκαιρία να δώσει την απόδειξη των σχέσεων αυτών η οποία παρέμεινε ένα μυστήριο μέχρι πρόσφατα.
Έπειτα από 15 χρόνια ερευνών και χρησιμοποιώντας ένα μαθηματικό εργαλείο που ονομάζεται θεωρία αναπαραστάσεων, οι τρεις μαθηματικοί κατάφεραν να εντάξουν τις σχέσεις του Ραμανούτζαν σε ένα ευρύτερο πλαίσιο γνωστών ταυτοτήτων και συνεπώς να τις κατανοήσουν σε βάθος.
«Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον να προσπαθεί κανείς να λύνει προβλήματα που έχουν σχέση με το Ραμανούτζαν, μία τόσο μεγάλη μορφή στα μαθηματικά», δήλωσε ο Βάρναρ.
«Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε σε άλλα θέματα που δεν κατανοούμε. Τα μαθηματικά δεν έχουν όρια κι αυτό είναι φανταστικό», κατέληξε.