Μπορεί ο Fermat να σας κεράσει ένα παγωτό;

  . Στις Η.Π.Α,ένας παγωτατζής -προφανώς με μαθηματικό υπόβαθρο-ανάρτησε στο κατάστημα του μια πινακίδα (βλέπε φωτογραφία)

Το κείμενο στην πινακίδα γράφει:
 Μπορείς να βρεις ένα ακέραιο αριθμό x τέτοιο ώστε οι αριθμοί x + 3 και  x² + 3 να είναι και οι δυο τέλειοι κύβοι; Αν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός,απέδειξε το και θα κερδίσεις ένα παγωτό δωρεάν.
Υπάρχουν αρκετές λύσεις αλλά  η πιο ευφάνταστη είναι αυτή που εμπλέκει το θρυλικό τελευταίο θεώρημα του Fermat:

Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση  xⁿ+yⁿ=zⁿ, όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοι δεν έχει λύση. 

 Δείτε τώρα πως«κολλαει» με το ερώτημα του παγωτατζη:
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ο ζητούμενος αριθμός x και έστω ότι x+3 = α³ για κάποιο ακέραιο αριθμό α  και έστω x² + 3 =β³ για κάποιο ακέραιο αριθμό β .Τότε το γινόμενο τους θα ήταν τέλειος κύβος  a³β³. Εκτελούμε πράξεις  και λαμβάνουμε : 
α³β³ = (x + 3)(x²+3) = x³ + 3x² + 3x + 9 = (x+1)³ + 8 = (x+1)³ + 2³
Με άλλα λόγια,(αβ)³ = (x+1)³ + 2³

Όμως παρατηρούμε ότι οι αριθμοί (αβ), (x+1), 2 είναι όλοι ακέραιοι και ικανοποιούν την εξίσωση (αβ)³ = (x+1)³ + 2³ ,άτοπο εφόσον από το Θεώρημα του Fermat δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για n>2 στην εξίσωση xⁿ + yⁿ = zⁿ ,με x,y,z ακεραίους.Αρα δεν υπάρχει αριθμός x που να ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος.

Έτσι, ο Fermat μπορεί να μας κεράσει ένα τζάμπα παγωτό από το συγκεκριμένο μαγαζί.