Ο Πασκάλ και το «μαγικό» τρίγωνο του - Μία πυραμίδα με αμέτρητες μαθηματικές ιδιότητες

Είναι σίγουρο πως υπάρχουν αρκετοί επιστήμονες, πολύ γνωστότεροι και με μεγαλύτερη συμβολή στην εξέλιξη των μαθηματικών. Ο Μπλεζ Πασκάλ όμως, κατάφερε να χαρίσει στους μαθηματικούς κάτι παραπάνω από μια σειρά θεωρημάτων. .
Κατά την διάρκεια του 17ου αιώνα, όπου και έζησε ο Γάλλος μαθηματικός, υπήρξαν σπουδαίες προσωπικότητες στον χώρο της επιστήμης.
Ανθρωποι όπως ο Νεύτωνας, ο Φερμά, ο Ντεκάρτ και ο Καρτέσιος, ήταν οι ηγετικές μορφές της τότε επιστημονικής κοινότητας. Από την μεριά του, ο Πασκάλ ήταν επίσης ένας σημαντικότατος επιστήμονας, με τεράστια συμβολή στην Θεωρία των Πιθανοτήτων. Δεν ήταν όμως ο μαθηματικός που θα αφιερωνόταν αποκλειστικά στον κόσμο των αριθμών. Το ταλέντο του ήταν αδιαμφισβήτητο, όμως η θρησκευτική του προσήλωση και η τάση του προς την λογοτεχνία, «ξεθώριασαν» με τον καιρό το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά.

Ποιο ήταν το έργο του Γάλλου μαθηματικού – Το τρίγωνο του που έγινε αγαπημένο μαθηματικό αντικείμενο

Μπορεί ο Πασκάλ να ήταν λιγότερο «ταγμένος» στα μαθηματικά από τους υπόλοιπους συναδέρφους του, όμως κατάφερε να αφήσει πίσω του μια... βαριά επιστημονική κληρονομιά. Μαζί με τον γνωστότερο Πιέρ Ντε Φερμά, ανέπτυξε την Θεωρία των Πιθανοτήτων, έναν από τους σημαντικότερους σύγχρονους κλάδους των μαθηματικών. Παράλληλα, οι ιδέες του πάνω στην γεωμετρία ήταν ο πρόδρομος για την θεμελίωση πολλών θεωρημάτων, αλλά και την εξέλιξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας.
Αν όμως το έργο του είχε περιοριστεί εκεί, τότε το όνομα του Γάλλου μαθηματικού πιθανότατα να μην ήταν τόσο γνωστό. Το περίφημο «Τρίγωνο του Πασκάλ», ένα πραγματικό αντικείμενο λατρείας για τους μαθηματικούς, ήταν ίσως το λαμπρότερο κομμάτι του επιστημονικού του έργου. Τι ακριβώς όμως ήταν αυτό το τρίγωνο και γιατί «αγαπήθηκε» τόσο από τους μαθηματικούς;
Το «Τρίγωνο του Πασκάλ» είναι ουσιαστικά μια ατελείωτη πυραμίδα αριθμών, χτισμένη από πάνω προς τα κάτω. Στην κορυφή της βρίσκεται η μονάδα, ο θεμέλιος λίθος των μαθηματικών. Οι επόμενες σειρές της πυραμίδας «χτίζονται» με έναν απλό κανόνα. Στα άκρα τοποθετούνται μονάδες και κάθε αριθμός στο εσωτερικό της γραμμής προκύπτει από το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται από πάνω του. Μια πολύ απλή κατασκευή, η οποία όμως κρύβει μέσα της υπερβολικά πολλές αρχές των μαθηματικών.
Αυτό είναι ένα αρχικό μέρος του τριγώνου Πασκάλ:



Οι «μαγικές» ιδιότητες της αριθμητικής πυραμίδας – Με τι συνδέεται το «Τρίγωνο του Πασκάλ»

Είναι σχεδόν αδιανόητο ο Γάλλος μαθηματικός να δημιουργούσε αυτό το... μαγικό τρίγωνο, γνωρίζοντας όλες τις ιδιότητες του. Τα εντυπωσιακά χαρακτηριστικά του τριγώνου, αποκαλύφθηκαν από μεταγενέστερες μελέτες πάνω του. Κάποια από αυτά τα χαρακτηριστικά, που μετέτρεψαν το «Τρίγωνο του Πασκάλ» σε... αντικείμενο λατρείας, παρουσιάζονται παρακάτω.
Αν παρατηρήσει κανείς τις γραμμές της πυραμίδας, μπορεί να διαπιστώσει πως τα στοιχεία που τις αποτελούν, αντιστοιχούν στους συντελεστές διωνύμου του ίδιου βαθμού. Το τρίγωνο δηλαδή μπορεί να «ανοίξει» το βασικό διώνυμο (a+b)ⁿ. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 1,4,6,4,1 που βρίσκονται στην τέταρτη γραμμή, αντιστοιχούν στο (a+b)⁴.
Στην αριστερή διαγώνιο του τριγώνου, βρίσκεται το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ξεκινάει με την μονάδα και κάθε σειρά που κατεβαίνει, αυξάνεται και κατά ένα. Η ακριβώς δίπλα διαγώνιος, είναι αυτή των τριγωνικών αριθμών. Αριθμών που παράγονται από το άθροισμα διαδοχικών ακεραίων. Για παράδειγμα 6 = 1+2+3 και 10 = 1+2+3+4.

Μελετώντας άλλα χαρακτηριστικά του τριγώνου, καταλήγουμε σε διαφορετικά αλλά εξίσου εντυπωσιακά αποτελέσματα. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής ισούται με την αντίστοιχη δύναμη του 2, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.



Προσθέτοντας τα στοιχεία των διαγωνίων, καταλήγουμε στους όρους της πολύ σημαντικής ακολουθίας Fibonacci.


Από την άλλη, αν διαχωρίσουμε τους άρτιους από τους περιττούς όρους του τριγώνου, χρωματίζοντας τους διαφορετικά, καταλήγουμε σε ένα πολύ ιδιαίτερο σχήμα. Μια εικόνα που μπορεί να αναπαράγεται όσο εμβαθύνουμε σε αυτήν, γνωστή και ως fractal. Τέτοιου είδους σχήματα αποτελούν αντικείμενο μελέτης των τελευταίων δύο αιώνων.






Οι θαυματουργές ιδιότητες του τριγώνου δεν σταματούν εδώ. Η πυραμίδα συνδέεται άμεσα με θέματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, με τον κλάδο της Συνδυαστικής αλλά και με την μελέτη των πολυωνύμων. Οσο όμως κανείς προσπαθεί να αποκρυπτογραφήσει τα χαρακτηριστικά του τριγώνου, τόσο πιο δύσκολες και αυστηρά μαθηματικές έννοιες ανακαλύπτει.
Το σίγουρο είναι πως το «Τρίγωνο του Πασκάλ», σχεδόν τέσσερις αιώνες μετά την δημιουργία του, συνεχίζει να αποτελεί αντικείμενο έρευνας αλλά και θαυμασμού. Μια πυραμίδα που καταφέρνει να συνοψίσει μέσα της ένα τεράστιο σύνολο σημαντικών μαθηματικών ιδιοτήτων. Μια απλή ιδέα που θα μείνει αξέχαστη, διατηρώντας την ίδια στιγμή «αθάνατο» και το όνομα του Γάλλου μαθηματικού.