Η αξιωματική μέθοδος. Ευκλείδης και Χίλμπερτ

   …Ο κόσμος είναι σκοτεινός, όμως αρκεί να παρεμβάλουμε ένα κομμάτι Ελληνικής ζωής για να φωτιστεί αμέσως άπλετα… Νίτσε 

 Κείμενο του μαθηματικού Γιώργου Μπαντέ

 

Η σπουδαιότερη θεμελιωτική διαδικασία στα μαθηματικά και στην επιστήμη, ήταν η αξιωματική μέθοδος. Χωρίς αυτή δεν υπάρχουν επιστήμες.

Βέβαια μαθηματικά υπήρχαν και πριν τον Ευκλείδη, αλλά τα μαθηματικά μετά τον Ευκλείδη ήταν ε π ι σ τ ή μ η.

Ο συλλογισμός ξεκινάει τότε που οι Έλληνες ανακάλυψαν την αφαίρεση, τον παραγωγικό συλλογισμό [1] και τελικά τη μαθηματική απόδειξη, μια νέα μορφή αντίληψης και σκέψης, μετατρέποντας τον εμπειρικό λογισμό των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, σε αυτό που είναι γνωστό σήμερα ως Μαθηματική επιστήμη. Έκριναν δηλαδή ότι οι γεωμετρικές αλήθειες – ο πρώτος παραγωγικός συλλογισμός έγινε στο πεδίο της Γεωμετρίας  – έπρεπε να επαληθεύονται με λογική απόδειξη κι όχι μόνο με πειραματικές μεθόδους, (π.χ μετρήσεις), κι αυτό είναι το λεγόμενο Ελληνικό μυστήριο. Στο σημείο αυτό ξεκίνησε η μηχανή του Λόγου που έκτοτεδεν σταμάτησε ποτέ, κάποτε καθυστέρησε, και τελικά γέννησε την Επιστήμη, μέσα από την αξιωματική μέθοδο.

Η μαθηματική απόδειξη είναι η κορύφωση της μαθηματικής δημιουργίας, δεν προέκυψε από κάποιο είδος εμπειρίας, ούτε ερμηνεύεται μηχανικά με τη μέθοδο της δοκιμής και σφάλματος, ούτε από τη σύμπτωση. Η πνευματική της διαδικασία είναι απροσδιόριστη όπως στη μουσική ή στην ποίηση. Είναι ένα φλας που ανάβει στο μυαλό των πνευματικών δημιουργών, και ανήκει σε έναν άλλο άγνωστο κόσμο! Είναι εκείνη η περίεργη χαρά που νιώθαμε στο σχολείο όταν λύναμε μια άσκηση γεωμετρίας. Όλοι γνωρίσαμε – βιώσαμετην αύρα της επιβεβαίωσης της ορθότητας της μαθηματικής απόδειξης και δεν χρειάζεται να πούμε τίποτα άλλο. Η αύρα αυτή είναι η απάντηση σε κάθε θεμελιωτικό πρόγραμμα της φιλοσοφίας για τα μαθηματικά.

 Οι Πυθαγόρειοι και ο Θαλής ο Μιλήσιος, ήταν οι πρώτοι που πρωτοαντίκρυσαν έκπληκτοι το μαθηματικό αυτό κόσμο της φαντασίας που φανερώθηκε μπροστά τους, μέσα από τον παραγωγικό συλλογισμό.Το  χαρακτηριστικό γεγονός της απαρχής του Ελληνικού τρόπου της γεωμετρίας είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα,  το οποίο  χαρακτηρίζεται από πολλούς ερευνητές ωςη μεγαλύτερη στιγμή της Μαθηματικής σκέψης. Είναι γνωστό σήμερα ότι οι Αρχαίοι Βαβυλώνιοι που έζησαν χίλια χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα, γνώριζαν το θεώρημά του. Βέβαιο είναι εξ’ άλλου ότι  το θεώρημα γνώριζαν και οι Αιγύπτιοι τοπογράφοι και μηχανικοί. Όμως όλες οι μη Ελληνικές αναφορές στο θεώρημα δεν περιέχουν κάποια απόδειξή του,«….άρα πρέπει να είναι αληθές ότι ο Πυθαγόρας, ή κάποιο μέλος της Σχολής που ίδρυσε (ο ίδιος) ήταν εκείνος που πρώτος έδωσε μια λογική απόδειξη του θεωρήματος. (Η. Eves, Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών.)»

  Η  ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ  ΜΕΘΟΔΟΣ .

Η βασικότερη μέθοδος των Μαθηματικών (το αρχιτεκτονικό σχέδιο για την οικοδόμηση της Γεωμετρίας) είναι η αξιωματική μέθοδος, με την οποία οργανώσαμε μια μεγάλη ποσότητα γνώσης  ώστε αυτή να παράγεται αποδεικτικά  από  μερικές σαφώς σχεδιασμένες υποθέσεις. Η λογική και ο παραγωγικός συλλογισμός είναι η εσωτερική μηχανή της αξιωματικής μεθόδου.

Άγαλμα του Ευκλείδη στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Μουσείο Φυσικής Ιστορίας

Τι είναι όμως και πως  εμφανίστηκε η αξιωματική μέθοδος; Μια καλή εικόνα που φαίνεται να αποδίδει, μας δίνει ο H. Eves: «καθώς οι παραγωγικοί συλλογισμοί στη Γεωμετρία των Πυθαγορείων  αυξάνονταν,και οι λογικές αλυσίδες μάκραιναν και πολλές συμπλέκονταν μεταξύ τους, γεννήθηκε η φοβερή ιδέα, ολόκληρη η Γεωμετρία να καταστεί μια μοναδική αλυσίδα συλλογισμών» (θεμέλια των μαθηματικών). Η μοναδική αυτή αλυσίδα θα ξεκινούσε από κάπου. Θα έπρεπε λοιπόν κανείς να δεχτεί χωρίς απόδειξη μερικές προτάσεις και όλες τις άλλες προτάσεις του συστήματος να τις παράξει από τις αρχικές, με την αποκλειστική βοήθεια των αρχών της λογικής (παραγωγικός συλλογισμός). Αυτές οι προτάσεις είναι η αξιωματική βάση (της γεωμετρίας)

Την αξιωματική μέθοδο την ανέπτυξε θεωρητικά ο (Θείος)Αριστοτέλης [1] και την εφάρμοσε για πρώτη φορά σε ολόκληρη τη γεωμετρία ο Ευκλείδης(300 π.χ), με την πεποίθηση ότι η αξιωματική μέθοδος συστηματικοποιεί και προάγει τη λογική σκέψη παράγοντας «νέα και αναγκαία  γνώση». [2]

Το θεωρητικό μανιφέστο  της αξιωματικής μεθόδου, η οποία υπήρξε η μεγαλύτερη συνεισφορά των Ελλήνων στα μαθηματικά, το βρίσκουμε στα «Αναλυτικά ύστερα» του Αριστοτέλη.  Είναι ο τρόπος που οργανώνεται ένα παραγωγικό σύστημα, το οποίο διαφέρει από μια απλή συλλογή προτάσεων. Εκεί παρουσιάζονται οι «πρώτες αρχές» που θα πρέπει να πληρεί κάθε αποδεικτικήεπιστήμη, οι οποίες κατ’ ουσία είναι ίδιες.  Αυτές θα πρέπει ναστρέφονται γύρω από τρία πράγματα:

 εκείνα που θεωρεί ότι υπάρχουν, οι ορισμοί του γένους της  επιστήμης, οι οποίοι απλά εξηγούν τη σημασία των όρων που εμπλέκονται στο εγχείρημα (π.χ ο ορισμός στα «Στοιχεία»: μια οξεία γωνία είναι μια γωνία  μικρότερη μιας ορθής γωνίας)

οι κοινές αρχές, που είναι γενικές αρχές που ισχύουν σε κάθε πεδίο μελέτης, σε κάθε επιστήμη  και θεωρούνται αυταπόδεικτες (αν σε ίσα προστεθούν  ίσα, προκύπτουν ίσα)

τα αξιώματαγια τα οποία η επιστήμη θεωρεί δεδομένο το τι σημαίνουν και συνδέονται με μια συγκεκριμένη επιστήμη. Το αξίωμα το δεχόμαστε ως αληθινό έστω κι αν αυτό δεν αποδεικνύεται ως λογικό, ούτε είναι απόλυτα φανερό. Τα αξιώματα δεν αποδεικνύονται,  επιλέγονται. Είναι η πνευματική σφραγίδα του δημιουργού της θεωρίας. «….Το αξίωμα είναι μια υπόθεση όχι αναγκαστικά φανερή ούτε αναγκαστική αποδεκτή από το μαθητή. (Αριστοτέλης Αναλυτικά ύστερα), ακόμα δεν πρέπει να επιζητείται η απόδειξη των πάντων, διότι κάποιος που κάνει κάτι τέτοιο θα βαδίζει προς τα πίσω επ’ άπειρον επιζητώνταςτην απόδειξη κάθε αρχής». Για παράδειγμα, στην κλασσική μηχανική, τα Αριστοτελικά αξιώματα είναι οι νόμοι του Νεύτωνα. Δεν είναι λογικόούτε απόλυτα φανερό ότι ένα σώμα στο οποίο δεν ασκούνται δυνάμεις συνεχίζει να κινείται επ’ άπειρον.                             

Μια απόδειξη σε ένα αξιωματικό σύστημα L,είναι μια διατεταγμένη λίστα προτάσεων p₁,p₂,,,p_n  τέτοιων ώστε κάθε πρόταση της λίστας, να είναι είτε αξίωμα, είτε να παρήχθηκε από προηγούμενες προτάσεις της λίστας, σύμφωνα με τους κανόνες του συστήματος.  Ένα θεώρημα θ, είναι ακριβώς μια πρόταση του L,για την οποία υπάρχει μια λογική αλυσίδα προτάσεων p₁,p₂,  ,  , p_n =θ, η οποία να καταλήγει στο θ. Έτσι η οργάνωση της γνώσης σε ένα αξιωματικό σύστημα θέτει το βάρος της αλήθειας στα αξιώματα του συστήματος, παρά σε μια κατανομή της αλήθειας σε όλο το σώμα  της γνώσης.

Ο Ευκλείδης (3^ος αιώνας) εφάρμοσε τη διδασκαλία του Αριστοτέλη στο διάσημο και αιώνιο έργο του «τα Στοιχεία», το οποίο υπήρξε ο αξεπέραστος κανόνας της αξιωματικής μεθόδου για πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια. Έδωσε ορισμούς  μερικών βασικών εννοιών, (όπως σημείων, ευθειών), όρισε μερικές προτάσεις γι’ αυτές (αξιώματα) και ακολούθησε τις λογικές τους συνέπειες όσο μπόρεσε  (465 προτάσεις). Η προσέγγιση  αυτή ήταν πράγματι μια τελείως καινούργια ιδέα,μια ιδέα που παραμένει η βασική για τα μαθηματικά και ολόκληρη την επιστήμη σήμερα. και καθιέρωσε την ιδέα ότι«Επιστήμη  είναι η γνώση που θεμελιώνεται πάνω σε μερικές γενικές αρχές και παράγεται με τη λειτουργία των νόμων της Λογικής μέσα σε ένα σύνολο από σχετικές έννοιες» [3].

Από το υλικό που είχαν παράξει οι Πυθαγόρειοι και άλλοι μαθηματικοί, συναρμολόγησε τη θεωρία της Γεωμετρίας σε ένα ασφαλές λογικό σύνολο, βασισμένο στα πέντε αξιώματά του. Αυτά που είναι σε όλους μας γνωστά, είναι το μοντέλο της (κλασσικής)  αξιωματικής μεθόδου

Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ.

Άγαλμα του Αριστοτέλη (1915) από τον Cipri Adolf Bermann στο Πανεπιστήμιο του Freiburg im Breisgau

Η ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών υπήρξε ένα σοκ για  τη σπουδαιότητα και τη σημασία της αξιωματικής μεθόδου. Ήταν τότε που η μορφή της άλλαξε τελείως. Η κλασσική αξιωματική μέθοδος μεταλλάχτηκε στην τυπική αξιωματική μέθοδο, (formal aχiomatics), και  χρειάζεται ένα παράδειγμα για την κατανόηση των θεωρητικών αφηγήσεων:

Μια τυπική αξιωματική βάση του 19ου αιώνα, είναι ο ορισμός της ομάδας.

Ορισμός Ονομάζουμε ομάδα μη κενό σύνολο G εφοδιασμένο με μία  πράξη* [1]   με τις ακόλουθες ιδιότητες:

Α. η πράξη*  είναι «εσωτερική», δηλαδή το αποτέλεσμά της σε δύο τυχόντα στοιχεία του συνόλου G είναι στοιχείο του συνόλου G. (το σύνολο είναι κλειστό ως προς την πράξη).

Β. Η πράξη*  είναι προσεταιριστική δηλαδή (α * β) * γ=α * (β * γ) για όλα τα στοιχεία α,β,γ G .

Γ. υπάρχει ένα στοιχείο e  του G (ουδέτερο στοιχείο) τέτοιο ώστε e * α=α  * e=α  για κάθε στοιχείο α του G.  

Δ. Για κάθε α εG υπάρχει ένα στοιχείο α^-1 που ανήκει στο  G(αντίστροφο στοιχείο του α)  με την ιδιότητα α^-1 * α=α * α^-1= e,

Τι διαφέρει από τη γνωστή μας βάση του Ευκλείδη;

Εδώ οι ορισμοί του γένους δεν υπάρχουν, η πράξη δεν υπάρχει, έχουμε απλά στοιχεία ενός συνόλου και τα αξιώματα είναι ιδιότητες της πράξης.  Είναι αυτό που λέμε μαθηματική ελευθερία, όπου τα «μαθηματικά ασχολούνται με αυθαίρετα σύμβολα, άνευ νοήματος, δεν είναι τώρα σημεία ή ευθείες όπως στην αξιωματική βάση του Ευκλείδη,οι μαθηματικοί κατασκευάζουν τους κανόνες χειρισμού τους (αφηρημένα αξιώματα) και η ερμηνεία ακολουθεί μάλλον παρά προηγείται των μαθηματικών χειρισμών». Η ομάδα μπορεί να περιγράφει τους ακέραιους αριθμούς, αλλά και τους τετραγωνικούς πίνακες, τις μεταθέσεις των στοιχείων ενός συνόλου, τους μιγαδικούς εκτός από το μηδέν και άλλα διάφορα. Αυτά είναι τα μοντέλα της.

Πως φτάσαμε ως εδώ; Η αφετηρία είναι οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες.

Οι νέες  αυτές γεωμετρίες, αποδείχτηκαν συνεπείς όσο και η Ευκλείδεια, και πέρα από το σεισμό που προκάλεσαν, (οι Καντιανοί φιλόσοφοι έλεγαν ότι δεν είναι στην πραγματικότητα γεωμετρίες, ένας από αυτούς ήταν ο GottlobFrege ο θεμελιωτής της σύγχρονης Λογικής) άρχισαν να αναδεικνύουντην αξιωματική μέθοδο σε έναν ρόλο πανίσχυρο, μοναδικό, που ίσως δεν είχαν φανταστεί ο Αριστοτέλης και ο Ευκλείδης. Αλλάζοντας ένα αξίωμα άλλαζες τον κόσμο [2], πράγμα που προετοίμαζε την ιδέα ότι η μάχη της μαθηματικής «αλήθειας» θα δοθεί στην «αλήθεια» των αξιωμάτων. Συγχρόνως, υπονομεύτηκε η πεποίθηση ότι τα αξιώματα της γεωμετρίας μπορούσαν να εδραιωθούν με το προφανές αυταπόδεικτό τους. «…Δηλαδή όλα τα μαθηματικά φαίνονταν να είναι εξαγωγή θεωρημάτων από αξιωματικοποιημένες παραδοχές, αλλά η αλήθεια των αξιωμάτων δεν ήταν εξασφαλισμένη από τ ί π ο τ α. …Επιπλέον έγινε σαφές ότι η σωστή δουλειά του καθαρού μαθηματικού είναι να παράγει θεωρήματα από αξιωματικοποιημένες παραδοχές, ενώ δεν είναι στη δικαιοδοσία του ως μαθηματικού να αποφασίσει αν τα αξιώματα είναι πράγματι αληθή…» (Nagel). Και ποιος θα καθόριζε την αλήθεια τους; Πάντως όχι μαθηματικός, τα μαθηματικά είναι μια υποθετικο-παραγωγική επιστήμη. Όλα αυτά φαίνονται στο παράδειγμα της ομάδας.

 Τώρα η κλασσική αξιωματική μέθοδος του Ευκλείδη έγινε τυπική αξιωματική μέθοδος (formalaxiomatics) με το Χίλμπερτ στη θέση του Ευκλείδη, ο οποίος ξεκίνησε το έργοτης αναβάθμισης της αξιωματικής μεθόδου από την αρχή, μελετώντας όπως ο Ευκλείδης το έργο των νεώτερων γεωμετρών (Λομπατσέσκυ, Ρήμαν, Γκάους, Πασκάλ Καρτέσιου κλπ), επανα-ορίζοντας μια αξιωματική βάση για την Ευκλείδεια πάλι γεωμετρία, που ήταν το παγκόσμιο πρότυπο.

Ποιο ήταν το κύριο χαρακτηριστικό της αλλαγής; Ήταν η απομάκρυνση των αξιωματικών βάσεων από τη διαίσθηση, αφού τα άφιλα αξιώματα του Λομπατσέφσκυ και του Ρήμαν, λειτουργούσαν όπως του Ευκλείδη. Τώρα, οι αξιωματικές βάσεις  θεωρούνται  απλώς σημεία εκκίνησης για τη δοθείσα θεωρία, όπου η λογική και μόνο θα παρήγαγε τη θεωρία. [3] Σιγά-σιγά έγινε αντιληπτό  ότι ένα δοθέν σύνολο αξιωμάτων θα μπορούσε να είναι έγκυρο, κάτω από διαφορετικές ερμηνείες, τα αξιώματα θα μπορούσαν να αποδίδουν διάφορες πραγματικότητες. Αυτό είναι μια γενίκευση εννοιών, που ανέδειξε την (τυπική) αξιωματική μέθοδο στις αρχές του εικοστού αιώνα, ως  το απόλυτο θεμέλιο της μαθηματικής επιστήμης. Τώρα οι ειδικοί όροι του αξιωματικού συστήματος αφήνονται ανερμήνευτοι (απροσδιόριστοι)  από την αρχή. Η μοναδική απαίτηση είναι τα αξιώματα να είναι συνεπή δηλαδή αληθή για κάποια πραγματικότητα, αλλά δεν απαιτούμε αυτή η πραγματικότητα να καθορίζεται. Εδώ ο ρόλος της αλήθειας παίζεται από τη συνέπεια και η συνέπεια εξαρτάται μόνο από τη (συντακτική) μορφή των αξιωμάτων  στα λογικά τους μέρη  και όχι από την ειδική σημασία τους σε κάποια ερμηνεία. Η ομάδα είναι  μια συνεπής αφηρημένη  δομή που μελετάται ανεξάρτητα στα μαθηματικά. Προσέξτε την επέκταση των εννοιών: οι ακέραιοι, οι τετραγωνικοί πίνακες, οι μεταθέσεις και άλλα , είναι ομάδες.

Ο Χίλμπερτ εφάρμοσε την πορεία αυτή, στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Τα 14 αξιώματα που έθεσε  για την επιπεδομετρία,  χωρίζονται σε πέντε ομάδες,

Ομάδα Ι (2 αξιώματα σύνδεσης)

Ομάδα ΙΙ (3 αξιώματα διάταξης)

Ομάδα ΙΙΙ (6 αξιώματα ισότητας)

Ομάδα ΙV (1 αξίωμα, αίτημα του Ευκλείδη)

Ομάδα V (2 αξιώματα συνέχειας)

Δεν έχουν σχέση με τη διαίσθηση, καλύπτουν
 «λογικά κενά» του Ευκλείδη όπως για παράδειγμα το  1^ο αξίωμα διάταξης: Αν το σημείο Γ είναι ανάμεσα στα Α και Β , τότε τα Α,Β,Γ είναι τρία διακεκριμένα σημεία της ίδια ευθείας, και το Γ είναι ανάμεσα στα Β και Α, και το Β όχι ανάμεσα στα Γ και Α, και το Α όχι ανάμεσα στα Γ και Β 

και η Ευκλείδεια γεωμετρία τώρα εμφανίζεται όπως η ομάδα, κάτι αφηρημένο, «Θεωρούμε τρία συστήματα από «όντα» τα όντα του πρώτου συστήματος θα τα ονομάζουμε σημεία, του δευτέρου συστήματος ευθείες, και του τρίτου συστήματος επίπεδα». Βλέπουμε λοιπόν τα όντα δεν ανακαλούν εικόνες από την εμπειρία, μπορεί να είναι τα γνωστά Ευκλείδεια μπορεί και μπουκάλια, πηρούνια και καρέκλες είπε ο Χίλμπερτ.

«Τα όντα αυτά βρίσκονται σε αμοιβαίες σχέσεις  και δηλώνουμε τις σχέσεις αυτές με λέξεις όπως  κείνται,  μεταξύ,  ίσος,  παράλληλος,  συνεχής. Η ακριβής και, για τους στόχους των μαθηματικών, πλήρης περιγραφή αυτών των σχέσεων γίνεται εφικτή μέσω των αξιωμάτων της γεωμετρίας». Σε αυτά τα 14 αξιώματα βασίζεται η Ευκλείδεια γεωμετρία. Τα αξιώματα διάταξης έχουν ιστορικό ενδιαφέρον γιατί δεν υπήρχαν στη βάση του Ευκλείδη π.χ το δεύτερο για οποιαδήποτε διακεκριμένα σημεία Α και Β στην ίδια ευθεία, υπάρχει πάντα ένα Γ τέτοιο ώστε το Β να είναι ανάμεσα στα Α και Γ.

  Στην ουσία λοιπόν δεν γνωρίζουμε γιατί μιλούμε, (δείτε την ομάδα)  σημασία έχουν οι κανόνες και η λογική, «τα μαθηματικά είναι ένας συνδυασμός από σύμβολα χωρίς σημασία».

«ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ» του Χίλμπερτ

Μετά την συμπλήρωση της αξιωματικής μελέτης της γεωμετρίας απο το Χίλμπερτ, ακολούθησαν κι’ άλλες αξιωματικές βάσεις για την Ευκλείδεια γεωμετρία. Πρέπει να καταλάβουμε ότι οι αξιωματικές βάσεις έγιναν ένα παιχνίδι με λογικούς κανόνες και τίποτα παραπάνω. Όμως δεν παρέμειναν χωρίς μαθηματική αστυνόμευση για κάποια μαθηματική συμπεριφορά, αλλιώς δε θα ήταν μαθηματικά. Είναι τα μεταμαθηματικά που θα δούμε στη συνέχεια.

Ο Veblen έδωσε μια νέα αξιωματική βάση όπου αντικατέστησε την έννοια του μεταξύ που χρησιμοποίησε ο Χίλμπερτ και ο Πεάνο, με την έννοια της τάξης. Ένας συνδυασμός των βάσεων Χίλμπερτ και Veblenέγινε από το  Robinsonκαι  η μελέτη συνεχώς γινόταν αφηρημένη και τυπική. Η επανάσταση του Χίλμπερτ είχε συνέπεια  στους δύο τελευταίους αιώνες η αξιωματική μέθοδος να αξιοποιείται  όλο και περισσότερο. Καινούργιοι και παλιοί κλάδοι των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της γνωστής μας αριθμητικής των ακεραίων αριθμών, εφοδιάστηκαν με ένα επαρκές , κατά τα φαινόμενα, σύνολο αξιωμάτων.  Οι ιδέες που έφεραν οι τυπικές αξιωματικοποιήσεις, για τον Χίλμπερτ αποτέλεσαν την φορμαλιστική άποψη για τα μαθηματικά, ότι δηλαδή, τα μαθηματικά ήταν πιο αφηρημένα και τυπικά απ’ ό, τι θεωρούνταν παραδοσιακά (Ναgel), πιο αφηρημένα γιατί μπορεί να δοθεί οποιαδήποτε ερμηνεία στα σύμβολα και πιο τυπικά επειδή η εγκυρότητα των μαθηματικών αποδείξεων εδράζεται μάλλον στη δομή των προτάσεων παρά σε συγκεκριμένο περιεχόμενο. Οι ιστορικές προυποθέσεις του φορμαλισμού ήταν οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες (απελευθέρωση της Γεωμετρίας) όπως παρακολουθήσαμε στην πορεία του άρθρου, και η εμφάνιση της δομής στην Άλγεβρα (απελευθέρωση της άλγεβρας) που θα δούμε σε άλλο άρθρο.

Ο φορμαλισμός φαίνεται να επαληθεύει την άποψη της «εκ των υστέρων φιλοσοφία» κατά την οποία «η φιλοσοφία είναι μια ταπεινή υπηρέτρια των μαθηματικών, και ο φιλόσοφος πρέπει να είναι έτοιμος να απορρίψει το έργο του χωρίς δισταγμό, αν οι εξελίξεις στα μαθηματικά έρχονται σε σύγκρουση με αυτό, η φιλοσοφία έπεται της μαθηματικής πρακτικής κι αυτό αν χρειαστεί (Philosofy-last-if-at-all)  (Shapiro)

Στα πλαίσια του φορμαλισμού, ο Χίλμπερτ στο  βιβλίο αυτό που είναι σταθμός στην ιστορίατων μαθηματικών, βιβλίο με τεράστια απήχηση στην προαγωγή της μοντέρνας αξιωματικής μεθόδου, με  εκδόσεις μέχρι το 1968,  διατυπώνει την άποψη  ότι η επιλογή των αξιωμάτων δεν υπόκειται σε ειδικούς περιορισμούς, πρέπει όμως να τηρούνται οι επόμενες γενικές αρχές που αφορούν την εκ των έξω –ή «μεταμαθηματική» επόπτευση των ιδιοτήτων των αξιωματικών συστημάτων. Ο Χίλμπερτ για να τονίσει τη διαφορά ανάμεσα στα θεμέλια των μαθηματικών και στα ίδια τα μαθηματικά, εισήγαγε για τα πρώτα τον όρο μεταμαθηματικά.

1.Το σύστημα των αξιωμάτων πρέπει να είναι απαλλαγμένο αντιφάσεων, δηλαδή δεν είναι δυνατόν να συνυπάρχει μια κατάφαση Α με την  άρνησή της όχι Α. Ένα τέτοιο σύνολο αξιωμάτων ονομάζεται συνεπές. Γενικά οι μαθηματικοί δουλεύουν με σύνολα αξιωμάτων, τα οποία χαρακτηρίζονται από τη μαθηματική κοινότητα ως συνεπή (ακόμα κι αν αυτό είναι κάτι που δεν έχει αποδειχτεί, Τζέιμς Στάιν)

2. Οι προτάσεις των αξιωμάτων πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή δεν πρέπει καμιά πρόταση που συμπεριλαμβάνεται μέσα σε ένα σύνολο αξιωμάτων να μπορεί να αποδειχτεί μέσω των άλλων αξιωμάτων του συστήματος. Αν αποδείξει κανείς ότι, ένα αξίωμα εξαρτάται από τις λοιπές προτάσεις του συστήματος, τότε (σύμφωνα με τη δεύτερη απαίτηση του Χίλμπερτ πρέπει να παραιτηθεί από αυτό το αξίωμα.

3. το σύστημα των αξιωμάτων να είναι πλήρες, που σημαίνει ότι κάθε πρόταση μιας θεωρίας (που η ίδια δεν είναι αξίωμα) είναι δυνατόν να αποδειχτεί με τη χρήση ενός μέρους ή όλων των αξιωμάτων που έχουμε αποδεχτεί.

Τώρα δεν μιλούμε για την ορθότητα ενός θεωρήματος αλλά για τη συνέπεια ενός κλάδου, ο οποίος έχει αξιωματικοποιηθεί. Η αξιωματικοποίηση της γεωμετρίας έγινε από το Χίλμπερτ, της αριθμητικής από τον Πεάνο, των συνόλων από τους Τσερμέλο, Φρένκελ, φον Νόιμαν και αποδείχτηκε (στο πλαίσιο των μεταμαθηματικών), ότι η γεωμετρία του Ρήμαν είναι συνεπής αν είναι η Ευκλείδεια. Ακόμα αν  μπορούσε να αποδειχτεί η πληρότητα και η συνέπεια κάθε αξιωματικοποιημένης μαθηματικής θεωρίας, και κυρίως της αριθμητικής, τότε τα μαθηματικά θα μπορούν να θεμελιωθούν αυστηρά, στηριζόμενα μόνο στη διαίσθηση που υποβαστάζει τους φυσικούς αριθμούς. (Αριστείδης Μπαλτάς-Κώστας Στεργιόπουλος: Διαδίκτυο, Φιλοσοφία και Επιστήμες τον 20^ο αιώνα). Τότε θα είχαμε την αξιωματική θεμελίωση όλων των μαθηματικών πάνω στους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή θα λύναμε το πρόβλημα των «θεμελίων».

Ο Gödel έδειξε ότι η υπόθεση  αυτή είναι αστήριχτη. (Είναι το περίφημο ΤΕΤΕΛΕΣΤΑΙ του Χίλμπερτ).Παρουσίασε στους μαθηματικούς το «εκπληκτικόκαι μελαγχολικό συμπέρασμα» ότι η αξιωματική μέθοδος έχει ορισμένους ενδογενείς περιορισμούς που αποκλείουν τη δυνατότητα να αξιωματικοποιηθεί πλήρως ακόμα και η συνηθισμένη αριθμητική των ακεραίων. Είναι αδύνατον να αποδειχτεί η πληρότητα της αριθμητικής, ακόμα απέδειξε ότι είναι αδύνατο να εδραιωθεί η εσωτερική λογική συνέπεια μιας μεγάλης κλάσης παραγωγικών συστημάτων –όπως η πρακτική αριθμητική- και γενικά δεν μπορεί να δοθεί καμιά πραγματικά σίγουρη  εγγύηση ότι πολλοί σημαντικοί κλάδοι της μαθηματικής σκέψης είναι πλήρως απαλλαγμένοι από εσωτερικές αντιφάσεις (συνεπείς).
Ήταν η μεγάλη προσγείωση του μαθηματικού κόσμου και η αλλαγή της ατζέντας των μαθηματικών. Η λογική σκέψη δεν μπορεί να φτάσει στην τελική μαθηματική αλήθεια!  Εδώ ταιριάζει η ρήση «…ο Θεός υπάρχει επειδή τα μαθηματικά είναι συνεπή, και ο διάβολος υπάρχει επειδή δεν μπορούμε να δείξουμε τη συνέπεια αυτή… Morris Kline»

Μετά από αυτό, το πρόγραμμα του Χίλμπερτ κατέρρευσε και τα μεταμαθηματικά έμειναν ένας κλάδος των μαθηματικών.

Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΒΑΣΗ ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΘΕΜΕΛΙΑ

Όμως ας  ξαναδούμε για λίγο την αξιωματική μέθοδο αλλά όχι με τα μάτια του Χίλμπερτ.

Φαίνεται ότι η αξιωματική βάση «πέφτει από τον ουρανό».Όμως δεν είναι έτσι. Ο Klein λέει ότι «η αξιωματική βάση είναι το τελικό αποτέλεσμα (το επιστέγασμα) μιας ήδη προηγηθείσας εξελικτικής πορείας». Ακόμα:

Τα  μαθηματικά δεν ξεκινούν σαν   apriori αξιωματικά συστήματα. Υπάρχουν πρώτα πολύ συγκεκριμένα προβλήματα, αναζητούνται πρακτικές λύσεις  υπάρχουν διαρκώς «πέρα δώθε», εντοπίζονται ασυνέπειες,  παράδοξα κλπ.  όλα αυτά δείχνουν προς τη γενετική μιας aposteriori  επιστήμης. [1]

Τι βγαίνει απ’ αυτά; Μάλλον ότι η εμφανιζόμενη αύξηση της αξιωματικοποίησης είναι περισσότερο για την οικονομία της σκέψης και για τους σκοπούς μιας αέναης τάσης των μαθηματικών για γενίκευση και ενοποίηση, παρά για να εντοπιστούν τα θεμέλια!

Που καταλήγουμε λοιπόν; Είναι φανερό ότι αν από ένα σύνολο αξιωμάτων βγαίνουν αντιφατικά συμπεράσματα τότε αυτό είναι ένα κακό σύνολο αξιωμάτων (μη συνεπές). Γενικά οι μαθηματικοί δουλεύουν με σύνολα αξιωμάτων τα οποία χαρακτηρίζονται από τη μαθηματική κοινότητα ως συνεπή. Εν τω μεταξύ, ο στόχος των μαθηματικών λογικολόγων είναι να αποδείξουν ότι τα σύνολα των αξιωμάτων είναι συνεπή. Η έρευνα αυτή μπορεί να διαρκεί αιώνια και το σύστημα να λειτουργεί, όπως το Ευκλείδειο. Ο Ευκλείδης και οι μαθηματικοί των είκοσι αιώνων που ακολούθησαν δεν γνώριζαν μεταμαθηματικά. Ένα αντιφατικό αποτέλεσμα στο σώμα ενός μαθηματικού πεδίου θα σημάνει συναγερμό και θα εντοπιστούν τα προβλήματα, όπως έγινε πολλές φορές στα μαθηματικά. Είναι οι λογικές κρίσεις των μαθηματικών, δια των οποίων είχαμε βαθύτερα ακόμα αποτελέσματα και εξελίξεις. Άρα αυτή η σπουδή για λογική είναι εξεζητημένη,  δεν εξυπηρετεί τίποτα, και είναι αδιέξοδη.  «…ας αφήσουμε λοιπόν τους μαθηματικούς εν ειρήνη να κάνουν αυτό που πάντα έκαναν με την αίσθηση που έχουν ότι ασχολούνται με κάτι πραγματικό. Αυτή η αίσθηση είναι πιθανώς μια πλάνη αλλά είναι πολύ βολική πλάνη…. J.Dieudonne»

 Πηγές:

Αναλυτικά ύστερα:  Αριστοτέλης

NumbersystemofAlgebra (HenryB. Fineδιαδίκτυο, )

Abstract Algebra : P.H.Nidditch

_{Foundation and fundamental concepts of mathematics, Howard Eves}

Πως τα μαθηματικά εξηγούν τον κόσμο (Τζέιμς Στάιν, Αυγό)

A short account of the history of mathematics (Rousse Ball, Dover)

Τα θεμέλια της Γεωμετρίας: Hilbertτροχαλία

R.LWilder, η εξέλιξη των μαθηματικών εννοιών, theopenUniversity).

Σκέψεις για τα μαθηματικά (Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πάτρας Stewart Shapiro)

Το θεώρημα του Gödel  (E. Nagel,  J.R. Newman) Τροχαλία.

Foundations of Mathematics (William S. Hatcher, διαδίκτυο)

---

[1] Ε. Γερονικολός διδάκτωρ φιλοσοφίας Πανεπιστημίου Βοστώνης, Μ. Μυτιληναίος Αναπλ. Καθηγητής οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών.

---

[1] Οι πράξεις δεν ταυτίζονται με τις γνωστές πράξεις της αριθμητικής. Άλλωστε τα στοιχεία του G εν γένει δεν είναι αριθμοί . Η ομάδα G είναι μία αλγεβρική δομή, και τα στοιχεία της ερμηνεύονται εκ των υστέρων. Πιο αναλυτικά «πράξη» είναι η απεικόνιση του GXG→G

[2] Ο Αϊνστάιν σε ερώτηση πώς συνέλαβε τη σχετικότητα απάντησε: άλλαξα ένα αξίωμα!

[3] (Οι Russell και Whitehead   προσπάθησαν να δείξουν (PrincipiaMathematica)  ότι κάθε μαθηματική θεωρία θα μπορούσε να αναχθεί σε μια συλλογή αξιωμάτων.

---

[1] Ο Αριστοτέλης βέβαια δεν ήταν μαθηματικός αλλά  αυτός που ανέπτυξε τη διδασκαλία της τυπικής λογικής και βρήκε στα μαθηματικά εξαιρετικό έδαφος για τη μελέτη του λογικού συλλογισμού, αφού η μαθηματική απόδειξη ήταν ένας αυστηρός λογικός συλλογισμός.

[2] Αριστοτέλης, νέα γιατί μαθαίνεις κάτι που δεν γνώριζες πριν,  και αναγκαία γιατί το συμπέρασμα είναι αναπόδραστο (Απ. Δοξιάδης , Logicomix)

[3] Η Γεωμετρία χρειάζεται (όπως εξ’ άλλου και η αριθμητική), για την επακόλουθη ορθή σύνδεσής της, λίγες μόνο απλές και θεμελιώδεις προτάσεις. Οι εν λόγω προτάσεις καλούνται αξιώματα της Γεωμετρίας, (D.Hilbert)

---

[1] παραγωγικός συλλογισμός είναι η πορεία που ακολουθεί ο νους για να φτάσει στο συμπέρασμα όταν από μια γενική πρόταση (κανόνα , νόμο, αρχή) ως αποδεδειγμένη παραδοχή, ή ως εύλογη υπόθεση, και με το συσχετισμό συναφών προς αυτήν κρίσεων, καταλήγει σε κάτι ειδικό.Στον παραγωγικόσυλλογισμό δεν ενδιαφερόμαστε για την αλήθεια του συμπεράσματος αλλά περισσότερο το αν το συμπέρασμα προκύπτει ή δεν προκύπτει από τις υποθέσεις (προκείμενες) (Παπανούτσος, Λογική). Αν αυτό συμβαίνει λέμε ότι ο συλλογισμός είναι έγκυρος, αν όχι, άκυρος. Π.χ οι άνθρωποι είναι θνητοί, ο Σωκράτης είναι άνθρωπος, άρα ο Σωκράτης είναι θνητός. Αυτό είναι ένα ιστορικόπαράδειγμα παραγωγικού συλλογισμού που συνδέει τις αρχικές κρίσεις  (προκείμενες), με την τελική (συμπέρασμα). Αν δεχτούμε τις δύο προκείμενες, τότε είμαστε λογικά εξαναγκασμένοι, ακολουθώντας τις αποδεκτές αρχές της Αριστοτελικής λογικής, να δεχτούμε και το συμπέρασμα.