Η Τριχοτόμηση γωνίας

Σήμερα δεν γνωρίζουμε κάτω από ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας στην ελληνική αρχαιότητα. Ξέρουμε όμως ότι αποτελούσε το ένα από τα τρία μεγάλα προβλήματα μετά το Δήλιο και τον τετραγωνισμό του κύκλου Ουσιαστικά το πρόβλημα έγκειται στην τριχοτόμηση οξείας γωνίας, διότι αν είναι αμβλεία αφαιρούμε από αυτήν την ορθή που μπορεί να τριχοτομηθεί με χάρακα και διαβήτη. Η τριχοτόμηση όμως μιας οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθμού χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Πράγματι από τη τριγωνομετρία, μας είναι γνωστή η σχέση: 

στην οποία αν θέσουμε εφ3θ=α και εφθ=x και κάνουμε τις πράξεις θα φθάσουμε στην εξίσωση της τριχοτόμησης:

                                                 

   Η κατασκευή με χάρακα και διαβήτη των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι δυνατή μόνο αν μπορεί αυτή να αναλυθεί σε δύο παράγοντες, ένα πρωτοβάθμιο και ένα δευτεροβάθμιο, όμως όπως αποδείχθηκε το 1837, αυτό είναι αδύνατο. Έτσι οι Αρχαίοι Έλληνες όταν οι προσπάθειες µε τον διαβήτη και τον χάρακα δεν απέδωσαν στράφηκαν σε άλλες καµπύλες εκτός του κύκλου, καθώς και άλλες µεθόδους.  Παρακάτω θα δούμε αναλυτικά τις λύσεις που έδωσαν τόσο ο Ιππίας όσο και  ο Αρχιμήδης.

Η λύση του  Ιππία 

 Ο σοφιστής  Ιππίας (420π.χ) εμπνεύστηκε μια καμπύλη ,η οποία ονομάστηκε  τετραγωνίζουσα  και ορίζεται ως εξής.Θεωρούμε ένα τετράγωνο ΟΑΓΔ .Αν το  τμήμα  ΔΓ  αρχίσει να κινείται προς τα κάτω με σταθερή ταχύτητα μένοντας παράλληλο προς το ΟΑ και ταυτόχρονα το ΟΔ να περιστρέφεται γύρω από το Ο με σταθερή ταχύτητα επίσης,  και τα δύο τμήματα φθάσουν ταυτόχρονα στην ΟΑ, τότε τα σημεία τομής τους θα γράψουν μία καμπύλη. Η καμπύλη αυτή είναι η τετραγωνίζουσα .(κάντε κλικ στο διπλανό τετράγωνο να τη δείτε) .

Παρακάτω θα δούμε πως με χρήση της  τετραγωνίζουσας γίνεται η τριχοτόμηση της γωνίας

.

Στο παραπάνω σχήμα έχουμε ένα τετράγωνο ΟΑΓΔ. Θεωρούμε ότι  το τμήμα ΔΓ   κινείται με σταθερή ταχύτητα  υ και το ΟΔ  περιστρέφεται γύρω από το Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα  ω. Αν  θεωρήσουμε ότι μετά από χρόνο t , το ΔΓ  είναι στη θέση HΖ  δηλ έχει διαγράψει τη απόσταση  ΔΗ , και το ΟΔ έχει γράψει τη γωνία  φ  θα είναι τότε  ΔΗ=υ*t  και   φ=ω*t. Θα  είναι τότε:

Αν  Τ  είναι ο συνολικός χρόνος μέχρι τα τμήματα  να φθάσουν στη θέση  ΟΑ  θα  έχουμε

  Από  τις  (1)  και  (2)  έχουμε  

 Για  να τριχοτομήσουμε  τώρα την γωνία ΑΟΒ  εργαζόμαστε ως εξής .

• Με πλευρά  την ΟΑ  γράφουμε  το τετράγωνο ΟΑΓΔ .
• Γράφουμε την τετραγωνίζουσα  ΔΖΘΕ
• Από το σημείο  Ζ  στο οποίο η τετραγωνίζουσα τέμνει την πλευρά  ΟΒ  της γωνίας  φέρουμε παράλληλη στη ΔΓ  η οποία τέμνει την ΟΔ στο Η.
• Χωρίζουμε το ΟΗ σε τρία ίσα μέρη, ώστε  ΟΙ= (1/3)*ΟΗ
• Φέρουμε ΙΘ  παράλληλη στη  ΗΖ.
• Τότε  η γωνία  ΕΟΘ  είναι  το ένα τρίτο  της  ΑΟΒ.

Πράγματι  σύμφωνα με την παραπάνω σχέση (3)  θα είναι

Διαιρώντας  τις (4),(5)  κατά μέλη έχουμε  

Δηλαδή  η   γωνία  ΕΟΘ  είναι το ένα τρίτο της ΑΟΒ.

    

  Η  λύση  του  Αρχιμήδη

    Ο  Αρχιμήδης έδωσε δύο λύσεις στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Εδώ θα παρουσιάσουμε την μία, η οποία στηρίζεται στην  έλικα.

 Έστω ΧΟΥ η γωνία που θέλουμε να τριχοτομήσουμε. Γράφουμε την έλικα με κορυφή το Ο και αρχική πλευρά την ΟΧ(κόκκινη γραμμή) και βρίσκουμε το σημείο Α που τέμνει την πλευρά ΟΥ της γωνίας. Από τον ορισμό της έλικας προκύπτει ότι: καθώς η ΟΧ διαγράφει την γωνία ΧΟΥ, το σημείο Ο κινούμενο πάνω στην ΟΧ, γράφει το τμήμα ΟΑ.

   Χωρίζουμε το ΟΑ σε τρία ίσα μέρη και ορίζουμε το σημείο Β ώστε ΟΒ= (1/3)*ΟΑ, γράφουμε τον κύκλο (Ο,ΟΒ) ο οποίος τέμνει την έλικα στο σημείο Γ και φέρουμε την ΟΓ.

    Από τον ορισμό της έλικας προκύπτει ότι: καθώς η ΟΧ διαγράφει την γωνία ΧΟΓ, το σημείο  Ο κινούμενο πάνω στην ΟΧ, γράφει το τμήμα ΟΓ και επειδή το ΟΓ είναι το ένα τρίτο του ΟΑ (σαν ίσο προς το ΟΒ) η γωνία ΧΟΓ θα είναι το ένα τρίτο της ΧΟΥ. Είναι φανερό ότι αν χωρίσουμε το τμήμα ΟΑ σε  ν  ίσα μέρη και ακολουθήσουμε την ίδια διαδικασία θα χωρίσουμε και την γωνία σε ν ίσα μέρη και θα βρούμε το ένα  νιοστό της .

     Ολοκληρώνοντας αξίζει να σημειωθεί οτι έχουν ανακαλυφθεί και άλλες κατασκευές και όργανα για την τριχοτόμηση των γωνιών όπως η κατασκευή του Α.Pegrassi καθώς και ο τριχοτόμος του Ισαάκ Ρούφους.

ΠΗΓΗ