Καλές γιορτές σε όλους!!!!!

Ο γύρος του κόσμου σε 60 δεύτερα!!!

Ένα λεπτό χρειάστηκε ο καθηγητής Τζέιμς Ντρέικ για να πραγματοποιήσει τον… γύρο του κόσμου, χάρη στην τεχνολογία. Δείτε το αποτέλεσμα σε ένα εκπληκτικό βίντεο.

Ογδόντα μέρες χρειάστηκε ο Φιλέας Φογκ  πρωταγωνιστής του μυθιστορήματος του Ιουλίου Βέρν να κάνει το γύρω του κόσμου… χάρη όμως στην τεχνολογία αυτό είναι σήμερα εφικτό σε 60 μόλις δευτερόλεπτα.
Θραύση κάνει στο διαδίκτυο ένα βίντεο με φωτογραφίες από το Διεθνή Διαστημικό Σταθμό που επεξεργάστηκε ο καθηγητής Τζέιμς Ντρέικ.


Ο καθηγητής χρησιμοποίησε 600 περίπου φωτογραφίες από την ιστοσελίδα The Gateway to Astronaut Photography of Earth και δημιούργησε αυτό το υπέροχο αποτέλεσμα.

Οι εκατό Πετεινοί (The Hundred Fowls)!!! Eνα πρόβλημα από τον Κινέζο μαθηματικό του 6ου αιώνα Sun Tsu Suan Ching!!!

  Ένα δημοφιλές πρόβλημα ψυχαγωγικών μαθηματικών  του 6^ου  αιώνα βρίσκουμε στο βιβλίο του Κινέζου μαθηματικού  Sun Tsu Suan Ching  "Κλασσική Αριθμητική του Suan Ching ".
Η διατύπωση του έχει ως εξής :

" Εάν ένας πετεινός  αξίζει 5 νομίσματα , μια κότα 3 νομίσματα , και τρία κοτόπουλα μαζί 1 νόμισμα, πόσους πετεινούς, κότες και κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100, μπορεί κάποιος  να αγοράσει με  100 νομίσματα; "( τα πλήθη των πουλερικών είναι θετικοί ακέραιοι )

  Το σύνθετο αυτό πρόβλημα με χρήση  αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί:

 

όπου x, y, z ο αριθμός από πετεινούς,κότες και κοτόπουλα, αντίστοιχα.
  Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας  z=100-x-y  από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη  έχουμε:

 

Η οποία είναι μια γραμμική διοφαντική  εξίσωση με δύο άγνωστους .
Έχουμε δυο επιλογές:
Άν την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα πρέπει να λάβουμε υπόψιν ότι καθένας  από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος  .
Από την εξίσωση  7x+4y=100  διαπιστώνουμε ότι  ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k  όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:

28k+4y=100   ή   7k+y=25  με τρεις  ακέραιες  λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
                                     

                                                          x                y                z
 

                                                          4              18               78
                                                          8              11               81
                                                        12                7               84  

 

Έτσι, υπάρχουν τρεις τρόποι για την επιλογή του αριθμού των πετεινών , τις κότες και τα κοτόπουλα, συνολικού πλήθους  100  με το αντίτιμο  100 νομίσματα.

  

O Ερατοσθένης και η ακτίνα της Γης !!!!

 

 

γράφει ο Χάρης Βάρβογλης, καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ

Οι αρχαίοι Ελληνες, αντίθετα με όσα πιστεύει ο μέσος πολίτης σήμερα, γνώριζαν από την εποχή του Αριστοτέλη ότι η Γη είναι σφαιρική και όχι επίπεδη. Ο Ερατοσθένης μάλιστα, με ένα πείραμα που έχει μείνει στην Ιστορία, μπόρεσε να μετρήσει την ακτίνα της Γης με ακρίβεια απρόσμενη για τα μέσα της εποχής εκείνης. 

Οι μεταγενέστεροι αστρονόμοι και γεωγράφοι όμως...
συντάχθηκαν με την άποψη του Πτολεμαίου ότι η Γη είναι 30% μικρότερη από όσο είχε μετρήσει ο Ερατοσθένης. Το λάθος αυτό παρέμεινε για 15 αιώνες και ήταν η αιτία να αποφασίσει ο Κολόμβος το ταξίδι για την Ινδία, το οποίο κατέληξε στην ανακάλυψη της Αμερικής.

Στον τροπικό του Καρκίνου

Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση του ύψους του Ηλίου την ίδια ημερομηνία σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες, καθώς και στην πεποίθηση του μεγάλου έλληνα μαθηματικού ότι ο Ηλιος είναι πολύ μακριά από τη Γη, τόσο ώστε οι ακτίνες του να φθάνουν στον πλανήτη μας σχεδόν παράλληλα. Από διηγήσεις ταξιδιωτών ο Ερατοσθένης έμαθε ότι στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, ο Ηλιος καθρεφτίζεται στην επιφάνεια του νερού των πηγαδιών της πόλης Συήνης, αυτής που σήμερα οι Αιγύπτιοι ονομάζουν Ασουάν. Από την πληροφορία αυτή ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι η Συήνη βρίσκεται πάνω στον τροπικό του Καρκίνου, δηλαδή στον παράλληλο κύκλο με γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες. Το χαρακτηριστικό των τόπων που βρίσκονται στον τροπικό του Καρκίνου είναι ότι το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου ο Ηλιος βρίσκεται στο ζενίθ, δηλαδή ακριβώς κατακόρυφα προς τα πάνω. Ετσι οι ακτίνες του διαδίδονται κατά μήκος των κατακόρυφων τοιχωμάτων των πηγαδιών, ανακλώνται στην επιφάνεια του νερού και επιστρέφουν προς την επιφάνεια, κάνοντας ορατό το είδωλό του σε έναν παρατηρητή που κοιτάζει από το στόμιο του πηγαδιού.

Το μεσημέρι της ημέρας του θερινού ηλιοστασίου ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος του Ηλίου στην πόλη στην οποία κατοικούσε, την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Η μέτρηση έγινε με τη βοήθεια ενός οβελίσκου, ο οποίος είναι το αρχαιότερο αστρονομικό όργανο στην ιστορία της επιστήμης. Το μήκος της σκιάς που ρίχνει ο οβελίσκος, διαιρεμένο με το ύψος του οβελίσκου, μας δίνει, όπως μάθαμε στο σχολείο, την εφαπτομένη της γωνίας του ύψους του Ηλίου. Η γωνία αυτή, η οποία από τη μέτρηση του Ερατοσθένη προέκυψε 7,2 μοίρες, είναι ίση (ως «εντός-εκτός και επί τα αυτά», όπως θυμούνται οι παλαιότεροι) με την επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν δύο ακτίνες της Γης με άκρα τη Συήνη και την Αλεξάνδρεια, υπό την προϋπόθεση ότι οι δύο πόλεις έχουν το ίδιο γεωγραφικό μήκος, βρίσκονται δηλαδή στον ίδιο μεσημβρινό. Επειδή από τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η απόσταση των δύο πόλεων, η ακτίνα της Γης και η γωνία που μέτρησε ο Ερατοσθένης συνδέονται με τη σχέση απόσταση/ακτίνα = 6,28x(7,2/360), η ακτίνα της Γης βρίσκεται αμέσως αν γνωρίζουμε την απόσταση των δύο πόλεων. Την εποχή του Ερατοσθένη, περί το 250 π.Χ., δεν υπήρχε ακριβής μέθοδος μέτρησης τόσο μεγάλων αποστάσεων. Σύμφωνα με την παράδοση, ο Ερατοσθένης ανέθεσε σε επαγγελματίες βαδιστές να την υπολογίσουν, και το αποτέλεσμά τους το συνέκρινε με τις εκτιμήσεις αρχηγών καραβανιών. Το τελικό του αποτέλεσμα ήταν ότι η απόσταση Αλεξάνδρειας- Συήνης ισούται με 5.000 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προκύπτει ίση με 252.000 στάδια.

Για να μπορέσουμε να εκτιμήσουμε την ακρίβεια της μέτρησης του Ερατοσθένη, θα έπρεπε να γνωρίζουμε πόσο είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα, καθώς και κατά πόσο αληθεύουν οι δύο υποθέσεις του Ερατοσθένη, δηλαδή ότι η Συήνη έχει γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες και ότι Συήνη και Αλεξάνδρεια βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό. Μια ματιά σε έναν σύγχρονο χάρτη δείχνει ότι και οι δύο υποθέσεις ήταν λανθασμένες, αλλά το λάθος δεν ήταν μεγάλο: το γεωγραφικό πλάτος της Συήνης είναι 24,1 μοίρες, ενώ τα γεωγραφικά μήκη των δύο πόλεων διαφέρουν μόνο κατά μία μοίρα. Επομένως η βασική πηγή σφάλματος είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα. Θα έλεγε κανείς ότι έχουν διασωθεί πολλά αρχαία στάδια, οπότε δεν έχουμε παρά να μετρήσουμε πόσο μήκος έχει ένα από αυτά. Δυστυχώς τα στάδια δεν είχαν το ίδιο μήκος σε όλες τις περιοχές της αρχαίας Ελλάδας. Αν υποθέσουμε ότι ο Ερατοσθένης εννοούσε αττικά στάδια των 185 μέτρων, τότε το αποτέλεσμά του δίνει για την ακτίνα της Γης 7.400 χιλιόμετρα, τιμή 16% μεγαλύτερη από την πραγματική. Αν όμως εννοούσε αιγυπτιακά στάδια, πράγμα που είναι και το πιθανότερο, τότε κατά τον Ερατοσθένη η ακτίνα της Γης είναι 6.316 χιλιόμετρα, μόλις 1% μικρότερη από την πραγματική, που σήμερα γνωρίζουμε ότι είναι 6.366 χιλιόμετρα!

Πώς ξεγελάστηκε ο Κολόμβος

Το πείραμα του Ερατοσθένη είχε δημιουργήσει μεγάλη εντύπωση στην εποχή του, και αρκετοί μεταγενέστεροι φυσικοί φιλόσοφοι, όπως ονομάζονταν οι επιστήμονες εκείνη την εποχή, θέλησαν να το επαναλάβουν. Ο πρώτος που γνωρίζουμε, χρονολογικά, ήταν ο Ελληνας Ποσειδώνιος ο Ρόδιος, ο οποίος γύρω στο 100 π.Χ. υπολόγισε την ακτίνα της Γης με διαφορετική μέθοδο από αυτήν του Ερατοσθένη. Υπέθεσε ότι η Αλεξάνδρεια και η Ρόδος είναι στον ίδιο μεσημβρινό και υπολόγισε ότι η επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν οι δύο πόλεις είναι 7,5 μοίρες, παρατηρώντας όχι τον Ηλιο αλλά το ύψος του αστέρα Κάνωπου, όπως φαίνεται από τις δύο πόλεις. Υποθέτοντας ότι η απόσταση των δύο πόλεων είναι 5.000 στάδια, κατέληξε σε ένα αποτέλεσμα πρακτικά ίδιο με αυτό του Ερατοσθένη. Μεταγενέστερα όμως αναθεώρησε την εκτίμησή του για την απόσταση Ρόδου- Αλεξάνδρειας σε 3.750 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προέκυψε ίση με 4.500 χιλιόμετρα, δηλαδή 30% μικρότερη από την πραγματική. Με την τιμή αυτή συμφώνησε στη συνέχεια ο ρωμαίος ναύαρχος και φυσικός φιλόσοφος Πλίνιος, ενώ την καθιέρωσε οριστικά ο έλληνας αστρονόμος Πτολεμαίος αναφέροντάς τη στο βιβλίο του Γεωγραφία.

Τα βιβλία του Πτολεμαίου έχαιραν μεγάλης εκτίμησης μεταξύ των επιστημόνων ως την Αναγέννηση, και αυτό το γεγονός ήταν η αιτία να επικρατήσει τελικά η λανθασμένη τιμή του Ποσειδώνιου για την ακτίνα της Γης. Σε υδρόγειες σφαίρες της εποχής, κατασκευασμένης με βάση αυτήν τη λανθασμένη τιμή, βλέπει κανείς τοποθετημένες την Ευρώπη, την Ασία και την Αφρική να καλύπτουν όλη την επιφάνεια της Γης, χωρίς να υπάρχει διαθέσιμος χώρος για άλλη ήπειρο. Ο Κολόμβος, με βάση παρόμοιους χάρτες, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η Ινδία απείχε από τα Κανάρια Νησιά μόλις 6.300 χιλιόμετρα δυτικά (αντί για τη σωστή 28.000 χιλιόμετρα), οπότε θα μπορούσε να φθάσει σχετικά σύντομα στις Ινδίες ταξιδεύοντας προς δυσμάς. Επομένως θα μπορούσε κανείς να πει ότι το λάθος του Ποσειδώνιου έπαιξε καθοριστικό ρόλο για την ανακάλυψη της Αμερικής από τον Κολόμβο, αφού είναι σχεδόν βέβαιο ότι αν γνώριζε τις πραγματικές διαστάσεις της Γης δεν θα τολμούσε ποτέ να ξεκινήσει για ένα ταξίδι 28.000 χιλιομέτρων με τα πλοία της εποχής.

Η εικασία του Κέπλερ και ένα πρόβλημα για τα κανόνια

                    

                                                   

    Εν  έτη  1591 , ο  Σερ Γουόλτερ Ράλεϊ  Βρετανός εξερευνητής,λαθρέμπορος και ενίοτε πειρατής  έθεσε ένα ερώτημα πρακτικού ενδιαφέροντος στον φίλο του μαθηματικό Τόμας  Χάριοτ .

Τον ρώτησε αν ήταν  δυνατό όταν θα βλέπει με το κιάλι από απόσταση στo κατάστρωμα ενος  εχθρικου πλοίου  μια  πυραμιδική στοίβα από μπάλες για τα κανόνια  να υπολογίζει το πλήθος τους.
 

                                 

   Ουσιαστικά ρωτούσε  αν  έχουμε μια πυραμίδα από σφαίρες  με τετράγωνη βάση  και γνωρίζουμε ότι η πλευρά της βάσης ισούται με K σφαίρες τότε  ποιο είναι το πλήθος  Ν των σφαιρών της πυραμίδας .Ο Χάριοτ  έλυσε το πρόβλημα  η απάντηση ήταν  Ν= (1/6)Κ(Κ+1)(1+2Κ)  μπάλες.

  Ο Χάριοτ αναρωτήθηκε ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από σφαίρες  που μπορεί να σχηματίζει στο έδαφος ένα τετράγωνο νxν και στην συνέχεια να είναι δυνατό να τις στοιβάξουμε  σε μια πυραμίδα με τετράγωνη βάση με ύψος  Κ σφαίρες. Έπρεπε να λύσει μια διοφαντική εξίσωση:

                                              (1/6)Κ(Κ+1)(1+2Κ)=ν²

Η εξίσωση έχει λύση  Κ=24 ,ν=70 με πλήθος 4900 σφαίρες .

 Το 1875 ο Εdourd Lukaς  διατύπωσε την εικασία ότι δεν υπήρχαν άλλες λύσεις ,43 χρόνια αργότερα  το 1918 ο G.N Watson απέδειξε ότι  ειχε δίκιο.

Ο Χαριοτ όμως ενδιαφερόταν για την σφαιροδιάταξη γιατί  θεωρούσε ότι είχε άμεση συνάφεια  με τα μικρότερα  σωματίδια της ύλης,για τα δεδομένα της εποχής,τα άτομα. Αναρωτήθηκε  λοιπόν «ποια διάταξη σφαιρών πιάνει τον μικρότερο χώρο;»

 Το 1606 έστειλε σχετική επιστολή με το αναπάντητο ερώτημα στον φίλο του Γερμανό αστρονόμο Γιοχάνες Κέπλερ .Ο Κέπλερ  διατύπωσε  το 1611 την εικασία ότι ο πιο συμπαγής τρόπος τακτοποίησης σφαιρών είναι ο τρόπος με τον οποίο στοιβάζουν οι μανάβηδες τα πορτοκάλια στους πάγκους τους. 

                  

  Ο ίδιος ο Κέπλερ πειραματίστηκε με πορτοκάλια και παρατήρησε ότι όταν τα στοίβαζε σε κύβο, με το ένα στρώμα πορτοκαλιών ακριβώς πάνω στο άλλο, του έμενε κενό το 48% του συνολικού όγκου. Αν τα έριχνε τυχαία, έμενε κενό περίπου το 35% του χώρου . Αν όμως έστρωνε πρώτα το κάτω στρώμα σε εξαγωνική διάταξη και πάνω του στοίβαζε το επόμενο έτσι ώστε τα πορτοκάλια του να μπαίνουν στα διάκενα του από κάτω στρώματος - σχηματίζοντας μια πυραμίδα -,τότε έμενε ανεκμετάλλευτο μόνο το 26% του συνολικού όγκου. 

                                        

Δεν μπόρεσε όμως να αποδείξει μαθηματικά ότι αυτή ήταν η βέλτιστη διάταξη. Η εικασία του Κέπλερ αποδείχθηκε το 1998 από τον Αμερικανό μαθηματικό Thomas Hales.

Thomas Callister Hales

Ανατολή και Δύση !!!

Δύο καμήλες στέκονται έτσι ώστε η μία να κοιτάζει προς την Ανατολή και η άλλη να κοιτάζει προς τη Δύση. 
Πώς γίνεται να κοιταχτούν κατά πρόσωπο χωρίς να μετακινηθούν, χωρίς να στρίψουν το σώμα ή το λαιμό τους και χωρίς να κάνουν χρήση κάποιας ανακλαστικής επιφάνειας;

Δημιουργικές βιβλιοθήκες!!!

Βιβλιοθήκες που ξεφεύγουν από τα συνηθισμένα και δίνουν άλλη πνοή στην αισθητική του δωματίου. Σχεδιασμένες έμπνευση είναι πραγματικά στολίδια για το διάκοσμο του σπιτιού χωρίς να χάνουν τη χρηστικότητα τους.