Οι εκατό Πετεινοί (The Hundred Fowls)!!! Eνα πρόβλημα από τον Κινέζο μαθηματικό του 6ου αιώνα Sun Tsu Suan Ching!!!

  Ένα δημοφιλές πρόβλημα ψυχαγωγικών μαθηματικών  του 6^ου  αιώνα βρίσκουμε στο βιβλίο του Κινέζου μαθηματικού  Sun Tsu Suan Ching  "Κλασσική Αριθμητική του Suan Ching ".
Η διατύπωση του έχει ως εξής :

" Εάν ένας πετεινός  αξίζει 5 νομίσματα , μια κότα 3 νομίσματα , και τρία κοτόπουλα μαζί 1 νόμισμα, πόσους πετεινούς, κότες και κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100, μπορεί κάποιος  να αγοράσει με  100 νομίσματα; "( τα πλήθη των πουλερικών είναι θετικοί ακέραιοι )

  Το σύνθετο αυτό πρόβλημα με χρήση  αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί:

 

όπου x, y, z ο αριθμός από πετεινούς,κότες και κοτόπουλα, αντίστοιχα.
  Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας  z=100-x-y  από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη  έχουμε:

 

Η οποία είναι μια γραμμική διοφαντική  εξίσωση με δύο άγνωστους .
Έχουμε δυο επιλογές:
Άν την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα πρέπει να λάβουμε υπόψιν ότι καθένας  από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος  .
Από την εξίσωση  7x+4y=100  διαπιστώνουμε ότι  ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k  όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:

28k+4y=100   ή   7k+y=25  με τρεις  ακέραιες  λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
                                     

                                                          x                y                z
 

                                                          4              18               78
                                                          8              11               81
                                                        12                7               84  

 

Έτσι, υπάρχουν τρεις τρόποι για την επιλογή του αριθμού των πετεινών , τις κότες και τα κοτόπουλα, συνολικού πλήθους  100  με το αντίτιμο  100 νομίσματα.