Μαθηματικά και .....όχι μόνο

Δημήτρης Χ

Ένα Χρυσό και πέντε Χάλκινα Μετάλλια στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

Ολοκληρώνεται σήμερα με την Τελετή Απονομής των μεταλλίων η 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα που διοργανώνεται φέτος με επιτυχία στην Αθήνα στις 3 - 8 Μαΐου 2015 από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία με τη συμμετοχή έντεκα ομάδων από χώρες της Νοτιοανατολικής Ευρώπης με παράδοση στα μαθηματικά, καθώς και εννέα φιλοξενούμενες χώρες από την Ευρώπη και την Ασία..

Η Ελληνική αποστολή κατέκτησε ένα χρυσό και πέντε χάλκινα μετάλλια.

Συγκεκριμένα:

Ντούνης Πέτρος	Αθήνα	Χρυσό Μετάλλιο
Μελάς Δημήτριος	Αθήνα	Χάλκινο Μετάλλιο
Μισιακός Παναγιώτης	Αθήνα	Χάλκινο Μετάλλιο
Χαχαμης Νεστορας	Αιτωλοακαρνανία	Χάλκινο Μετάλλιο
Καρατζά Παναγιώτα	Βέροια	Χάλκινο Μετάλλιο
Τσιντσιλίδας Δημήτριος	Δράμα	Χάλκινο Μετάλλιο

Συνοδοί των μαθητών ήταν οι Μαθηματικοί κ. Αγγελική Βλάχου και Ευάγγελος Ζώτος.

Δημήτρης Χ

Πρόβλημα 1

(Montenegro)

Αν $\displaystyle{a, b}$ και $\displaystyle{c}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6+3a^3b^3c^3\geq abc\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)+a^2b^2c^2\left(a^3+b^3+c^3\right)}$

Πρόβλημα 2

(Cyprus)

Έστω $\displaystyle{ABC}$ ένα σκαληνό τρίγωνο με έκκεντρο $\displaystyle{I}$ και περιγεγραμμένο κύκλο $\displaystyle{\left(\omega\right)}$ . Οι ευθείες $\displaystyle{AI, BI, CI}$ τέμνουν τον $\displaystyle{\left(\omega\right)}$ για δεύτερη φορά στα σημεία $\displaystyle{D, E, F}$ , αντίστοιχα. Οι παράλληλες ευθείες από το $\displaystyle{I}$ προς τις πλευρές $\displaystyle{BC, AC, AB}$ τέμνουν τις ευθείες $\displaystyle{EF, DF, DE}$ στα σημεία $\displaystyle{K, L, M}$ , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{K, L, M}$ είναι συνευθειακά.

Πρόβλημα 3

(Cyprus)

Μία επιτροπή από $\displaystyle{3366}$ κριτικούς κινηματογράφου ψηφίζει για τα Όσκαρ. Κάθε κριτικός ψηφίζει ακριβώς έναν ηθοποιό και ακριβώς μία ηθοποιό. Μετά την ψηφοφορία διαπιστώθηκε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n\in \left\{1, 2, ..., 100\right\}}$ , υπάρχει κάποιος ηθοποιός ή κάποια ηθοποιός που ψηφίστηκε ακριβώς $\displaystyle{n}$ φορές. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο κριτικοί που ψήφισαν τον ίδιο ηθοποιό και την ίδια ηθοποιό.

Πρόβλημα 4

(Serbia)

Να αποδείξετε ότι μεταξύ $\displaystyle{20}$ διαδοχικών θετικών ακεραίων υπάρχει ένας ακέραιος $\displaystyle{d}$ τέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ να ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{n\sqrt{d}\left\{n\sqrt{d}\right\}>\dfrac{5}{2}}$ ,
όπου με $\displaystyle{\left\{x\right\}}$ συμβολίζουμε το κλασματικό μέρος του πραγματικού $\displaystyle{x}$ . Το κλασματικό μέρος του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{x}$ ορίζεται ως η διαφορά του μεγαλύτερου ακεραίου που είναι μικρότερος ή ίσος του $\displaystyle{x}$ από τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ .

Μαθηματικά και .....όχι μόνο

Τρίτη 12 Μαΐου 2015

Η Β΄φάση του Μαθηματικού Διαγωνισμού " Παιχνίδι και Μαθηματικά " στην Ημαθία

Πέμπτη 7 Μαΐου 2015

Γιώτα Καρατζά πάντα επιτυχίες

Μεγάλη ελληνική επιτυχία στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

Ιστορία των Μαθηματικών

Τρίτη 5 Μαΐου 2015

Τα θέματα της 32ης Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας ( BMO 2015)

Κυριακή 3 Μαΐου 2015

Η Πυθαγόρεια φιλοσοφία για τη μουσική και τα μαθηματικά

Αριθμητική και Γεωμετρία

Αναγνώστες

Αρχειοθήκη ιστολογίου