Μαθηματικά και .....όχι μόνο

Δημήτρης Χ

Πρόβλημα 1

(Montenegro)

Αν $\displaystyle{a, b}$ και $\displaystyle{c}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6+3a^3b^3c^3\geq abc\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)+a^2b^2c^2\left(a^3+b^3+c^3\right)}$

Πρόβλημα 2

(Cyprus)

Έστω $\displaystyle{ABC}$ ένα σκαληνό τρίγωνο με έκκεντρο $\displaystyle{I}$ και περιγεγραμμένο κύκλο $\displaystyle{\left(\omega\right)}$ . Οι ευθείες $\displaystyle{AI, BI, CI}$ τέμνουν τον $\displaystyle{\left(\omega\right)}$ για δεύτερη φορά στα σημεία $\displaystyle{D, E, F}$ , αντίστοιχα. Οι παράλληλες ευθείες από το $\displaystyle{I}$ προς τις πλευρές $\displaystyle{BC, AC, AB}$ τέμνουν τις ευθείες $\displaystyle{EF, DF, DE}$ στα σημεία $\displaystyle{K, L, M}$ , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{K, L, M}$ είναι συνευθειακά.

Πρόβλημα 3

(Cyprus)

Μία επιτροπή από $\displaystyle{3366}$ κριτικούς κινηματογράφου ψηφίζει για τα Όσκαρ. Κάθε κριτικός ψηφίζει ακριβώς έναν ηθοποιό και ακριβώς μία ηθοποιό. Μετά την ψηφοφορία διαπιστώθηκε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n\in \left\{1, 2, ..., 100\right\}}$ , υπάρχει κάποιος ηθοποιός ή κάποια ηθοποιός που ψηφίστηκε ακριβώς $\displaystyle{n}$ φορές. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο κριτικοί που ψήφισαν τον ίδιο ηθοποιό και την ίδια ηθοποιό.

Πρόβλημα 4

(Serbia)

Να αποδείξετε ότι μεταξύ $\displaystyle{20}$ διαδοχικών θετικών ακεραίων υπάρχει ένας ακέραιος $\displaystyle{d}$ τέτοιος ώστε για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ να ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{n\sqrt{d}\left\{n\sqrt{d}\right\}>\dfrac{5}{2}}$ ,
όπου με $\displaystyle{\left\{x\right\}}$ συμβολίζουμε το κλασματικό μέρος του πραγματικού $\displaystyle{x}$ . Το κλασματικό μέρος του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{x}$ ορίζεται ως η διαφορά του μεγαλύτερου ακεραίου που είναι μικρότερος ή ίσος του $\displaystyle{x}$ από τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ .

Μαθηματικά και .....όχι μόνο

Τρίτη 5 Μαΐου 2015

Τα θέματα της 32ης Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας ( BMO 2015)

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Αναγνώστες

Αρχειοθήκη ιστολογίου