Περίεργα μαθηματικά

Τα μαθηματικά φαίνονται μερικές φορές παράλογα. Αυτό μας δείχνουν δυο φυσικοί σε ένα βίντεο: προσθέτουν άπειρους φυσικούς αριθμούς (θετικοί αριθμοί, 1,2,3..) και βγάζουν ένα αρνητικό αποτέλεσμα. Όσο περίεργο και να φαίνεται αυτό, στην θεωρία των χορδών γίνονται ακριβώς αυτού του είδους οι υπολογισμοί.

Ξέρετε ότι μια γάτα έχει εννέα ουρές; Αυτό αποδεικνύεται μαθηματικά-με τρεις προτάσεις: καμιά γάτα δεν έχει 8 ουρές. Μια γάτα έχει μια ουρά παραπάνω από καμιά γάτα. Από αυτές τις δυο προτάσεις προκύπτει: μια γάτα έχει 8+1=9 ουρές.

Με τον ίδιο τρόπο «αποδεικνύεται» ότι μια γάτα έχει 7 ή 12 ουρές. Τέτοιες περίεργες αποδείξεις όμως, δεν βρίσκονται μόνο σε ιστοσελίδες με μαθηματικά ανέκδοτα. Τις βρίσκει κανείς και σε σοβαρά εξειδικευμένα βιβλία, όπως μαρτυρούν δυο φυσικοί από το πανεπιστήμιο του Nottingham. Οι Edmund Copeland και Tony Padilla μας προσφέρουν σε ένα βίντεο μια τέτοια περίεργη απόδειξη: αν προσθέσει κανείς τους θετικούς αριθμούς βγάζει αρνητικό αποτέλεσμα.

Οι Βρετανοί ερευνητές διασκεδάζουν με την πειστική αυτή απόδειξη. Αποδεικνύουν πως το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών, από το 1 μέχρι το άπειρο, δεν είναι άπειρο, αλλά μείον ένα δωδέκατο (-1/12).

Δηλαδή: 1+2+3+4+5…= -1/12

«Αυτό το αποτέλεσμα χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς της φυσικής», λέει ο Copeland. Είναι για παράδειγμα απαραίτητο ώστε να προκύψουν οι 26 διαστάσεις της θεωρίας των χορδών, με την οποία οι ερευνητές προσπαθούν να ενοποιήσουν όλες τις θεωρίες τις φυσικής. 

 Απόδειξη στο βίντεο:

 

 

 

Όποιος πιστεύει ακόμα πως πρόκειται για ένα έξυπνο αστείο, ας ρίξει μια ματιά στην ιστοσελίδα του Terence Tao, που είναι ένας από τους καλύτερους θεωρητικούς της αριθμητικής παγκοσμίως. «Ο τύπος δεν έχει κανένα νόημα, εάν υπολογίζει κανείς το άπειρο άθροισμα με τον παραδοσιακό τρόπο», λέει ο Τάο.

Ο Tony Padilla είναι ακόμα πιο ξεκάθαρος: «Μοιάζει μαθηματικό χόκους-πόκους, αλλά δεν είναι. Το ξέρουμε, γιατί αυτό το είδος αθροίσματος εμφανίζεται στην φυσική.»

Ο Padilla βέβαια ξέρει τι συμβαίνει, όταν προσπαθήσει κανείς να υπολογίσει το άθροισμα όλων των αριθμών σε ένα υπερυπολογιστή: το αποτέλεσμα είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, γιατί δεν είναι δυνατόν να αθροίσει κανείς άπειρους αριθμούς. Αν υπολογίσει όμως κανείς άπειρα αθροίσματα για πεπερασμένο αριθμό στοιχείων, προκύπτει το μη αναμενόμενο αποτέλεσμα -1/12.