Σάββατο 11 Ιουλίου 2015

Θέματα 2ης μέρας στην 56η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (IMO 2015)


 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4

Έστω ABC τρίγωνο με περιγεγραμμένο κύκλο \Omega και έστω O το κέντρο του.Ένας κύκλος \Gamma με κέντρο το σημείο A τέμνει το τμήμα BC στα σημεία D,E έτσι ώστε τα B,D,E,C να είναι διαφορετικά και πάνω στην ευθεία BC.Τα σημεία F,G είναι τα σημεία τομής των κύκλων \Gamma ,\Omega έτσι ώστε τα A,F,B,C,G να βρίσκονται πάνω στον \Omega με αυτή την σειρά.Το σημείο K είναι το δεύτερο σημείο τομής του πρειγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BDF με το τμήμα AB.Έστω επίσης L το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου C,G,E με το τμήμα CA.

Υποθέτουμε ότι οι ευθείες FK,GL τέμνονται στα σημείο X.Να αποδειχθεί ότι το X βρίσκεται στο τμήμα AO.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb R\to\mathbb R που ικανοποιούν τη σχέση \displaystyle{f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)} για όλους τους πραγματικούς x,y

ΠΡΟΒΛΗΜΑ  6

Το σύνολο a_1,a_2,\dots ακεραίων ικανοποιεί τις συνθήκες:
1)1\le a_j\le2015 για κάθε j\ge1
2)k+a_k\neq \ell+a_\ell για 1\le k<\ell
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 2 θετικοί ακέραιοι b και N για τους οποίους
\displaystyle{\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2} για όλους τους ακέραιους m,n τέτοιους ώστε n>m\ge N
Αναρτήθηκε από στις Δεν υπάρχουν σχόλια:

Θέματα !ης μέρας στην 56η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (IMO 2015)



ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Ονομάζουμαι ένα πεπερασμένο σύνολο S balanced εάν, για κάθε δύο διαφορετικά σημεία A,B στο S υπάρχει σημείο C στο S έτσι ώστε AC=BC. Επίσης λέμε ότι το S είναι center-free εάν για κάθε 3 διαφορετικά σημεία A,B,C δεν υπάρχει κανένα σημείο P στο S ώστε PA=PB=PC.

a)Nα δειχτεί ότι για κάθε ακέραιο n \geq 3 υπάρχει ένα balanced set που περιλαμβανει n σημεία

b)Nα προσδιορίσετε όλους τους ακεραίους n \geq 3 για τους οποίους υπάρχει ένα balanced center-free set
 
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Nα βρεθούν όλοι οι θετικοι ακέραιοι a,b,c έτσι ώστε:

 ab-c
 bc-a
ca-b

να είναι δυνάμεις του 2

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Έστω ABC oξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με AB > AC .Έστω \Gamma ο περίκυκλος και H το ορθόκεντρο και F το ίχνος του ύψους από το A.Ας είναι M το μέσον της BC και Q σημείο στον \Gamma ώστε <HQA=90 και K στον \Gamma ώστε <HKQ=90. Tα σημείαA,B,C,K,Q είναι όλα διαφορετικά στον κύκλο \Gamma και βρίσκονται με αυτήν την σειρά.
Να αποδείξεται ότι οι περίκυκλοι των KQH και FKM εφάπτονται
Αναρτήθηκε από στις Δεν υπάρχουν σχόλια:
Εγγραφή σε: Αναρτήσεις (Atom)