Θέματα !ης μέρας στην 56η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (IMO 2015)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Ονομάζουμαι ένα πεπερασμένο σύνολο balanced εάν, για κάθε δύο διαφορετικά σημεία στο υπάρχει σημείο στο έτσι ώστε . Επίσης λέμε ότι το είναι center-free εάν για κάθε 3 διαφορετικά σημεία δεν υπάρχει κανένα σημείο στο ώστε .

a)Nα δειχτεί ότι για κάθε ακέραιο υπάρχει ένα balanced set που περιλαμβανει σημεία

b)Nα προσδιορίσετε όλους τους ακεραίους για τους οποίους υπάρχει ένα balanced center-free set

 

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Nα βρεθούν όλοι οι θετικοι ακέραιοι έτσι ώστε:

 
 


να είναι δυνάμεις του

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Έστω oξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με .Έστω ο περίκυκλος και το ορθόκεντρο και το ίχνος του ύψους από το .Ας είναι το μέσον της και σημείο στον ώστε και στον ώστε . Tα σημεία είναι όλα διαφορετικά στον κύκλο και βρίσκονται με αυτήν την σειρά.
Να αποδείξεται ότι οι περίκυκλοι των και εφάπτονται