Ο νους, ο χώρος και η γεωμετρία

 Γράφει ο μαθηματικός Γιώργος Μπαντές 

Όπως  είναι  γνωστό, το μοναδικό  εργαλείο  για  την  κατασκευή φυσικών θεωριών,  δηλ.  θεωριών  που  να  ερμηνεύουν  τον  φυσικό  κόσμο,  είναι  τα  μαθηματικά. Οι μαθηματικές  κατασκευές  παράγονται στο νου,  με  μια  διαδικασία  που δεν είναι αντικείμενο των μαθηματικών.

Η μαθηματική  κατασκευή και ο φυσικός κόσμος είναι δύο κόσμοι  οι οποίοι επικοινωνούν  αμφίδρομα  μέσω  των αισθήσεων  και των  εμπειριών που αυτές  παράγουν (μετρήσεις). Έτσι  δημιουργείται  εκείνο το  θαύμα  της  κατανόησης για  το  οποίο ο  Αινστάιν  έλεγε:

το  πιο  ακατανόητο  πράγμα  είναι  το ότι ο κόσμος  είναι  κατανοητός.

 Η  ύπαρξη  των  δύο αυτών  κόσμων  είναι σαφώς  διακρίσιμη  στην περίπτωση  της  γεωμετρίας.  Όταν  ο  Carnap αναφέρει  ότι  είναι  αναγκαίο να διακρίνουμε την μαθηματική γεωμετρία απ’ τη φυσική γεωμετρία εννοεί  αυτούς  τους  δύο  κόσμους: τη γεωμετρία του μυαλού και τη γεωμετρία των μετρήσεων.  Το χώρο  μέσα  στο νου μας, τον  μαθηματικό  χώρο  και το χώρο έξω απ’  αυτόν, τον φυσικό χώρο. Στην  ιστορία της γεωμετρίας, στις αρχές της ανάπτυξής της, υπερεκτιμήθηκε ο μαθηματικός χώρος,  με  αποτέλεσμα να δημιουργηθούν  δόγματα στην ερμηνεία  της αλήθειας της γεωμετρίας, προσθέτοντας άχρηστη γνώση στη φυσική φιλοσοφία. Θα εντοπίσουμε τα λεπτά σημεία, μακριά από δόγματα, που πρέπει να συλλάβουμε στη θεώρηση του μαθηματικού χώρου.

Τα λυωμένα ρολόγια του Νταλί μπορούν να μαςδώσουν μια εικόνα του μαθηματικού χώρου…Τώρα έχει μια σουρεαλιστική μετρική

Ο μαθηματικός χώρος και η ευθεία

Μπορείτε αν βρείτε τον αριθμό;;

Κάθε ημέρα της εβδομάδας έχει ίδια πιθανότητα με τις άλλες να είναι ημέρα των Χριστουγέννων;

  

Φέτος τα Χριστούγεννα πέφτουν Δευτέρα. Πέρυσι ήταν Κυριακή , εν γένει  η μέρα των Χριστουγέννων αλλάζει κάθε χρόνο.

 

Ερώτηση:

Κάθε μέρα της εβδομάδας  έχει τις ίδιες πιθανότητες να είναι η μέρα των Χριστουγέννων.

Απάντηση:

Δεν έχουν όλες οι μέρες της εβδομάδας την ίδια πιθανότητα να πέφτουν  Χριστούγεννα .

Ένα ανάλογο πρόβλημα τέθηκε το 1950 , στον μαθηματικό  διαγωνισμό Putnam.

 

«Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα η μέρα των Χριστουγέννων να είναι  Δευτέρα δεν είναι 1/7».

Για να είμαστε ακριβείς  το πρόβλημα  αφορά  το Γρηγοριανό ημερολόγιο και οι  κανόνες που  καθορίζουν τα δίσεκτα και τα μη δίσεκτα έτη είναι:

Πόσα τετράγωνα υπάρχουν στο χριστουγεννιάτικο δέντρο;

Ο γρίφος Δεκαπέντε

Ο Σάμιουελ Λόιντ γεννήθηκε στην Φιλαδέλφεια των ΗΠΑ στις 31 Ιανουαρίου 1841 και πέθανε στις 10 Απριλίου 1911. Ήταν ο μεγαλύτερος Αμερικανός συνθέτης γρίφων (διασκεδαστικών μαθηματικών, λογικών, σκακιστικών, λεκτικών, οπτικών), γιατί δημιούργησε πάνω από 10000 γρίφους.
Ο Λόιντ έγινε γνωστός σε πολύ κόσμο το 1878, όταν επινόησε τον γρίφο Δεκαπέντε. Ο γρίφος είναι ένα τετραγωνικό πλαίσιο που έχει μέσα 15 τετραγωνικές ψηφίδες σε διάταξη 4×4 οπότε υπάρχει μια θέση κενή.
Το ζητούμενο είναι να μπουν οι ψηφίδες στη σωστή σειρά (1,2,3,4…) γλιστρώντας τα πάνω στον πίνακα, εκμεταλλευόμενοι κάθε φορά το κενό που σχηματίζεται από την κίνησή τους.

Ένα εορταστικό μαθηματικό πρόβλημα.…

Ένα εορταστικό προβληματάκι ...
   "Ο Φρέντι  είναι ένα από τα πολλά ξωτικά στην υπηρεσία του Αη Βασίλη ,έχει σαν υποχρέωση του να παραλαμβάνει τα γράμματα των παιδιών, να καταγράφει τα δώρα που ζητούν και να φροντίζει για την κατασκευή τους .Τώρα λοιπόν , που τα Χριστούγεννα πλησιάζουν έπεσε πολύ δουλειά για τον Φρέντι.Κάθε εβδομάδα καταχωρεί και διεκπεραιώνει περισσότερα γράμματα από την προηγούμενη .Τις τρεις εβδομάδες πριν τα Χριστούγεννα  καταχώρησε 56 γράμματα και μάλιστα  η διαφορά ανάμεσα στον αριθμό των γραμμάτων της πρώτης εβδομάδας και της δεύτερης  πολλαπλασιασμένη επί την διαφορά του αριθμού των γραμμάτων της τρίτης και της δεύτερης εβδομάδας ισούται

Αριθμοί Τέλειοι - Ελλιπείς - Υπεράφθονοι

 

Ας εξετάσουμε σήμερα κάποιες κατηγορίες αριθμών, σύμφωνα με τους διαιρέτες τους δηλαδή τους αριθμούς εκείνους που τους διαιρούν ακριβώς.
Ίσως να εκπλαγείτε λιγάκι, όταν δείτε τις ομοιότητες που έχουν αυτοί οι αριθμοί με τη καθημερινότητά μας.
Θα ξεκινήσουμε με τη διάκριση των άρτιων -ή ζυγών- αριθμών σε Ελλιπείς, Τέλειους, και Υπεράφθονους.

Ελλιπής, ονομάζεται ένας αριθμός,