Αριθμοί Τέλειοι - Ελλιπείς - Υπεράφθονοι

 

Ας εξετάσουμε σήμερα κάποιες κατηγορίες αριθμών, σύμφωνα με τους διαιρέτες τους δηλαδή τους αριθμούς εκείνους που τους διαιρούν ακριβώς.
Ίσως να εκπλαγείτε λιγάκι, όταν δείτε τις ομοιότητες που έχουν αυτοί οι αριθμοί με τη καθημερινότητά μας.
Θα ξεκινήσουμε με τη διάκριση των άρτιων -ή ζυγών- αριθμών σε Ελλιπείς, Τέλειους, και Υπεράφθονους.

Ελλιπής, ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου οι διαιρέτες έχουν άθροισμα μικρότερο από τον αριθμό στον οποίο αναφερόμαστε. Παράδειγμα, ο αριθμός 8 είναι Ελλιπής, διότι οι διαιρέτες του -1,2,4- έχουν άθροισμα 1+2+4=7, δηλαδή μικρότερο του 8.

Υπεράφθονος, ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου οι διαιρέτες έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από τον αριθμό αυτό. Όπως για παράδειγμα ο αριθμός 20, διότι οι διαιρέτες του -1,2,4,5,10- έχουν άθροισμα 1+2+4+5+10=22, δηλαδή μεγαλύτερο του 20.

Τέλειοι αριθμοί, ορίζονται εκείνοι που είναι ίσοι με το άθροισμα των διαιρετών τους. Παράδειγμα τέτοιου αριθμού είναι το 6, του οποίου οι διαιρέτες -1,2,3- έχουν άθροισμα 1+2+3=6. Δηλαδή, το άθροισμα των διαιρετών του 6, είναι ίσο με 6.
Τέτοιοι αριθμοί, είναι αρκετά σπάνιοι. Φανταστείτε, πως ανάμεσα στο 1 και το 10, Τέλειος είναι μόνο ο 6. Επίσης, ανάμεσα στο 10 και το 100, τέλειος είναι μόνο ο 28, ενώ ανάμεσα στο 100 και το 1000, τέλειος είναι μόνο ο 496 και τέλος, ανάμεσα στο 1000 και το 10000, τέλειος είναι μόνο ο 8128!!! Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 33.550.336 και ακολουθούν οι 8.589.869.056 και 137.438.691.328
Γίνεται περισσότερο κατανοητή η -από αρχαιοτάτων χρόνων- ονομασία αυτών των αριθμών, αν τους "συνδέσουμε" με την καθημερινότητά μας. Η σπανιότητά τους, είναι όμοια με τη σπανιότητα της τελειότητας. Οι τέλοιοι αριθμοί λοιπον, αντιπροσώπευαν την μετριοπάθεια και την αρετή, ενώ οι άλλες δυο κατηγορίες τα ελατώμματα που είναι πολυάριθμα, ακανόνιστα και ακαθόριστα.
Παρόλο που οι Τέλειοι αριθμοί ήταν γνωστοί από την αρχαιότητα, άλυτα παραμένουν μέχρι σήμερα τα ερωτήματα:
1) Υπάρχουν άπειροι Τέλειοι αριθμοί, ή κάποια μέρα μπορούμε να φτιάξουμε ένα κατάλογο με όλους τους Τέλειους αριθμούς δίχως να μας "ξεφύγει" ούτε ένας;
2) Υπάρχει έστω ένας Τέλειος περιττός -μονός- αριθμός;

2.300 χρόνια περιμένουν απάντηση τα 2 αυτά -απλά όπως φαίνονται- ερωτήματα.