Σάββατο, 11 Ιουλίου 2015

Θέματα 2ης μέρας στην 56η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (IMO 2015)


 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4

Έστω ABC τρίγωνο με περιγεγραμμένο κύκλο \Omega και έστω O το κέντρο του.Ένας κύκλος \Gamma με κέντρο το σημείο A τέμνει το τμήμα BC στα σημεία D,E έτσι ώστε τα B,D,E,C να είναι διαφορετικά και πάνω στην ευθεία BC.Τα σημεία F,G είναι τα σημεία τομής των κύκλων \Gamma ,\Omega έτσι ώστε τα A,F,B,C,G να βρίσκονται πάνω στον \Omega με αυτή την σειρά.Το σημείο K είναι το δεύτερο σημείο τομής του πρειγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BDF με το τμήμα AB.Έστω επίσης L το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου C,G,E με το τμήμα CA.

Υποθέτουμε ότι οι ευθείες FK,GL τέμνονται στα σημείο X.Να αποδειχθεί ότι το X βρίσκεται στο τμήμα AO.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb R\to\mathbb R που ικανοποιούν τη σχέση \displaystyle{f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)} για όλους τους πραγματικούς x,y

ΠΡΟΒΛΗΜΑ  6

Το σύνολο a_1,a_2,\dots ακεραίων ικανοποιεί τις συνθήκες:
1)1\le a_j\le2015 για κάθε j\ge1
2)k+a_k\neq \ell+a_\ell για 1\le k<\ell
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 2 θετικοί ακέραιοι b και N για τους οποίους
\displaystyle{\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2} για όλους τους ακέραιους m,n τέτοιους ώστε n>m\ge N

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου