Σάββατο, 11 Ιουλίου 2015

Θέματα !ης μέρας στην 56η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (IMO 2015)



ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Ονομάζουμαι ένα πεπερασμένο σύνολο S balanced εάν, για κάθε δύο διαφορετικά σημεία A,B στο S υπάρχει σημείο C στο S έτσι ώστε AC=BC. Επίσης λέμε ότι το S είναι center-free εάν για κάθε 3 διαφορετικά σημεία A,B,C δεν υπάρχει κανένα σημείο P στο S ώστε PA=PB=PC.

a)Nα δειχτεί ότι για κάθε ακέραιο n \geq 3 υπάρχει ένα balanced set που περιλαμβανει n σημεία

b)Nα προσδιορίσετε όλους τους ακεραίους n \geq 3 για τους οποίους υπάρχει ένα balanced center-free set
 
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Nα βρεθούν όλοι οι θετικοι ακέραιοι a,b,c έτσι ώστε:

 ab-c
 bc-a
ca-b

να είναι δυνάμεις του 2


ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Έστω ABC oξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με AB > AC .Έστω \Gamma ο περίκυκλος και H το ορθόκεντρο και F το ίχνος του ύψους από το A.Ας είναι M το μέσον της BC και Q σημείο στον \Gamma ώστε <HQA=90 και K στον \Gamma ώστε <HKQ=90. Tα σημείαA,B,C,K,Q είναι όλα διαφορετικά στον κύκλο \Gamma και βρίσκονται με αυτήν την σειρά.
Να αποδείξεται ότι οι περίκυκλοι των KQH και FKM εφάπτονται

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου