Απόδειξη στην εικασία του Rota

 

David Eppstein

Η συγκεκριμένη εικασία αφορά σε έναν ειδικό κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία πινακοειδών  (matroid theory), μία «μοντέρνα» εκδοχή της γεωμετρίας.

Μια ομάδα μαθηματικών, έλυσε ένα μαθηματικό πρόβλημα ηλικίας 40 χρόνων, όπως ανακοινώθηκε σε συνέδριο μαθηματικών στην Αγγλία. Πρόκειται για τον Geoff Whittle, καθηγητή Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Βικτόρια στην Αυστραλία, ο οποίος μαζί με τους συναδέλφους του Jim Geelen από τον Καναδά και Bert Gerards από την Ολλανδία έλυσαν την εικασία του διάσημου Ιταλο-Αμερικανού μαθηματικού και φιλοσόφου Gian-Carlo Rota, που τη διατύπωσε το 1971.

Η ομάδα των τριών εργάστηκε δεκαπέντε χρόνια προτού καταλήξει στην απόδειξη της εικασίας του Rota. Η συγκεκριμένη εικασία αφορά σε έναν ειδικό κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία πινακοειδών  (matroid theory), μία «μοντέρνα» εκδοχή της γεωμετρίας. Αντί όμως να εστιάζει στις γωνίες και τις αποστάσεις, η θεωρία πινακοειδών μελετά τις ιδιότητες των δομών οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από ορισμένες προβολές, όπως για παράδειγμα αν τρία συνευθειακά σημεία θα παραμείνουν στην ίδια ευθεία έπειτα από μια σειρά μετασχηματισμών.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΉΜΙΟ ΤΗΣ ΒΙΚΤΌΡΙΑ

O Geoff Whittle, καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Βικτόρια στην Αυστραλία.

Η θεωρία εξετάζει  γεωμετρικά σχήματα που είναι πολύ διαφορετικά από ό,τι έχουμε συνηθίσει, και η εικασία του Rota προσφέρει ένα τρόπο να τα αναγνωρίσουμε. «Το συγκρίνω με τη Μεταμόρφωση του Κάφκα, όπου ένας άνθρωπος ξυπνάει μεταμορφωμένος σε έντομο, και με τον τρόπο αυτό αλλάζει όλη του η εικόνα για τον κόσμο», λέει ο καθηγητής Whittle. «Η θεωρία πινακοειδών έχει να κάνει με το να οραματιζόμαστε ένα κόσμο με νέα γεωμετρικά σχήματα και να αναπτύσσουμε τρόπους με τους οποίους θα περιγράψουμε τις μεγάλες, πρωταρχικές δομές η οποίες αναδύονται», εξηγεί.  Η εικασία του Rota θεωρεί πως για κάθε πεπερασμένο πεδίο, η οικογένεια των πινακοειδών που μπορούν να αναπαρασταθούν σε αυτό το πεδίο έχει πεπερασμένο αριθμό από απαγορευμένα ελάσσονα πινακοειδή. Ένα ελάσσων πινακοειδές προκύπτει από ένα πινακοειδές έπειτα από μια σειρά μετασχηματισμών και πράξεων, ενώ τα απαγορευμένα πινακοειδή μπορεί να χαρακτηρίσουν μια ομάδα πινακοειδών. Υπήρχε απόδειξη της εικασίας μέχρι και σε πεδία που είχαν το πολύ τέσσερα στοιχεία, ενώ πλέον θα πρέπει να θεωρείται αληθής για κάθε πεδίο, ανεξαρτήτου αριθμού στοιχείων.
Αν και χρειάστηκαν αρκετά χρόνια στην ομάδα για να αποδείξει την εικασία, οι ερευνητές επιμένουν πως η ενδιαφέρουσα δουλειά μόλις ξεκίνησε. «Είναι σαν να ανακαλύψαμε ένα νέο βουνό. Η διαδρομή ήταν πολύ κοπιαστική, αλλά πρέπει να φτιάξουμε και μονοπάτια με τα οποία θα ανέβουν και άλλοι ευκολότερα», προσθέτει ο Geoff Whittle.