Τα μαθηματικά των ντόμινο

Κάθε κομμάτι ντόμινο μπορεί να ανατρέψει ένα άλλο κομμάτι έως 50% μεγαλύτερο σε μέγεθος, υπό την προϋπόθεση ότι βρίσκονται σε βέλτιστη απόσταση μεταξύ τους

Όλοι έχουμε δει επιδείξεις της επίδρασης ντόμινο, όπου αμέτρητα κομμάτια ανατρέπονται διαδοχικά, δημιουργώντας ένα ιδιαίτερο οπτικό φαινόμενο. Συνήθως όλα τα κομμάτια έχουν το ίδιο μέγεθος, αλλά στην πράξη κάθε ανατρεπόμενο κομμάτι έχει αρκετή ορμή ώστε να ανατρέψει με τη σειρά του ένα ακόμα μεγαλύτερο. Επομένως υφίσταται η πιθανότητα να τοποθετήσουμε διαδοχικά ολοένα και μεγαλύτερα κομμάτια, τα οποία όλα θα ανατραπούν μετά από μία απαλή ώθηση στο μικρότερο κομμάτι στην αρχή του ντόμινο.

Ο δρ. Τζ. Μ. Τζ. Φαν Λέεβεν του Πανεπιστημίου του Λάιντεν στην Ολλανδία προσπάθησε να υπολογίσει τον μέγιστο αυξητικό παράγοντα αυτού του προβλήματος ώστε να προσδιορίσει το ανώτατο μέγεθος του επόμενου κομματιού, αν και αποδείχθηκε ότι ήταν μία πιο περίπλοκη διαδικασία από ότι αρχικά περίμενε.
Η βασική σκέψη είναι ότι το κάθε κομμάτι ντόμινο μπορεί να ανατρέψει ένα άλλο κομμάτι έως 50% μεγαλύτερο σε μέγεθος, υπό την προϋπόθεση ότι βρίσκονται σε βέλτιστη απόσταση μεταξύ τους. Όταν το κομμάτι βρίσκεται σε όρθια θέση έχει αποθηκευμένη μία δυναμική ενέργεια, η οποία απελευθερώνεται όταν το ωθούμε. Όμως η ενέργεια που απαιτείται για να ανατρέψουμε το πρώτο κομμάτι, είναι μικρότερη από αυτή που παράγεται κατά την πτώση του. Αυτή η «ενίσχυση» καθιστά το κομμάτι δυνατό να ανατρέψει άλλα κομμάτια, μεγαλύτερα σε μέγεθος.
Στην πραγματικότητα όμως υπάρχουν διάφοροι τρόποι κατά τους οποίους το κάθε ντόμινο χάνει ενέργεια όταν πέφτει. Για παράδειγμα, όταν πέφτει καταλήγει πάνω στο επόμενο κομμάτι, επομένως οι συγκρούσεις είναι ανελαστικές, οδηγώντας σε απώλεια ενέργειας. Εξάλλου, τριβές και ολισθήσεις στο έδαφος επηρεάζουν επίσης την διαδικασία.
Ο Φαν Λέεβεν πραγματοποίησε μία σειρά απλοποιήσεων στις μαθηματικές του αναλύσεις και υπέθεσε ότι η τριβή μεταξύ του εδάφους και των ντόμινο είναι         άπειρη και συνεπώς δεν μπορούν να ολισθήσουν πέφτοντας. Επίσης υπέθεσε ότι οι συγκρούσεις είναι πλήρως ανελαστικές και τα κομμάτια παραμένουν σε επαφή μεταξύ τους μετά την επαφή.
Με βάση αυτές τις υποθέσεις απέδειξε ότι με την βέλτιστη απόσταση κάθε επόμενο ντόμινο μπορεί να είναι έως διπλάσιο από το προηγούμενο κομμάτι, δηλαδή ο μέγιστος αυξητικός παράγοντας δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του 2.
Αυτός ο υπολογισμός είναι σημαντικά μεγαλύτερος από τις παλιότερες εκτιμήσεις, αλλά αυτό ίσως οφείλεται στις υποθέσεις περί άπειρης τριβής και ανύπαρκτης ολίσθησης, που στην πράξη δεν ισχύουν.
Παρ’όλ’αυτά, ακόμα και ένας παράγοντας αύξησης 1.5 μπορεί να οδηγήσει σε ορισμένες εκπληκτικές αλυσιδωτές αντιδράσεις. Σε αυτό το ρυθμό, η δύναμη στο δέκατο τρίτο κομμάτι ντόμινο θα έχει ενισχυθεί κατά δύο δισεκατομμύρια φορές σε σχέση με αυτή που χρειάστηκε στο πρώτο.