Ημερίδα Μαθηματικών στην Κατερίνη από το παράρτημα Πιερίας της Ε.Μ.Ε

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΓΙΓΝΕΣΘΑΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΦΑΡΜΑΚΗΣ Νικόλαος

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τμήμα Μαθηματικών

farmakis@math.auth.gr 

ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ: Το σύνολο αναφοράς για οποιαδήποτε μελέτη σχετική με Στατισιτκή. Τα στοιχεία του μπορεί να είναι ότιδήποτε, π.χ. άνθρωποι, αντικείμενα βιομηχανικής παραγωγής, σωματίδια, επιχειρήσεις, διοικητικές μονάδες, Σχολεία. κλπ. 

Σύνολο αναφοράς αντί του Πληθυσμού μπορεί να είναι και ο.....

ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΣ: Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματοε τύχης. Το πείραμα μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές με τις ίδιες συνθήκες και καταγράφεται το εκάστοτε αποτέλεσμα, πχ. Ρίψη ενός νομίσματος, επιλογή μιάς οικογένειας της πόλης για τις ανάγκες της μελέτης.

ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ: Μία συνάρτηση που συνδέει το σύνολο αναφοράς με ένα σύνολο τιμών (αριθμητικών ή ποιοτικών). Το σύνολο τιμών μας δίνει τα δυνατά αποτελέσματα (επίπεδα, levels) μεταβλητής.

Όταν μία μεταβλητή παίρνει τις τιμές της κατά τυχαίο τρόπο (δηλαδή όχι προδιαγεγραμμένα) ονομάζεται τυχαία μεταβλητή (τμ). Η έννοια της τμ είναι πολύ σημαντική στη Στατιστική.

1^ος τρόπος (κλασικός) ταξινόμησης τμ:

Οι τμ χωρίζονται σε:

1) Ποιοτικές

2) Ποσοτικές και μετά 2^α) Διακριτές και 2^β) Συνεχείς 

2^ος τρόπος(μοντέρνος) ταξινόμησης τμ:

Οι τμ χωρίζονται σε: 

1)  Κατηγορικές

2) Ταξινομικές

3) Διαστηματικές

4) Κλασματικές

Ο 2^ος τρόπος εξυπηρετεί την χρήση Η/Υ στη Στατιστική έρευνα.

Όταν κάνουμε μια έρευνα με ερωτηματολόγιο εκεί κάθε ερώτηση μας προμηθεύει και μία (τουλάχιστο) τμ.

Παράδειγμα 1^ο: Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε της ερώτηση:

«Ποιά η ηλικία σας;»

Πιθανές απαντήσεις σε έτη: 18, 23, 45, 67, 78, κλπ. 

Για τη μελέτη θα επινοήσουμε την τμ «Η»(λικία) που παίρνει τιμές από 18 μέχρι 110 (η έρευνα αφορά ενήλικες).

Οι τιμές 18, 23, 44, 56,...κλπ. (όπως παραπάνω) είναι τα επίπεδα (τιμών) της τμ Η (levels).

Σημαντικό είναι να ξέρουμε την πιθανότητα η τμ Η να πάρει κάποια τιμή, πχ. Η=25. Αυτή η πιθανότητα αντικατοπτρίζει και αντικατοπτρίζεται από το % παρουσίας ατόμων 25 ετών(=Η) μέσα στον Πληθυσμό της έρευνας-μελέτης. Μπορούμε φυσικά να φανταστούμε μία πιθανότητα για κάθε τιμή (level) της τμ Η. Αυτό σημαίνει ότι ήδη αποκαταστάθηκε μία απεικόνιση f ανάμεσα στο σύνολο τιμών της Η το {18,19,20,21,...,110} και του διαστήματος [0, 1] όπου η πιθανότητα μπορεί να πάρει τιμές. Η συνάρτηση f ονομάζεται συνάρτηση πιθανότητας αν φανταστούμε την τμ Η διακριτή και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) αν η τμ Η  θεωρηθεί συνεχής.

Το άθροισμα όλων των ανωτέρω πιθανοτήτων (διακριτή) ή το ολοκλήρωμα στο διάστημα (έκταση) της τμ [18, 110] είναι (προφανώς) ίσο με ΜΟΝΑΔΑ. (βασική Ιδιότητα).

Δηλαδή εδώ είναι f(18)+f(19)+f(20)+…+f(110)=1, (διακριτή).  

Αν όμως επιτραπεί η τμ Η να πάρει κάθε τιμή επί του [18, 110] (συνεχής τμ), τότε έχουμε  . 

Το πρόβλημα που εμφανίζεται δύσκολο είναι να προσδιορίσουμε τη μορφή της σ.π.π. f(x). Σε μερικές περιπτώσεις αυτό είναι πολύ δύσκολο, ειδικά αν εργαζόμαστε μόνο με την θεωρητική προσέγγιση. Αναφέρονται περιπτώσεις που ο προσδιορισμός πήρε και δεκαετίες ακόμη. Χρησιμοποιήθηκαν και πολύπλοκες μορφές συναρτήσεων που δυσκολεύουν τη διαχείρηση της σ.π.π. Όταν όμως θέλουμε να κάνουμε εφαρμοσμένη έρευνα ή μελέτες επιστημονικές σε ένα αντικείμενο εφαρμογής (και στη Εκπαίδευση φυσικά) πρέπει να βρεθεί τρόπος να προσεγγίσουμε τη σ.π.π. με κάποιο εύκολο και εύχρηστο μοντέλο (συνάρτηση), που να προσδιοριστεί σε μικρό χρονικό διάστημα, από μερικά λεπτά της ώρας έως μερικές (ίσως) μέρες.

Αυτό επιτεύχθηκε με τη βοήθεια της Δειγματοληψίας και τη χρήση της έννοιας το Συντελεστή Μεταβλητοτητας (Coefficient of Variation, συμβολο Cv). Για μεγαλύτερη ευκολία επιλέγονται και πολυωνυμικές μορφές έκφρασης της σ.π.π. αρκετά εύκολες στη διαχείριση και «εύπεπτες» στην κατανόηση. Έχουμε δηλαδή μία εύχρηστη προσέγγιση του προβλήματος προσδιορισμού των σ.π.π. των τμ που υπεισέρχονται σε μία έρευνα με τη βοήθεια της ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ και του ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Cv.

Έκφραση ορισμού του Cv:

         Cv=τυπική απόκλιση/Μέση τιμή    ήτοι

  Cv=σ/Εχ ή Cv=σ/μ αν πρόκειται για θεωρητική προσέγγιση και 

      

Αν πρόκειται για δειγματικό περιβάλλον.

                                                Θεσσαλονίκη 10.11.2014

Σημείωση: Ζητούμε την κατανόηση των συναδέλφων για την υπεραπλούστευση που βάλλει κατά της αυστηρότητας αλλά εδώ ο σκοπός είναι να καταλάβουν όλοι τα πάντα και να ενστερνιστούν το στόχο της εισαγωγής της Στατιστικής και των εφαρμογών της στο Εκπαιδευτικό γίγνεσθαι στη Μέση Εκπαίδευση.