Μαθηματικά και αρμονία

     ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ 

Το πρόβλημα  της  διαίρεσης ενός ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο είναι γνωστό σήμερα ως πρόβλημα της Χρυσής Τομής. Ο λόγος αυτός συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα  Φ προς τιμήν του Φειδία. Η χρυσή τομή είναι η πιο αρμονική διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος (L) σε δύο άνισα μέρη και για τον λόγο αυτόν έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και στη ζωγραφική, τόσο στην αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Τα δύο μέρη έχουν μια συγκεκριμένη μαθηματική αναλογία.

Για την ακρίβεια, ο λόγος του κοντύτερου τμήματος (b) προς το μεγαλύτερο (a) είναι ίσος με το λόγο του μεγαλύτερου τμήματος προς το μήκος όλου του ευθύγραμμου τμήματος: b/a = a/L.

 Αυτή η αναλογία είναι πολύ συχνή στη φύση και θεωρείται ιδανικό ομορφιάς και αρμονίας. Στα έργα τέχνης χρησιμοποιείται συχνά το χρυσό ορθογώνιο, η βάση του οποίου είναι η χρυσή τομή του ύψους του – αν το ύψος ισούται με 1, η βάση θα είναι 1,618…. Το πιο διάσημο παράδειγμα στο οποίο εφαρμόστηκε η χρυσή τομή είναι ο ανεπανάληπτος Παρθενώνας. Η πρόσοψή του εγγράφεται σε ένα χρυσό ορθογώνιο. Επίσης στο κτίριο του ΟΗΕ, στη Νέα Υόρκη,  συναντάμε χρυσά ορθογώνια. Ο Σαλβαδόρ Νταλί χρησιμοποίησε ρητά τη χρυσή αναλογία στο αριστούργημα του «Το Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου». Στην «Τζοκόντα» του Λεονάρντο ντα Βίντσι, η χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί στις γραμμές του προσώπου, στο κομμάτι που ξεκινά από τον λαιμό και φτάνει ως την αρχή των χεριών κι από το ντεκολτέ ως χαμηλά στα χέρια. Ο χρυσός αριθμός φ κάνει την εμφάνιση του και στο θέατρο της Επιδαύρου μιας και η αναλογία σειρών των δύο διαζωμάτων 21/34=0,618=φ αλλά και η αναλογία του κάτω διαζώματος προς το σύνολο των σειρών  34/55=0,618=φ. Στην ανατομία συναντάμε τη χρυσή τομή στη σχέση μεταξύ του ύψους του σώματος και της απόστασης του αφαλού του από το έδαφος. Ακόμα και πολλές κάρτες ευρείας χρήσης (πιστωτικές κ.λπ.) είναι σε σχήμα χρυσού ορθογωνίου.

Ο μαθηματικός τύπος της χρυσής τομής είναι ο εξής: Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο.

(α+β)/α = α/β= φ  άρα    α=φ β  και αντικαθιστώντας στο κλάσμα το α θα προκύψει  η  δευτεροβάθμια  εξίσωση  φ²=φ+1   δηλαδή  φ²-φ-1=0  που  έχει  θετική ρίζα   φ= (1+√5)/2 =1,618033988…….