Τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας στην Αφηρημένη Άλγεβρα

 Κείμενο του μαθηματικού Γιώργου Μπαντέ

Με τη στοιχειώδη θεωρία  των σωμάτων της αφηρημένης Άλγεβρας,  μπορούμε να καταλάβουμε γιατί δεν μπόρεσαν οι Έλληνες να λύσουν τα περίφημα τρία προβλήματα, αυτά της τριχοτόμησης της γωνίας, του διπλασιασμού του κύβου, και του τετραγωνισμού του κύκλου, με τη χρήση  μόνο του κανόνα και διαβήτη . Η εννοιολογική απόσταση της γεωμετρίας του Ευκλείδη και της αφηρημένης άλγεβρας είναι τεράστια, πώς άραγε συνδέθηκαν; Είναι η κοινή αλγεβρική δομή μεταξύ των κατασκευάσιμων αριθμών με κανόνα και διαβήτη, και αυτής  του σώματος.

«…Η αφηρημένη άλγεβρα υπογράμμισε τη σπουδαιότητα της δομής έναντι του νοήματος και αναγνώρισε αυτό που έχει διατυπωθεί ως αρχή της μαθηματικής ελευθερίας. Η αρχή αυτή υπονοεί ότι η άλγεβρα ασχολείται με αυθαίρετα σύμβολα, άνευ νοήματος, οι μαθηματικοί κατασκευάζουν τους κανόνες χειρισμού τους και η ερμηνεία ακολουθεί μάλλον παρά προηγείται των αλγεβρικών χειρισμών». (Patricia R Allaire , Robert E. Bradley ‘Symbolical Algebra as a foundation of calculuς…..άρθρο στο βόρειο ιστολόγιο: η εμφάνιση της δομής)

Για παράδειγμα:  τι κοινό έχουν

το σύνολο των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές,

το σύνολο των ελεύθερων διανυσμάτων,

το σύνολο των πινάκων μχν μ ,ν εΝ,

το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού,

το σύνολο των μιγαδικών αριθμών κλπ.

Είναι όλα διανυσματικοί χώροι επί του σώματος των πραγματικών αριθμών, δηλαδή έχουν κοινή αξιωματική βάση. Όλα τα θεωρήματα λοιπόν  που αποδεικνύονται στους χώρους, ισχύουν για όλα τα παραπάνω σύνολα, αν ορίσουμε ανάλογα τις πράξεις.

Η γεωμετρία των Ελλήνων που τυποποιήθηκε από τον Ευκλείδη, βασίστηκε αρχικά στις έννοιες του σημείου της ευθείας και του κύκλου,  και για το λόγο αυτό, τα εργαλεία για τη μελέτη της γεωμετρίας ήταν ο κανόνας για την κατασκευή ευθειών και ο διαβήτης για την κατασκευή κύκλων. Ο κανόνας δεν ήταν βαθμονομημένος γιατί με αυτόν δεν μετρούσαν αποστάσεις αλλά χάραζαν ευθείες μεταξύ δύο σημείων. Αργότερα άρχισαν να μελετούν και σχήματα που δεν φτιάχνονταν μόνο με κανόνα και διαβήτη, αλλά τα τρία άλυτα προβλήματα που προανέφερα, τέθηκαν στο Ευκλείδειο ‘γένος’ των ‘Στοιχείων’.[1] Γιατί άραγε στο σύστημα αυτό μπορούσαμε να διχοτομήσουμε μια γωνία με όργανα τον κανόνα και το διαβήτη και όχι να την τριχοτομήσουμε; Ή γιατί μπορούσαμε να κατασκευάσουμε ένα τμήμα ίσο με α√2  (α δοθέν) κι όχι με α ; Η κατασκευή ήταν πράγματι δύσκολη ή αδύνατη;

Η απάντηση  θα δοθεί μέσα από τη θεωρία των επεκτάσεων των σωμάτων.

Στην αφηρημένη άλγεβρα μας χρειάζονται κάποιες έννοιες για τα τρία προβλήματα: η έννοια του σώματος, της επέκταση σώματος,  του βαθμού της επέκτασης του σώματος,  και του αλγεβρικού αριθμού.

Το σύνολο των ρητών Q είναι σώμα (πληρεί κάποια αξιώματα, έχει μια δομή) αν σε αυτό προσθέσουμε (επισυνάψουμε) τον αριθμό √2 και όλους τους αριθμούς που προκύπτουν από τις πράξεις του √2 με τους ρητούς, έχουμε την

επέκταση του Q, το Q(√2) που περιέχει αριθμούς της μορφής α+β√2 με α, β ρητούς.

Βαθμός της επέκτασης συμβολίζεται [Q(√2) :Q] είναι ο βαθμός του αναγώγου πολυωνύμου  επί του Q με ρίζα το √2, δηλαδή του χ²-2 (βαθμός δύο, ανάγωγο  επί του Q ).

Αλγεβρικός αριθμός

είναι  κάθε αριθμός που είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με συντελεστές στο Q, π.χ ο √2 είναι αλγεβρικός γιατί είναι ρίζα του χ²-2 , o   ως ρίζα του χ³-2, κλπ. Προφανώς οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι επέκταση των ρητών , κάθε ρητός είναι αλγεβρικός.

Κάθε μη αλγεβρικός αριθμός λέγεται υπερβατικός, π.χ ο e.

Οι αριθμοί και η γεωμετρία στους Έλληνες

Στους  Έλληνες  η αριθμητική και η γεωμετρία ήταν πάντα σε συνεργασία  γιατί θεωρούνταν δύο διαφορετικοί δρόμοι εξερεύνησης του ίδιου αριθμητικού συστήματος, έτσι οι γεωμετρικές κατασκευές για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων φαίνονταν πολύ φυσικές . Κάθε αριθμός όφειλε να έχει μια γεωμετρική κατασκευή.  Και για όσο οι γνωστοί αριθμοί ήταν οι ρητοί, η συνύπαρξη της αριθμητικής με τη γεωμετρία ήταν αρμονική. Μετά το σοκ της αποκάλυψης ότι το √2 δεν ήταν ρητός, και του γεγονότος  ότι είχε μια γεωμετρική ύπαρξη αν και δεν είχε αντίστοιχη αριθμητική[2], εδραιώθηκε η πεποίθηση για τη γεωμετρική κατασκευή των αριθμών. Οι αριθμοί ήταν κατασκευάσιμοι στη γεωμετρία του κανόνα και του διαβήτη, και αντίστροφα   μόνο οι αριθμοί που θα παρουσιάζονταν στα περιεχόμενα των  κατασκευών της γεωμετρίας του  κανόνα και του  διαβήτη,  θα μπορούσαν να υπάρχουν,    με την έννοια ότι κατασκευάζουμε γεωμετρικά τον αριθμό α εννοούμε ότι κατασκευάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα μήκους  . Στο πλαίσιο λοιπόν των τριών προβλημάτων μας, η πεποίθηση ήταν ότι οι αριθμοί που περιέχονταν σε αυτά, σαφώς υπάρχουν, θα πρέπει άρα να υπάρχει μια ανάλογη γεωμετρική κατασκευή. Είναι όμως όλοι οι αριθμοί κατασκευάσιμοι (με κανόνα και διαβήτη;)[3]

Γεωμετρική εικόνα των κατασκευών.

Στη γεωμετρία του κανόνα και του διαβήτη οι βασικές  κατασκευές που ορίζουν κατασκευάσιμα σημεία άρα και κατασκευάσιμους αριθμούς   είναι

1. παραδοχή δύο  τυχόντων σημείων Ο(0,0)  και Α(α,β) (με συντεταγμένες ρητούς αριθμούς, τα βασικά σημεία),

2. κατασκευή ευθείας δια δύο σημείων ή κύκλου εκ του κέντρου και της ακτίνας του,

3. κατασκευή ενός σημείου τομής από δύο ευθείες,

4. κατασκευή των σημείων τομής δύο κύκλων ή ευθείας και κύκλου.

Έτσι παράγονται όλα τα κατασκευάσιμα σημεία ενός προβλήματος αφού τα σχήματα που κατασκευάζονται με τον κανόνα και το διαβήτη είναι ευθείες και κύκλοι.

Ας δούμε ένα παράδειγμα γεωμετρικής  κατασκευής ενός αριθμού μέσω της παραπάνω διαδικασίας κατασκευάσιμων σημείων:

Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη η τετραγωνική ρίζα ενός τυχόντος θετικού ακεραίου χ.

Επειδή

θα κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα (χ+1)/2

και κάθετη πλευρά  (χ-1)/2

Έστω ΟΑ= (χ-1)/2   και ΟΒ=(χ+1)/2   Μ μέσο του ΟΒ  , C ο μεγάλος κύκλος ΟΑ  και  C΄ ο μικρός κύκλος ΜΟ, τότε ΡΒ=Ρ΄Β=χ. (οι ΡΒ  Ρ΄Β είναι εφαπτόμενες του μεγάλου κύκλου άρα το ΟΡΒ ορθογώνιο στο  Ρ κλπ…)

Εδώ ο κατασκευάσιμος αριθμός χ, που αντιστοιχεί στο τμήμα ΡΒ ορίστηκε από μια σειρά κατασκευάσιμων σημείων τα Α,Β Ρ,Ρ΄ τα οποία προέκυψαν με την παραπάνω διαδικασία των τεσσάρων δυνατοτήτων που παρέχουν ο κανόνας και ο διαβήτης. Παρόμοιες κατασκευές με κανόνα και διαβήτη μπορούμε να θυμηθούμε πολλές από το Λύκειο όπως:

Αν τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι κατασκευάσιμα τότε και το μέσον του είναι κατασκευάσιμο (ενώνω με τον κανόνα τις τομές των δύο κύκλων με κέντρα τα δύο σημεία και ακτίνα το μήκος του τμήματος) ή

Αν οι τρεις κορυφές παραλληλογράμμου στο επίπεδο είναι κατασκευάσιμες τότε και η τέταρτη είναι κατασκευάσιμη  κλπ.

 Αλγεβρική μεταφορά

Ο Αρχύτας (428 π.Χ. – 347 π.Χ.) γιος του Μνήσαρχου ή κατά τον Αριστόξενο του Εστιαίου,[1] ή του Μνασαγέτου ή του Μνασαγόρου,[2] ήταν επιφανής Πυθαγόρειος φιλόσοφος, καταγόμενος από τον Τάραντα της Μεγάλης Ελλάδας(Magna Graecia). Ανήκει στην δεύτερη γενιά Πυθαγορείων και υπήρξε όπως αναφέρει ο Κικέρων μαθητής του Φιλολάου του Κροτωνιάτη που ανήκει στην προηγούμενη γενιά Πυθαγορείων.

Εδώ θα δείξουμε ότι οι κατασκευάσιμοι αριθμοί αποτελούν σώμα.

Οι σχέσεις 2 και 3 ανάγονται σε ρητές πράξεις. Η τομή ευθείας και κύκλου ή δύο κύκλων ανάγονται στη λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης, δηλαδή στην εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας. Έτσι θεωρώντας ότι οι ακέραιοι είναι εύκολα κατασκευάσιμοι, είναι γνωστές από το Λύκειο οι κατασκευές με τις οποίες αποδεικνύουμε ότι:

Α. Κάθε ρητός είναι κατασκευάσιμος

Β. αν ο α >0 είναι κατασκευάσιμος τότε ομοίως είναι και ο √α (σχεδιάζουμε έναν κύκλο ακτίνας (α+1)/2 και κέντρου (( α+1)/2,0)  και από το σημείο Α(1,0) φέρω κάθετη  στον άξονα των χ που συναντάει τον κύκλο στο Β. το τμήμα ΑΒ είναι το √α).

Γ. αν α, β είναι κατασκευάσιμοι τότε ομοίως είναι και οι α±β, αβ, α/β  (β≠0) κατασκευάσιμοι , δηλαδή οι κατασκευάσιμοι αριθμοί με κανόνα και διαβήτη  είναι ένα σώμα (αυτές είναι οι συνθήκες), το οποίο περιέχει τους ρητούς, είναι  μια επέκταση των ρητών αφού περιέχει το √α.

Ένα παράδειγμα κατασκευάσιμου αριθμού είναι ο

.

 Θεώρημα 1

αν ένας πραγματικός  κ είναι κατασκευάσιμος τότε ο κ είναι αλγεβρικός επί του σώματος Q των ρητών και ο βαθμός της επέκτασης Q(κ)/Q  είναι μια δύναμη του 2. (απόδειξη στο: Εισαγωγή στη θεωρία Γκαλουά www. mpantes.gr)

Το θεώρημα αυτό είναι μια αναγκαία συνθήκη ύπαρξης ενός κατασκευάσιμου αριθμού κ και εφαρμόζοντάς το μπορούμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει γεωμετρική κατασκευή τριχοτόμησης τυχούσας γωνίας ή διπλασιασμού του κύβου ή τετραγωνισμού του κύκλου, με τη χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη.

  Τριχοτόμηση γωνίας

η πρώτη λύση ήταν από τον Ιππία με τη βοήθεια της τετραγωνίζουσας. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχει πάντα γεωμετρική κατασκευή για τη τριχοτόμηση της γωνίας θ με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη.

Το να γνωρίζουμε μια γωνία , είναι ισοδύναμο να γνωρίζουμε το συνημίτονο της γωνίας. Άρα για να τριχοτομήσουμε  τη γωνία 3θ  πρέπει να κατασκευάσουμε τη λύση της εξίσωσης συν3θ=4συν³θ-3συνθ.  (1)

Αν η γωνία 3θ =60⁰ οπότε συν3θ=1/2 η εξίσωση (1) γίνεται

8χ³-6χ-1=0  και το πολυώνυμο είναι ανάγωγο με μία πραγματική ρίζα α=συν20⁰ και με βαθμό επέκτασης  [Q(συν20⁰):Q]=3 επομένως το συν20⁰ δεν είναι κατασκευάσιμο, δηλαδή η γωνία 20^ο δεν είναι κατασκευάσιμη.  (θεώρημα 1).

Αν η γωνία 3θ=90⁰ η (1) γίνεται 4χ³-3χ=0 το οποίο δεν είναι ανάγωγο , και  άλλωστε  γνωρίζουμε  ότι  η γωνία 30^ο είναι κατασκευάσιμη.

   Διπλασιασμός κύβου.

Λύσεις έδωσαν οι Ιπποκράτης, Αρχύτας Μέναιχμος κ.α  Αν χ η ακμή του κύβου με διπλάσιο όγκο από τον κύβο με ακμή 1 τότε χ³=2.1³ δηλαδή χ=     Για να κατασκευάσω τμήμα μήκους θα πρέπει το σημείο (,0) να είναι κατασκευάσιμο.  Αλλά από το θεώρημα 1 φαίνεται αδύνατο αφού το είναι ρίζα του ανάγωγου  πολυωνύμου χ³ -2 και επομένως   . Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι δεν υπάρχει γεωμετρική κατασκευή με τη χρήση μόνο του κανόνα και του διαβήτη με την οποία από δοθέν τμήμα του επιπέδου να κατασκευάσουμε ένα δεύτερο έτσι ώστε ο κύβος με ακμή το δεύτερο τμήμα να έχει διπλάσιο όγκο από τον κύβο με ακμή το πρώτο τμήμα.

 Τετραγωνισμός του κύκλου.

Ο Ιάμβλιχος (250-325 μ.χ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισμό του κύκλου κατόρθωσαν :

O Αρχιμήδης  (267-212 π.χ) με τη βοήθεια της «Έλικας».

Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ) με την καμπύλη που ονομαζόταν «ιδίως τετραγωνίζουσα» αλλά και ο Απολλώνιος  και ο Κάρπος.

Το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν κύκλου ακτίνας 1. Δηλαδή εξετάζουμε αν ο αριθμός √π είναι κατασκευάσιμος. Όμως από ένα κλασσικό αποτέλεσμα που δείχτηκε από το F.Lindemann το 1882 γνωρίζουμε ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός επί του Q, δηλαδή δεν πληρεί κάποια πολυωνυμική εξίσωση με ρητούς συντελεστές, ( δεν είναι αλγεβρικός υπέρ του Q, θεώρημα 1). Άρα και ο √π είναι υπερβατικός , επομένως  δεν είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη. Δεν μπορούμε λοιπόν να τετραγωνίσουμε τον κύκλο μόνο με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη.

Πηγές:

«εισαγωγή στη θεωρία Γκαλουά» (www.mpantes.gr)

Η εμφάνιση της δομής, «βόρειο ιστολόγιο»

---

[1] Η λύση του Μέναιχμου στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου  χρησιμοποιούσε την παραβολή και την υπερβολή , οι οποίες δεν μπορούσαν να σχεδιαστούν με κανόνα και διαβήτη. [2] Ο √2 είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 1. [3] Εννοούμε πάντα με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη.