Τα μαθηματικά δεν είναι για λίγους

 

 Άρθρο του Στέλιου Μαρίνη

«Ταύτα δε (τα μαθηματικά), σύμπαντα ουχ ως ακριβείας εχόμενα δει διαπονείν τους πολλούς αλλά τινάς ολίγους».(Πλάτωνος Πολιτεία)

«Την γεωμετρικήν τέχνην εκμανθάνειν και ασκείν δημοσία, ωφελεί. Η μαθηματική όμως τέχνη αξιόποινος ούσα απαγορεύεται». (Θεοδοσιανός κώδικας).

«Τα μαθηματικά είναι για λίγους» (σύγχρονη ανοησία που έχει καλλιεργήσει η άρχουσα τάξη με τη συνδρομή αφελών εκπαιδευτικών).

Όπως ακριβώς η ικανότητα του ανθρώπου να περπατάει όρθιος δε δίνεται από τη φύση, η οποία πάντως του έχει δώσει τα εφόδια για να μπορεί να αποκτήσει την ικανότητα αυτή,

έτσι και η ικανότητα της σκέψης είναι αποτέλεσμα εκπαίδευσης, μέρος της οποίας παρέχεται οργανωμένα από τους εκπαιδευτικούς θεσμούς, ενώ η φύση έχει προικίσει τον άνθρωπο με τον εγκέφαλο χάρη στον οποίο μπορεί να αποκτήσει την ικανότητα της σκέψης. Το πόσο ικανός θα γίνει κάποιος στη σκέψη εξαρτάται από τα ερεθίσματα και τη συμβολή του περιβάλλοντος, της κοινωνίας, της οικογένειας, του σχολείου, της τύχης και άλλων παραγόντων, ενώ το πώς θα αξιοποιήσει αυτή του την ικανότητα εξαρτάται από μύριους παράγοντες, ένας από τους οποίους είναι η «ελεύθερή» του βούληση, με πολλά εισαγωγικά στη λέξη «ελεύθερη».

Η κυρίαρχη τάξη, σκόπιμα και κατευθυνόμενα, περιβάλλοντας με το μανδύα της επιστημονικότητας τις αντιδραστικές θεωρίες της περί των γενετικών παραγόντων της ευφυΐας, έχει καταφέρει να γίνει αυτή η άποψη ευρύτερα αποδεκτή.

Η πλήρης επιστημονική κατάρριψη των θεωριών αυτών ξεφεύγει από τις δυνατότητες και τις επιδιώξεις αυτού του άρθρου. Θα περιοριστούμε στις επισημάνσεις:

· Αν και διατίθενται υπέρογκα ποσά σε κατευθυνόμενες «έρευνες» που αποσκοπούν να αποδυναμώσουν την κοινωνιολογία μέσω των υποτιθέμενων ανακαλύψεων της βιολογίας που αποδίδουν σχεδόν όλη τη «μοίρα» του ανθρώπου στα γονίδια, η «επίσημη επιστήμη», υποχρεωμένη να λαμβάνει υπόψη της και τις τόσο εμπεριστατωμένα τεκμηριωμένες αντίθετες θεωρίες, έχει αναγκαστεί να υιοθετήσει τη μικτή θεωρία περί κάποιου βαθμού σημασίας των βιολογικών και κάποιου των περιβαλλοντικών παραγόντων που επιδρούν στην ανάπτυξη της ευφυΐας.

· Αν δεχτούμε αυτήν έστω τη συμβιβαστική άποψη, παρατηρούμε ότι είναι αδύνατο να προσδιοριστεί, έστω και προσεγγιστικά, ο βαθμός σημασίας καθενός από τους δύο παράγοντες, μιας και είναι αδύνατη η πειραματική απομόνωσή τους. Δυο παιδιά ποτέ δε μεγαλώνουν στο ίδιο ακριβώς περιβάλλον. Ακόμη και ως νεογέννητα, κάποιο από τα δύο βρίσκεται σε διαφορετική θέση στο θάλαμο νεογνών, δέχεται με διαφορετική γωνία το φως ή τον αέρα και στην ηλικία αυτή είναι αδύνατη η διερεύνηση των επιδράσεων αυτών στην ανάπτυξη, και μάλιστα όχι μόνο τη διανοητική.

· Εντέλει, όπου η επιστήμη δεν έχει κοινώς αποδεκτή απόλυτα τεκμηριωμένη θεωρία, η υιοθέτηση της μιας ή της άλλης άποψης είναι πολιτική πράξη.

· Τέλος, ακόμη κι να δεχτούμε ότι πράγματι κάποιοι γενετικοί παράγοντες διαφοροποιούν σε κάποιο βαθμό τη διανοητική ανάπτυξη των ανθρώπων, οφείλουμε να σχεδιάζουμε την εκπαίδευση όλων με στόχο την άμβλυνση αυτών των διαφορών.

Ειδικότερα για τα μαθηματικά

Όση αξία έχουν οι απόψεις για «φυσική» ικανότητα σκέψης γενικά, άλλη τόση έχουν ειδικότερα σε σχέση με την ικανότητα στα Μαθηματικά. Μάλιστα, καθώς η διδασκαλία των Μαθηματικών είναι, ή θα έπρεπε να είναι, μέσο για την καλλιέργεια της σκέψης, η αντίληψη για «ειδικές έμφυτες ικανότητες» έχει διπλή συνέπεια:

Αφενός προσανατολίζει όλη την εκπαιδευτική διαδικασία στην κατεύθυνση να γίνεται το μάθημα μόνο με τους τυχερούς μαθητές που «τους κόβει», αφετέρου η ύλη, το περιεχόμενο, τα βιβλία, οι διδακτικές μέθοδοι, τα αναλυτικά προγράμματα, όλα συμβάλλουν ώστε το μάθημα των Μαθηματικών, όχι μόνο να μη βελτιώνει την ικανότητα των παιδιών να σκέφτονται, αλλά να γίνεται εργαλείο για την αποβλάκωσή τους. Ένας μαθητής που υποχρεώνεται, χωρίς να καταλαβαίνει απολύτως τίποτε, να απομνημονεύει τύπους και κανόνες, και να προσπαθεί να ακολουθήσει διαδικασίες που φαντάζουν σαν μυστικιστικές τελετές, για να πετύχει κάποιο υποφερτό αποτέλεσμα πρέπει να αποδεχτεί ότι μάθηση είναι το να σπάζεις πέτρες που δε θα χρησιμεύσουν τίποτε, ποτέ και σε κανέναν.

Το αποτέλεσμα είναι να οξύνονται οι ανισότητες αφετηρίας των μαθητών, να γίνεται δηλαδή η διδασκαλία των Μαθηματικών εργαλείο μεγέθυνσης των ταξικών διαφορών.

Εξάλλου, η συσσωρευτικότητα του μαθήματος καθιστά πολύ δύσκολη υπόθεση την αναπλήρωση κενών σε γνώσεις, δεξιότητες και κυρίως στον τρόπο σκέψης. Πολλοί μαθητές πάσχουν από «μαθηματικοφοβία», που έχει αποτέλεσμα τη μείωση, αρχικά, της αυτοπεποίθησής τους και στη συνέχεια των επιδόσεών τους στα μαθηματικά, αφού ο φόβος τους παραλύει τη σκέψη. Οι φτωχές επιδόσεις, με τη σειρά τους, αυξάνουν το δέος και το φόβο των παιδιών για το μαθηματικό αντικείμενο δημιουργώντας ένα φαύλο κύκλο.

Αυτό σημαίνει ότι, αν δεν βοηθήσουμε τα παιδιά από πολύ μικρή ηλικία να κατανοήσουν τις θεμελιώδεις αρχικές μαθηματικές έννοιες του αριθμού, της απλής πρόσθεσης και αφαίρεσης και του μεγέθους, θα αντιμετωπίζουμε στα επόμενα χρόνια σταδιακά μαθητές με περισσότερο «ανίατες» αδυναμίες και η συντριπτική πλειονότητα των μαθητών αυτών θα προέρχονται από τα χαμηλότερα ταξικά στρώματα.

Είναι πάρα πολλές οι έρευνες που τεκμηριώνουν την υψηλή συσχέτιση ταξικής προέλευσης - ικανότητας στα μαθηματικά. Για παράδειγμα σε μελέτη του Πανεπιστημίου της Λευκωσίας για τους παράγοντες που επηρεάζουν τη μαθηματική επίδοση των μαθητών της Β’ Γυμνασίου αναφέρεται συμπερασματικά:

«Ανάμεσα στους διάφορους παράγοντες περισσότερη έμφαση έχει δοθεί από τη βιβλιογραφία στο κλίμα της τάξης, στις στάσεις και πεποιθήσεις του εκπαιδευτικού των Μαθηματικών σχετικά με τη διαδικασία μάθησης των Μαθηματικών και στη μεθοδολογία της διδασκαλίας του, στο μορφωτικό επίπεδο των γονιών, στις στάσεις των γονιών απέναντι στα Μαθηματικά και τέλος στις στάσεις των ίδιων των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά. Η παλινδρομική ανάλυση που πραγματοποιήθηκε, έδειξε ότι το μορφωτικό επίπεδο των γονιών διαδραματίζει τον πιο σημαντικό παράγοντα στον προκαθορισμό της επίδοσης των μαθητών στα Μαθηματικά ανάμεσα στους πέντε παράγοντες που εξετάστηκαν, ενώ ο εκπαιδευτικός των Μαθηματικών φάνηκε να ασκεί μια μη σημαντική επίδραση επάνω στην επίδοση των μαθητών. Επιπρόσθετα, η ανάλυση που πραγματοποιήθηκε έδειξε ότι η συσχέτιση ήταν μικρή αλλά θετική και στατιστικά σημαντική».

Οι βασικές γνώσεις ενός ανθρώπου αποκτώνται κατά τα πέντε πρώτα χρόνια της ζωής του. Όταν γεννηθεί το μωρό, διαθέτει ένα συγκεκριμένο αριθμό νευρικών κυττάρων, τα οποία όμως διαμορφώνονται με βάση τα εξωτερικά ερεθίσματα. Κάθε φορά που το παιδί δέχεται κατάλληλα ερεθίσματα, τα κύτταρα του εγκεφάλου του δημιουργούν μεταξύ τους συνδέσεις. Κάθε καινούρια γνώση δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια σύνδεση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερα νευρικά κύτταρα. Πρόσφατες νευροφυσιολογικές μελέτες έχουν μάλιστα αποδείξει ότι για κάθε ανθρώπινη λειτουργία υπάρχουν "παράθυρα μάθησης", δηλαδή συγκεκριμένες χρονικές περίοδοι κατά τις οποίες μαθαίνονται διάφορες λειτουργίες. Όταν αυτά τα χρονικά διαστήματα περάσουν και τα "παράθυρα μάθησης" κλείσουν, η ικανότητα της μάθησης περιορίζεται πολύ.

Από όσα αναφέραμε προκύπτει ότι η μαθηματική κοινότητα οφείλει να επιδιώξει τη ριζική βελτίωση της εκπαίδευσης των παιδιών στα μαθηματικά από το νηπιαγωγείο και βέβαια στο Δημοτικό. Η πείρα των μάχιμων εκπαιδευτικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με τη συνδρομή της έρευνας, της παιδαγωγικής και της ψυχολογίας πρέπει να διαμορφώσει προτάσεις για τον περιεχόμενο και τις μεθόδους διδασκαλίας των Μαθηματικών σε όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες. Ταυτόχρονα, επειδή δεν υπάρχει επιστήμη έξω από τις κοινωνικές συνθήκες, είναι καθήκον μας να απαιτήσουμε από την πολιτεία να λάβει αντισταθμιστικά μέτρα για να βοηθηθούν τα παιδιά των κατώτερων τάξεων να καλύψουν το έδαφος που κατά κανόνα τα χωρίζει από τα παιδιά μορφωμένων και εύπορων οικογενειών.

Το όποιο εκπαιδευτικό πρόγραμμα έχει στόχους και κατευθύνσεις που τις ορίζουν οι κοινωνικοί συσχετισμοί, άρα οι παρεμβάσεις είναι πράξεις πολιτικές που τις στηρίζουν συγκεκριμένες κοινωνικές δυνάμεις, αλλά η αποτελεσματικότητά του εξαρτάται από την επιστημονική γνώση που αξιοποιείται, από τους υλικούς παράγοντες που διατίθενται και από το ανθρώπινο δυναμικό που αναλαμβάνει την υλοποίησή του.

Ο τίτλος του άρθρου προτείνει τον κεντρικό πυρήνα της κατεύθυνσης. Πρέπει όμως να ελεγχθεί κατά πόσο είναι αφενός εφικτός, αφετέρου κοινωνικά αναγκαίος ή πιθανώς ανταγωνιστικός προς άλλους περισσότερους σημαντικούς στόχους. Ο εκτενής πρόλογος περί των δυνατοτήτων των ατόμων αποσκοπούσε στο να τεκμηριώσει το εφικτό του στόχου, εφόσον καταβληθεί συντονισμένη προσπάθεια όλης της κοινωνίας. Το ερώτημα που γεννιέται είναι αν με τις καλύτερες δυνατές συνθήκες μπορούμε να καλύψουμε όλο τον όγκο της σημερινής διδακτέας ύλης και να προετοιμάσουμε και τους μαθητές που θα ασχοληθούν με τα μαθηματικά σε ανώτερο επίπεδο.

Μια πρώτη απάντηση έχει δώσει ο Ηράκλειτος με το «πολυμαθίη νόον έχειν ου διδάσκει». Από την άλλη, αν οι μαθητές πράγματι κατακτήσουν τις βασικές έννοιες, τον τρόπο σκέψης που απαιτούν τα μαθηματικά, προσαρμοσμένο στις ιδιαιτερότητες καθενός, και εξοικειωθούν με τη μαθηματική γλώσσα, το άνοιγμα σε πλάτος δεν είναι πλέον δύσκολη υπόθεση. Πρέπει επομένως να ορίσουμε ποια είναι η χρήσιμη και κρίσιμη γνώση. Χρήσιμη με την έννοια της ανάγκης των ανθρώπων αφενός να μπορούν να εφαρμόζουν τις μαθηματικές τους γνώσεις για τα καθημερινά τους προβλήματα, αφετέρου για την ανάπτυξη κριτικού πνεύματος απαραίτητου για την κατανόηση της φύσης και της κοινωνίας μέσω και των άλλων μαθημάτων. Κρίσιμη με την έννοια της δημιουργίας της απαραίτητης υποδομής αφενός για την κατανόηση των εννοιών που έπονται, αφετέρου για το ταξίδι στις χώρες των μαθηματικών και των άλλων θετικών επιστημών όποιων θα προσανατολιστούν προς αυτή την κατεύθυνση.

Τέλος πρέπει να προσδιοριστεί η βασική διδακτική μέθοδος, δηλαδή τα στάδια προσέγγισης των διάφορων εννοιών, η διαδοχή τους και ο τρόπος άσκησης των μαθητών σ’ αυτές.

Γράφοντας το άρθρο αυτό, μπήκα στον πειρασμό να δώσω ένα περίγραμμα, κάτι σαν περίληψη αναλυτικού προγράμματος, αλλά θεώρησα αμετροέπεια να επιχειρήσει ένας άνθρωπος να ορίσει ποια είναι αυτή η γνώση κι αυτή η βασική διδακτική. Κάθε σημαντική ριζοσπαστική τομή είναι αποτέλεσμα συλλογικής σκέψης και δράσης και απαιτεί πολυετή έρευνα, βαθύ ουσιαστικό διάλογο, συνεργασία πολλών κλάδων και τη συνεκτική δύναμη ενός ιδεολογικού προσανατολισμού . Έτσι, προτίμησα να παρουσιάσω μερικές παρατηρήσεις γενικής φύσεως, με την ελπίδα να δώσουν αφορμή για ευρύτερο διάλογο μέσα από τις στήλες του περιοδικού.

· Διδάσκουμε πολλά. Υπάρχει ανάγκη να περιοριστεί δραστικά η διδακτέα ύλη. Αν και όλοι οι μάχιμοι εκπαιδευτικοί γνωρίζουν πολύ καλά πόσο δύσκολα βγαίνει μέρος μόνο της διδακτέας ύλης, όταν έρχεται η ώρα των αποφάσεων, θέλουμε όλα τα κεφάλαια να περιέχονται. Όταν όμως η ύλη είναι μεγαλύτερη από αυτή που μπορούν να «χωνέψουν» οι μαθητές, αυτό που μοιραία θα γίνει είναι να περιοριστούν χρήσιμα και γοητευτικά θέματα, όπως η Στατιστική για παράδειγμα, προς χάριν των θεμάτων που ο μαθητής «θα τα βρει μπροστά του» στις επόμενες τάξεις. Μια αρχή θα μπορούσε να είναι: Εμβάθυνση στις θεμελιώδεις έννοιες, ανάπτυξη σε πλάτος στις έννοιες που οι μαθητές έχουν περισσότερα κίνητρα να προσεγγίσουν.

· Τα μαθηματικά δεν αναπτύχθηκαν μέσω αποδείξεων, αλλά μέσω υποθέσεων. Το να γνωρίζει ο μαθητής «τι είναι» και «τι δεν είναι» απόδειξη είναι σημαντικός στόχος, χρήσιμος και για τη μαθηματική, αλλά και για τη συνολική του συγκρότηση. Αυτό δε σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να ανάγεται η απόδειξη σε πεμπτουσία των Μαθηματικών. Τα μαθηματικά δεν αναπτύχθηκαν ιστορικά τόσο από αποδείξεις, όσο από διαισθητικές υποθέσεις. Αυτή η επισήμανση έχει διπλή αξία: Αφενός υποδεικνύει το περιεχόμενο της ύλης η οποία δεν είναι απαραίτητο να περιέχει όλες τις αποδείξεις, αφετέρου αποτελεί στοιχείο διδακτικής με την εξής έννοια: Ο μαθητής που νιώθει ελεύθερος να διατυπώνει εικασίες, να γενικεύει, να «μαντεύει», με κατάλληλη καθοδήγηση ώστε αυτό να είναι αποτέλεσμα σκέψης και πραγματικού ενδιαφέροντος, αφενός αισθάνεται ότι συνδημιουργεί, αφετέρου δίνει ευκαιρίες σε όλη την τάξη να μάθουν να ελέγχουν πώς μια εικασία μπορεί, ακόμη κι αν είναι λαθεμένη, να γεννήσει γνώση. Αντίθετα, η αποθάρρυνση των μαθητών όταν γενικεύουν ψαλιδίζει μια από τις χρησιμότερες ικανότητες του ανθρώπου. Αν ο άνθρωπος δεν είχε αυτή την ικανότητα να γενικεύει, δε θα είχε μάθει ποτέ να μιλάει! Τα μικρά παιδιά γνωρίζουν να χρησιμοποιούν αιτιατικές, γενικές, να χρησιμοποιούν σε διάφορα πρόσωπα ένα ρήμα προτού πάνε στο σχολείο, ακριβώς χάρη στην ικανότητα αυτή του ανθρώπινου μυαλού. Εξάλλου όλη η φυσική αποτέλεσμα γενικεύσεων είναι!

· Μεγάλη σύγχυση δημιουργεί στους μαθητές, έστω κι αν δεν έχουν την ωριμότητα να εντοπίσουν τις αιτίες της, η εξαιρετικά ακατανόητη αυθαίρετη εναλλαγή αυστηρότητας και δογματισμού στην παρουσίαση των διάφορων εννοιών. Ας προσπαθήσουμε να φανταστούμε έναν άνθρωπο με ώριμο ανεπτυγμένο μυαλό που διδάσκεται τα μαθηματικά για πρώτη φορά με τον τρόπο με τον οποίο συνήθως διδάσκονται στα σχολεία. Του έχουμε αρχικά ζητήσει να αποδεχτεί την ύπαρξη του μηδενός σχεδόν ως προφανούς έννοιας, του έχουμε διδάξει τον πολλαπλασιασμό φυσικών αριθμών θεωρώντας τον ως μια συντομευμένη πρόσθεση αλλά «ξεχνάμε» αργότερα να εξηγήσουμε τη φύση του πολλαπλασιασμού δεκαδικών αρκούμενοι στην ομοιότητα ως προς τη μορφή και τη μέθοδο με την αντίστοιχη των φυσικών, τον έχουμε υποχρεώσει να αποδεχτεί περίπου σαν προφανές ότι πλην επί πλην κάνει συν, αλλά όταν παρατηρεί στη Γεωμετρία ότι ένα τρίγωνο φαίνεται ξεκάθαρα από το σχήμα ότι είναι ισοσκελές τον κοιτάζουμε απορριπτικά γιατί δεν αντιλαμβάνεται ότι «αυτό ειδικά» πρέπει να το αποδείξει. Γενικά η παρουσίαση σαν τάχα προφανών ορισμένων δυσκολότατων εννοιών και κανόνων είναι ενέργεια που σκοτώνει τη σκέψη και μετατρέπει τα μαθηματικά σε μυστικισμό.

· Είναι πολύ σημαντικό η ύλη να ακολουθεί, στο βαθμό που είναι δυνατό, την ιστορική πορεία των μαθηματικών εννοιών. Αυτή η πολύ διαδεδομένη άποψη αρκετών μεγάλων παιδαγωγών και ειδικών της διδακτικής των Μαθηματικών, έχει πολύ επιπόλαια εκφραστεί με τα, συχνά ανούσια ή δυσνόητα, ιστορικά σημειώματα των εγχειριδίων. Το νόημα είναι οι μαθητές, εφοδιασμένοι με τον πλούτο των νεότερων γνώσεων, να «ξαναζήσουν» σε περίληψη την περιπέτεια κάθε έννοιας μέχρι αυτή να αποκτήσει την πιο σύγχρονη μορφή της. Είναι λογικό έννοιες που δυσκόλεψαν τρομερά μεγάλους μαθηματικούς, ο λογισμός με σχετικούς αριθμούς για παράδειγμα, επειδή δεν είχαν ακόμη κατακτηθεί από τη συλλογική μαθηματική σκέψη να δυσκολεύουν και σήμερα τους μαθητές.

· Όση αξία έχει για την ίδια την επιστήμη των μαθηματικών η παραγωγική δομή της, άλλη τόση έχει για την παιδαγωγική των Μαθηματικών η ιστορία κάθε έννοιας. Μερικοί, ως αντίπαλο δέος στην παρουσίαση εννοιών και κανόνων σαν προφανώς αντιτάσσουν την αυστηρή φορμαλιστική απόδειξη. Μεταφέρουν έτσι στην παιδαγωγική τα πιο χονδροειδή, κατά τη δική τους άποψη, μαθηματικά λάθη. Γιατί π.χ. είναι λανθασμένη η απόδειξη ; Επειδή η αποδεικνυόμενη ιδιότητα έχει χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της παραγώγου του ημιτόνου, άρα έχουμε κάνει το κατ’ Αριστοτέλη λάθος της «λήψεως του αιτουμένου». Μια τέτοια απόδειξη θεωρείται, δικαίως, απολύτως εσφαλμένη. Δε θεωρείται όμως εσφαλμένη επιλογή να αξιοποιούνται ανακαλύψεις που ήρθαν εκατοντάδες χρόνια μετά την εισαγωγή μιας έννοιας προκειμένου να διδαχτεί αυτή ακριβώς η αρχική έννοια! Επομένως, όπως δε χρησιμοποιούμε επόμενες προτάσεις για να αποδείξουμε προηγούμενες, έτσι δεν είναι λογικό να χρησιμοποιούμε άκριτα μεταγενέστερες μαθηματικές κατακτήσεις για να διδάξουμε προηγούμενές τους.

· Πολύ βιαστικά μπαίνει στη ζωή των μαθητών ο μαθηματικός φορμαλισμός. Προτού να γίνει η χρήση των πράξεων της αριθμητικής κτήμα τους, προτού λύσουν κάμποσα απλά καθημερινά προβλήματα μόνο με πράξεις, τους μιλάμε για εξισώσεις. Οι μεταβλητές δεν προκύπτουν από καμιά αναγκαιότητα, αλλά εμφανίζονται ξαφνικά. Ξεχνάμε πόσο καθυστερημένα χρησιμοποιήθηκαν οι μεταβλητές για να εκφράσουν παραστάσεις, αν και από την αρχαιότητα χρησιμοποιούνταν γράμματα για να παραστήσουν π.χ. έναν άγνωστο αριθμό. Ξεχνάμε πόσοι αιώνες χωρίζουν τη σύλληψη της έννοιας του ορισμένου ολοκληρώματος και το διδάσκουμε πριν από το αόριστο. Γενικότερα έχει προτιμηθεί ο παραγωγικός τρόπος παρουσίασης της ύλης. Μα ο δρόμος αυτός, ακριβώς επειδή έρχεται σε αντίθεση με τον τρόπο που το ανθρώπινο μυαλό εξελίσσεται, παρουσιάζει στα παιδιά τα μαθηματικά σαν κάτι το υπερφυσικό και δε διευκολύνει την ανάπτυξη της σκέψης τους. Όπως τόνιζε ο Ανρί Λεμπέσκ: «Καμία ανακάλυψη δεν έγινε στα μαθηματικά, ούτε και σ' άλλον τομέα, με προσπάθειες της παραγωγικής λογικής. Όλες είναι απόρροιες της δημιουργικής φαντασίας που χτίζει κάτι που φαίνεται να είναι αλήθεια, οδηγούμενη άλλοτε από αναλογίες, άλλοτε από ένα αισθητικό ιδανικό, δίχως διόλου να στηρίζεται σε στέρεες λογικές βάσεις. Αφού πρώτα γίνει μια ανακάλυψη, εμφανίζεται κι η λογική για ν' ασκήσει έλεγχο. Η λογική αποφαίνεται τελικά αν η ανακάλυψη είναι πραγματική ή απατηλή. Ο ρόλος της κατά συνέπεια, μολονότι σημαντικός, είναι μόνο δευτερεύων». Αν αυτό ισχύει για τους μεγάλους μαθηματικούς, πόσο μπορούμε να το αγνοούμε όταν διδάσκουμε μικρούς μαθητές;

· Τα μαθηματικά είναι γέννημα της ανάγκης. Το πρώτο που χρειάζεται για να λύσουμε ένα πρόβλημα είναι να θέλουμε να το λύσουμε. Όσο η διδασκόμενη ύλη είναι πιο πολύ συνδεδεμένη με τη ζωή, με τα ενδιαφέροντα των παιδιών και με το παιχνίδι, που είναι εξάλλου ένα από τα κύρια ενδιαφέροντά τους, τόσο το μάθημα γίνεται πιο ελκυστικό. Με την ευκαιρία, μια από τις σημαντικότερες ανάγκες του ανθρώπου είναι να αντιλαμβάνεται το χώρο, τις θέσεις και τις διαστάσεις σ’ αυτόν. Λοιπόν, αν οι μαθητές μας έπαιρναν πολύ στα σοβαρά όσα τους διδάσκαμε, θα έπρεπε να αμφιβάλουν αν ζούμε σε πραγματικό κόσμο, αφού ο κόσμος που γνωρίζουν στη γεωμετρία του σχολείου έχει μόνο δύο διαστάσεις! Οφείλουμε επομένως να θέτουμε προτεραιότητα στο να διδάξουμε ό,τι οι μαθητές αντιλαμβάνονται ως αναγκαίο, να ανακαλύπτουμε πειστικά - όχι για μας, αλλά για τους μαθητές για τους μαθητές - επιχειρήματα για τη χρησιμότητα κάθε νέας γνώσης, να δομήσουμε το αναλυτικό πρόγραμμα έτσι που να ανταποκρίνεται αφενός στις δυνατότητες, αφετέρου στα ενδιαφέροντα κάθε ηλικίας.

Όλα όσα αναπτύχθηκαν στο άρθρο αυτό προϋποθέτουν μια αντίληψη για την εκπαίδευση στην τελείως αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν της αποδοτικής επένδυσης που είναι κυρίαρχη σήμερα. Μια τέτοια αντίληψη με τη σειρά της προϋποθέτει πολύ διαφορετικές κοινωνικές δομές από τις σημερινές. Γιατί, αυτό που παρουσιάσαμε δεν είναι παρά μια πρόταση στα πλαίσια ενός συνολικού οράματος για το σχολείο. Για ένα σχολείο που έχει σκοπό να προσφέρει μόρφωση σε όλους, σε μια κοινωνία όπου υπάρχει για όλους δουλειά και ευημερία