Η γοητεία των Μαθηματικών: 5 πανέμορφα μαθηματικά φαινόμενα

Τα fractals – μοτίβα που επαναλαμβάνονται σε μικρότερη κλίμακα – συναντώνται συχνά στη φύση, όπως σε χιονονιφάδες. 

Πηγή: Unsplash

Τα Μαθηματικά συναντώνται παντού στη φύση, ακόμα και εκεί που δεν το περιμένουμε. Μπορούν να εξηγήσουν τον τρόπο με τον οποίο οι γαλαξίες περιστρέφονται, ένα κοχύλι καμπυλώνει, τα μοτίβα επαναλαμβάνονται και τα ποτάμια ρέουν.
Μέχρι και τα υποκειμενικά συναισθήματα, όπως το τι θεωρούμε όμορφο, μπορούν να έχουν μαθηματικές εξηγήσεις.

“Δεν είναι μόνο τα Μαθηματικά όμορφα – η ομορφιά είναι επίσης μαθηματική”, αναφέρει ο Δρ. Thomas Britz, Λέκτορας της Σχολής Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου της Νέας Νότιας Ουαλίας. “Οι δύο έννοιες είναι στενά συνδεδεμένες”.

Ο Δρ. Britz ασχολείται με τη Συνδυαστική, έναν τομέα που επικεντρώνεται σε πολύπλοκες μετρήσεις και επιλύσεις γρίφων. Παρ’ όλο που η Συνδυαστική συμπεριλαμβάνεται στα καθαρά μαθηματικά, ο Δρ. Britz πάντα θεωρούσε ελκυστικές τις φιλοσοφικές συζητήσεις περί των μαθηματικών.
“Κατά την προσωπική μου άποψη, τα μαθηματικά είναι διασκέδαση. Τα αγαπούσα από μικρό παιδί.
“Μερικές φορές, η απόλαυση των μαθηματικών είναι στα θεμέλια, άλλες στα αποτελέσματα και άλλες στην εξήγηση των προβλημάτων. Άλλες πάλι, είναι η σκέψη που κάνει το μυαλό μας να δουλεύει με ωραίο τρόπο, τα συναισθήματα που νιώθουμε, ή απλώς εργαζόμαστε ασυναίσθητα – όπως όταν χανόμαστε στις σελίδες ενός ωραίου βιβλίου”.
Εδώ, ο Δρ. Britz μοιράζεται μερικές από τις αγαπημένες του σχέσεις μεταξύ των μαθηματικών και του κάλλους.

1. Συμμετρία – με μία πινελιά έκπληξης

Συμμετρία υπάρχει όπου κι αν κοιτάξουμε. Πηγή: Unsplash

Το 2018, ο Δρ. Britz έδωσε μία ομιλία TEDx σχετικά με τα Μαθηματικά των Συναισθημάτων, όπου χρησιμοποίησε πρόσφατες έρευνες πάνω στα μαθηματικά και στα ανθρώπινα συναισθήματα, ώστε να αποδείξει πώς η επιστήμη των μαθηματικών μπορεί να εξηγήσει συναισθήματα, όπως η αντίληψη της ομορφιάς.
“Ο εγκέφαλός μας μάς επιβραβεύει όταν αναγνωρίζουμε μοτίβα, είτε αυτό είναι να βλέπουμε μία συμμετρία, να οργανώνουμε μέρη ενός συνόλου ή να λύνουμε γρίφους”, τονίζει.
“Όταν εντοπίζουμε κάτι που παρεκκλίνει από το μοτίβο – όταν δηλαδή υπάρχει μία πινελιά έκπληξης – ο εγκέφαλός μας μάς επιβραβεύει ξανά. Νιώθουμε χαρά και ενθουσιασμό”.
Για παράδειγμα, οι άνθρωποι θεωρούν τα συμμετρικά πρόσωπα ως πρότυπα ομορφιάς. Παρ’ όλα αυτά, ένα χαρακτηριστικό που σπάει τη συμμετρία με έναν ανεπαίσθητο, ενδιαφέροντα ή μη αναμενόμενο τρόπο — όπως μία ελιά – συνυπολογίζεται στην ομορφιά.
“Η ίδια ιδέα συναντάται και στη μουσική”, αναφέρει ο Δρ. Britz. “Οι ήχοι που ακολουθούν ένα μοτίβο και μια συνέχεια, αλλά έχουν και κάτι το απροσδόκητο, διαθέτουν ξεχωριστή προσωπικότητα, γοητεία και βάθος”.
Πολλές μαθηματικές έννοιες δείχνουν μια παρόμοια αρμονία μεταξύ του μοτίβου και της έκπληξης, της κομψότητας και του χάους, της αλήθειας και του μυστηρίου.
“Ο συνυφασμός των μαθηματικών και του κάλλους είναι από μόνος του γοητευτικός στα μάτια μου”, λέει ο Δρ. Britz.

Κάθε φύλλο φτέρης αναπαράγεται σε μικρότερα κομμάτια. Το ίδιο μοτίβο συναντάται και στα φύλλα άλλων φυτών. Πηγή: Unsplash

2. Fractals: άπειρα και άυλα

Τα fractals (στα ελληνικά, μορφοκλάσματα ή μορφοκλασματικά σύνολα) είναι αυτοαναφερόμενα μοτίβα που επαναλαμβάνονται, ως έναν βαθμό, σε μικρότερες κλίμακες. Όσο πιο κοντά κοιτάζει κανείς, τόσο πιο πολλές επαναλήψεις θα δει – όπως τα φύλλα μίας φτέρης.
“Αυτά τα επαναλαμβανόμενα μοτίβα είναι παντού στη φύση”, αναφέρει ο Δρ. Britz. “Σε χιονονιφάδες, δίκτυα ποταμών, λουλούδια, δέντρα, κεραυνούς – ακόμα και στα αιμοφόρα αγγεία”.
“Μπορούμε να εστιάζουμε συνεχώς όλο και περισσότερο σε ένα fractal, αλλά δεν θα φτάσουμε ποτέ στο τέλος του. Τα fractals είναι απείρως βαθιά, όπως επίσης είναι απείρως άυλα.
“Μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ολόκληρη σελίδα γεμάτη fractals, αλλά η συνολική επιφάνεια των γραμμών που θα τραβήξουμε θα παραμένει πάντα μηδέν, γιατί πρόκειται απλώς για ένα σύνολο άπειρων γραμμών”.

Το Σύνολο Μάντελμπροτ είναι πιθανόν το πιο διάσημο fractal δημιουργημένο από υπολογιστή. Η εστίαση σε μεγαλύτερο βάθος θα αποκαλύψει την ίδια ακριβώς εικόνα σε μικρότερη κλίμακα – ένας ιλιγγιώδης ατελείωτος βρόχος. Πηγή: Wikimedia Commons

3. π: μία άγνωστη αλήθεια

Το π είναι ένας αριθμός που διδάσκεται στη Γεωμετρία του Γυμνασίου. Με πολύ απλά λόγια, είναι ένας αριθμός λίγο μεγαλύτερος του 3.
Το π χρησιμοποιείται κυρίως όταν εργαζόμαστε με κύκλους, όπως στον υπολογισμό της περιφέρειας ενός κύκλου, δεδομένης μόνο της διαμέτρου του. Ο κανόνας λέει ότι, για κάθε κύκλο, η περίμετρος είναι σχεδόν 3,14 φορές η απόσταση κατά μήκος του κέντρου του κύκλου.
Ωστόσο, το π είναι πολύ περισσότερα από αυτό.
“Όταν κοιτάξουμε σε άλλες πτυχές της φύσης, ξαφνικά θα εντοπίσουμε παντού το π”, αναφέρει ο Δρ. Britz. “Όχι μόνο συνδέεται με κάθε κύκλο, αλλά το π εμφανίζεται σε τύπους που ουδεμία σχέση έχουν με κύκλους, όπως στις Πιθανότητες ή την Ανάλυση”.
Παρά το γεγονός ότι το π είναι ο πιο διάσημος αριθμός (η Παγκόσμια Ημέρα του Αριθμού π είναι στις 14 Μαρτίου, που συμβολίζεται 3. 14 σύμφωνα με το Αμερικανικό Σύστημα), υπάρχει πολύ μυστήριο γύρω του.
“Γνωρίζουμε πολλά πράγματα για το π, αλλά στην πραγματικότητα δεν γνωρίζουμε τίποτα για αυτό”, τονίζει ο Δρ. Britz.

Το π είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με τον ωκεανό και τους ήχους των κυμάτων μέσω της Σειράς Fourier. Πηγή: Unsplash

Το π είναι άπειρο και, εξ ορισμού, άγνωστο. Μέχρι σήμερα δεν έχει εντοπιστεί κανένα μοτίβο στα δεκαδικά του ψηφία. Είναι λογικό ότι οποιοσδήποτε συνδυασμός αριθμών, όπως ο αριθμός του τηλεφώνου σας ή η ημερομηνία των γενεθλίων σας, θα εμφανιστεί κάπου στο π (μπορείτε να το επαληθεύσετε αυτό χρησιμοποιώντας κάποιο online εργαλείο εύρεσης των πρώτων 200 εκατομμυρίων ψηφίων του).
Μέχρι σήμερα γνωρίζουμε 50 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, ένα ρεκόρ που έσπασε νωρίτερα φέτος. Ωστόσο, μιας και δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ακριβή τιμή του π, δεν θα μπορέσουμε ποτέ να υπολογίσουμε ακριβώς την περιφέρεια ενός κύκλου ή την επιφάνεια ενός κυκλικού δίσκου – παρόλο που μπορούμε να τις πλησιάσουμε αρκετά.
“Τι συμβαίνει εδώ;”, αναρωτιέται ο Δρ. Britz. “Τι είναι αυτός ο παράξενος αριθμός που με κάποιον τρόπο συνδέει όλους τους κύκλους του κόσμου;
“Υπάρχει μία υποκείμενη αλήθεια στο π, αλλά δεν την αντιλαμβανόμαστε. Αυτό το μυστήριο το κάνει όλο ακόμα πιο γοητευτικό”.

4. Μία χρυσή και αρχαία αναλογία

Η Χρυσή Τομή (συμβολίζεται “φ”) είναι ίσως το πιο δημοφιλές μαθηματικό θεώρημα του κάλλους. Θεωρείται ως ο πιο αισθητικά ευχάριστος τρόπος σχεδιασμού των αναλογιών ενός αντικειμένου.
Η αναλογία πλησιάζει, προσεγγιστικά, το 1.618. Όταν αναπαρίσταται γεωμετρικά, δημιουργεί το Χρυσό Ορθογώνιο ή τη Χρυσή Σπείρα.
“Σε όλη την ιστορία, η Χρυσή Τομή εθεωρείτο σημείο αναφοράς για την ιδανική μορφή, είτε στην αρχιτεκτονική, στην τέχνη ή στο ανθρώπινο σώμα. Ονομάστηκε ‘Θεία Αναλογία'”, σημειώνει ο Δρ. Britz.

Η Χρυσή Σπείρα χρησιμοποιείται συχνά στη φωτογραφία για να βοηθήσει τον φωτογράφο να πλαισιώσει την εικόνα με έναν αισθητικά ευχάριστο τρόπο. Πηγή: 123RF

“Πολλά διάσημα έργα τέχνης, όπως αυτών του Leonardo da Vinci, βασίζονται σε αυτή την αναλογία”.
Η Χρυσή Σπείρα χρησιμοποιείται πολύ συχνά σήμερα, ειδικά στην τέχνη, το σχέδιο και τη φωτογραφία. Το κέντρο της σπείρας βοηθά τους καλλιτέχνες να πλαισιώσουν τα σημεία εστίασης της εικόνας με αισθητικά ευχάριστους τρόπους.

5. Ένα παράδοξο που πλησιάζει τη μαγεία

Η άγνωστη φύση των Μαθηματικών μπορεί να μοιάζει πιο κοντά στη μαγεία απ’ ό,τι περιμέναμε.
Ένα διάσημο γεωμετρικό θεώρημα, που ονομάζεται Παράδοξο των Banach-Tarski, αναφέρει ότι αν έχουμε μία σφαίρα στον τρισδιάστατο χώρο και την διαμερίσουμε σε ένα πεπερασμένο σύνολο κομματιών, τότε υπάρχει τρόπος να ενώσουμε ξανά τα κομμάτια, ώστε να δημιουργήσουμε δύο νέες σφαίρες.
“Αυτό είναι ήδη ενδιαφέρον, αλλά η συνέχεια είναι ακόμα πιο περίεργη”, λέει ο Δρ. Britz.
“Οι δύο νέες σφαίρες που θα δημιουργηθούν, θα έχουν και οι δύο το ίδιο ακριβώς μέγεθος με την αρχική”.
Μαθηματικά μιλώντας, το θεώρημα αυτό πράγματι λειτουργεί – είναι όντως δυνατό να συναρμολογήσουμε τα κομμάτια ώστε να διπλασιάσουμε τη σφαίρα.

Πηγή: Unsplash

“Δεν μπορούμε να το κάνουμε αυτό στην πραγματική ζωή”, αναφέρει ο Δρ. Britz. “Ωστόσο, στα μαθηματικά μπορούμε! Είναι κάποιο είδος μαγείας!”.
Τα fractals, το Παράδοξο των Banach-Tarski και ο αριθμός π είναι μόνο μερικά από τις μαθηματικές έννοιες όπου ο Δρ. Britz αναζητά το κάλλος.
“Για να ανακαλύψουμε πολλά πανέμορφα κομμάτια των μαθηματικών, χρειαζόμαστε ένα μεγάλο υπόβαθρο γνώσεων”, τονίζει. “Θα χρειαστούμε πολλή – και συχνά πολύ βαρετή – προπόνηση. Είναι σαν να κάνουμε ένα εκατομμύριο πους απς πριν από έναν αγώνα.
“Αλλά αξίζει την προσπάθεια. Ελπίζω ότι περισσότεροι άνθρωποι θα ανακαλύψουν την διασκεδαστική πλευρά των μαθηματικών. Υπάρχει τόση ομορφιά που μας περιμένει…”.
Πηγή: phys.org