Γεωμετρία των Fractals… Γεωμετρία, όπως τρίγωνα, τετράγωνα, ευθύγραμμα τμήματα, ευθείες;
Χμ, δε θα το λέγαμε έτσι.
Fractals…μια λέξη παντελώς ανήκουστη στα αφτιά των ατόμων. Έχουμε μια “φράση” με άκρως αντίθετο βαθμό δημοτικότητας στο καθημερινό μας λεξιλόγιο· είναι δυνατόν; Κι όμως είναι! Και γιατί, λοιπόν, να ανοίξουμε μια εκτενή συζήτηση πάνω σε κάτι που δε γνωρίζει ένα μεγάλο μέρος του πληθυσμού; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι η εξής: γιατί η Γεωμετρία των Fractals είναι πραγματικά η Γεωμετρία της ζωής!
Ένα Fractal [1], του οποίου η ελληνική ονομασία είναι μορφόπλασμα ή μορφοπλασματικό σύνολο, θα λέγαμε διαισθητικά ότι είναι ένα γεωμετρικό σχήμα πολύπλοκης δομής, το οποίο χαρακτηρίζεται από αυτο-ομοιότητα (ομοιότητα ενός τμήματος με το όλον, ανεξάρτητα από την κλίμακα μεγέθους) και από υποδιαιρετότητα.
Φυσικά, αν και όχι αυστηρός, υπάρχει και ο μαθηματικός ορισμός του (για τους πιο μαθηματικόφιλους!), ο οποίος εμπεριέχει τις 2 παραπάνω ιδιότητες και επίσης υποστηρίζει πως πρέπει η κλασματική διάσταση ομοιότητας (από άλλους χρησιμοποιείται η διάσταση Hausdorff – Besicovitch) να είναι ίση ή μεγαλύτερη από την τοπολογική του διάσταση. Η κλασματική διάσταση ορίζεται ως εξής: D=logK/logM, όπου Κ: το πλήθος των ισοδύναμων μερών στα οποία διαιρείται και Μ: ο συντελεστής μεγέθυνσης.
Με μια ιστορική ματιά…
Ένα από τα βασικά προβλήματα τα οποία οδήγησαν στην ανακάλυψη και ανάπτυξη της μορφοπλασματικής γεωμετρίας αποτέλεσε το Παράδοξο των Ακτογραμμών (Φαινόμενο Richardson).Ο Άγγλος μαθηματικός Lewis Fry Richardson (1881-1953) ασχολήθηκε ενεργά με τη μελέτη της μέτρησης της συνοριακής γραμμής μεταξύ Ισπανίας και Πορτογαλίας, όπου από τους Ισπανούς μετρήθηκε 1214 χλμ, ενώ από τους Πορτογάλους 987 χλμ. Κι εδώ γεννιέται η απορία για το πώς έγινε αυτό. Συνέβη, κυρίως, εφόσον η μέτρησή της εξαρτάται από τα βήματα ή το μέτρο μέτρησης και βεβαίως λόγω των ιδιαιτεροτήτων που παρουσιάζει εξαιτίας της φρακταλικής μορφής του εδάφους. Επιπρόσθετα, το γενικό αυτό “παράδοξο” κέντρισε το ενδιαφέρον του γαλλοαμερικανού μαθηματικού Benoît Mandelbrot (1924-2010), o οποίος αποτελεί αδιαμφισβήτητα ο “πατέρας” της Fractal Γεωμετρίας, που στο άρθρο του με τίτλο “How long is the coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension” [1967] αναλύει και εξετάζει εκτενέστατα το πρόβλημα αυτό μέσω της εισαγωγής της Fractal διάστασης ως κυρίαρχο μέσο αιτιολόγησης.
Τώρα, έχοντας υπόψη όλα τα παραπάνω, ας δούμε κι ένα απλό αλλά αρκετά ενδιαφέρον παράδειγμα δημιουργίας ενός Fractal: To τρίγωνο του Sierpinski. Πώς κατασκευάζεται;
Αρχικά, ξεκινάμε έχοντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο και σημειώνουμε πάνω στα μέσα των πλευρών του.
Έπειτα, με κορυφές τα μέσα των πλευρών του δημιουργούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς το μισό της αρχικής πλευράς του αρχικού τριγώνου.
Στη συνέχεια, κάνουμε το ίδιο για κάθε τρίγωνο. H διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον. Τελικά, έχουμε το παρακάτω σχήμα.
Η κλίμακα ανά βήμα είναι 1/2 και κάθε φορά έχουμε 3 όμοια με το αρχικό τρίγωνα. Επομένως, η κλασματική διάσταση είναι D=log3/log2=1,584.
Υπάρχουν πολλά παρόμοια παραδείγματα κατασκευής απλών και πιο σύνθετων Fractals, αλλά ένα επίσης χαρακτηριστικό παράδειγμα Fractal αποτελεί η Καμπύλη του Koch, όπως βλέπουμε παρακάτω.
Τα Fractals στις μέρες μας, σε πρώτη βάση, αποτελούν αντικείμενο κεντρικής ή/και παράπλευρης μελέτης επιστημόνων της μαθηματικής κοινότητας (εξίσου Θεωρητικών και Εφαρμοσμένων), καθώς η μορφοπλασματική Γεωμετρία θεμελιώνεται από δύο βασικούς κλάδους των Μαθηματικών: την Τοπολογία και την Ανάλυση (οι 2 έννοιες στις οποίες στηρίζεται είναι η πληρότητα και η συμπάγεια μετρικών χώρων).
Εν συνεχεία, η Fractal Γεωμετρία αποτελεί μια προέκταση της Ευκλείδειας (Κλασσικής) Γεωμετρίας που όλοι γνωρίζουμε, καθώς το “καθήκον” της αποτελεί η πλήρης εξήγηση και ανάλυση πολύπλοκων γεωμετρικών σχημάτων, τα οποία καθιστούν αδύναμη και ανεπαρκή τη χρήση των “εργαλείων” της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Από την άλλη, βέβαια, θα είχε πραγματικό νόημα η ύπαρξη μιας τόσο περίπλοκης μαθηματικής έννοιας χωρίς ουσιαστική εφαρμογή της σε κάποια ανθρώπινη πτυχή ζωτικής αξίας;
Καθώς στη ρητορική αυτή ερώτηση η απάντηση είναι όχι, είναι αξιοσημείωτο να παρατηρηθεί ότι η φρακταλική γεωμετρία υπηρετεί έμμεσα την ανθρώπινη υγεία, ο ίδιος ο άνθρωπος είναι ουσιαστικά μια σύνθεση fractal σχημάτων! Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η δομή των πνευμόνων, στους οποίους το πνευμονικό δέντρο από μόνο του είναι ένα αυτούσιο fractal ως προς τη δομή και τη λειτουργία του. Επιπρόσθετα, η fractal δομή συναντάται και σε άλλα συστήματα, όργανα και ιστούς του ανθρώπινου σώματος, όπως το κυκλοφορικό σύστημα, ο εγκέφαλος και η καρδιά.
Ωστόσο, μιας και έχει γίνει παραπάνω μια πιο γενική συζήτηση πάνω στην εμφάνιση των μορφοπλασμάτων στον άνθρωπο, είναι επιτακτική η ανάγκη να προχωρήσουμε σε μια πιο ειδική εφαρμογή της φρακταλικής γεωμετρίας σε επίπεδο διάγνωσης και επίβλεψης του καρκίνου που ταλανίζει πλέον μια μεγάλη μερίδα ατόμων. Είναι γεγονός ότι τα κακοήθη νεοπλάσματα (καρκινώματα, σαρκώματα, λεμφώματα) μπορούν λόγω της δομής τους να διαγνωσθούν και να προβλεφθεί η μελλοντική τους κατάσταση σε κάποιο χρονικό διάστημα.
Μέσω, λοιπόν, σύγχρονων διαγνωστικών μηχανημάτων,όπως ηλεκτρονική μικροσκοπία, μπορεί να γίνει μια πρώτη παρατήρηση της δομής και λειτουργίας των κακοηθών όγκων.
Έπειτα, γίνεται εκτενής και συστηματική παρατήρηση της μεταβολής των φρακταλικών ιδιοτήτων των καρκινικών κυττάρων με την εμφάνιση ασθένειας. Έτσι, παρακολουθώντας την τρέχουσα κατάσταση των κυττάρων αυτών, υπολογίζεται σχετικά εύκολα η φρακταλική διάστασή τους (χρησιμοποιούνται βέβαια και αρκετές στατιστικές μέθοδοι), καθιστώντας την ανάλυση της φρακταλικής διάστασης των κυττάρων ένα συμπληρωματικό, εύκολο και γρήγορο στη χρήση διαγνωστικό εργαλείο, το οποίο προσδίδει ακρίβεια και αντικειμενικότητα στην ιατρική έρευνα, με τη βοήθεια ειδικών αλγορίθμων ανάλυσης εικόνας.
Συμπερασματικά, αν και δόθηκε μια “γεύση” για το τι πάει να πει Fractal Γεωμετρία, θα κλείσω αυτό το άρθρο με μια πιο πειστική απάντηση για το ερώτημα “γιατί τα Fractal είναι η ίδια μας η ζωή”.
Εκτός από μαθηματικούς και ειδικούς της υγείας, πολλοί άλλοι επιστήμονες, όπως φυσικοί, γεωλόγοι, αρχιτέκτονες, μηχανικοί και πολλοί άλλοι τη μελετούν με αρκετό ζήλο. Και αυτό γιατί; Γιατί η ίδια η Φύση που μας περιβάλλει αποτελείται από Fractals. Tα σύννεφα του ουρανού, τα φύλλα, τα δάση, τα λουλούδια, τα ποτάμια, τα βουνά, καθώς και οι γαλαξίες και άλλες διαστημικές οντότητες παρουσιάζουν τη δομή των Fractals, μέσα από τα οποία δεν αντιλαμβανόμαστε μονάχα τη μαγεία και την ομορφιά της φύσης και του πλανήτη που είναι το σπίτι μας, αλλά τελικά και την ομορφιά των μαθηματικών που περικλείουν, σαγηνεύοντας έστω στο ελάχιστο και τους πιο απομακρυσμένους από τα μαθηματικά ανθρώπους.
Αφού, λοιπόν, η ίδια μας η ανθρώπινη φύση αλλά και η Γη μας που μας φιλοξενεί περιβάλλονται από Fractals,θα μπορούσε εν τέλει η Γεωμετρία των Fractals να μετονομαστεί σε Γεωμετρίας της Ζωής!
Πηγές:
1.Falconer,K.(1997).Fractal Geometry:Mathematical Foundations and Applications.Great Britain,John Wiley and Sons Ltd.
2.Crilly,A.J,& Earnshaw,R.A.&Johes,H.(1991).Fractals and Chaos.New York,Springer-Velroy.
3.Cherbit,G.(1987).Fractals:Non-integral Dimensions and Applications.Great Britain,John Wiley and Sons Ltd.
4.Barnsley,M.F.(1988).Fractals everywhere.Cambridge,Academic Press,Inc.
5.Ευαγγελάτου-Δάλλα,Λ.(2000).Στοιχεία Fractal Γεωμετρίας.Αθήνα,Τμήμα Μαθηματικών,Πανεπιστημίο Αθηνών.
Διαδικτυακές πηγές
1.https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/44887
2.https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A6%CF%81%CE%AC%CE%BA%CF%84%CE%B1%CE%BB
[1] Ετυμολογία:fraction(μικρό κομμάτι,κλάσμα) και dimensional(αυτός που έχει διάσταση)[Mandelbrot 1970]
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου