Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

 Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (Στοιχεῖα) είναι μια μαθηματική πραγματεία που αποτελείται από 13 βιβλία γραμμένα από τον Ευκλείδη στην Αλεξάνδρεια περίπου το 300 π.Χ..

Περιλαμβάνει μια συλλογή ορισμών, αξιωμάτων και θεωρημάτων που ορίζουν τη μαθηματική επιστήμη από τότε. Τα περιεχόμενα καλύπτουν την ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά και την αρχαιοελληνική θεωρία των αριθμών, όπως και ένα αλγεβρικό σύστημα που έγινε γνωστό ως «γεωμετρική άλγεβρα» και το οποίο είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επιλύει πολλά αλγεβρικά προβλήματα, όπως αυτό της εύρεσης τετραγωνικών ριζών.

Η συνεισφορά του Εύδοξου

Από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αποφοίτησαν πολλοί ικανοί μαθηματικοί, και ένας αναντίρρητα σπουδαίος, ο Εύδοξος ο Κνίδιος.

Μεταξύ του Ιπποκράτη και του Ευκλείδη μεσολάβησε ενάμισης αιώνας. Στη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος, ο αρχαίος ελληνικός πολιτισμός αναπτυσσόταν και ωρίμαζε, ενώ εμπλουτιζόταν από τα γραπτά του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, του Αριστοφάνη και του Θουκυδίδη, ακόμη και όταν γνώρισε την αναταραχή του Πελοποννησιακού Πολέμου και τη δόξα της ελληνικής αυτοκρατορίας υπό τον Μέγα Αλέξανδρο.

Το 300 π.Χ. ο αρχαίος ελληνικός πολιτισμός είχε διαδοθεί στους λαούς της Μεσογείου και ακόμη πιο μακριά.
Στη Δύση η Ελλάδα ηγεμόνευε πέρα ως πέρα.
Κατά την περίοδο από το 440 έως το 300 π.Χ. πολλοί ήταν εκείνοι που συνεισέφεραν σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών.
Ανάμεσά τους ο Πλάτων (427 – 347 π.Χ.) και ο Εύδοξος (περ. 408 – 355 π.Χ.), παρότι μόνον ο δεύτερος ήταν στ’ αλήθεια μαθηματικός.

Ο Πλάτων ο σπουδαίος φιλόσοφος της Αθήνας, αξίζει να αναφερθεί εδώ όχι τόσο για τα μαθηματικά που δημιούργησε όσο για τον ενθουσιασμό που προκάλεσε το αντικείμενο και την υπόσταση που προσέδωσε σ’ αυτό. Ως νέος, ο Πλάτων σπούδασε στην Αθήνα δίπλα στον Σωκράτη, και φυσικά αποτελεί για εμάς την κύρια πηγή πληροφοριών σχετικά με τον διαπρεπή δάσκαλό του. Για κάποια χρόνια ο Πλάτων περιπλανήθηκε στον κόσμο, συναντώντας μεγάλους διανοητές και διατυπώνοντας τις προσωπικές φιλοσοφικές του θέσεις. Το 387 π.Χ. επέστρεψε στην πατρίδα του, την Αθήνα, και ίδρυσε την Ακαδημία. Αφιερωμένη στη μάθηση και τον στοχασμό, η Ακαδημία προσέλκυσε ταλαντούχους μαθητές από κοντινά και μακρινά μέρη και υπό την καθοδήγηση του Πλάτωνα έγινε το πνευματικό κέντρο του κλασικού κόσμου.

Από τα πολλά αντικείμενα που διδάσκονταν στην Ακαδημία, κανένα δεν έχαιρε μεγαλύτερης υπόληψης από τα μαθηματικά. Ασφαλώς το αντικείμενο έλκυε την αίσθηση του Πλάτωνα περί τάξης και ομορφιάς, και αναπαριστούσε έναν αφηρημένο, ιδανικό κόσμο, ακηλίδωτο από τις πληκτικές ανάγκες της καθημερινότητας. Επιπλέον, ο Πλάτων θεωρούσε τα μαθηματικά τέλεια εκγύμναση του νου, με τη λογική αυστηρότητα τους να απαιτεί τη μέγιστη συγκέντρωση, ευφυΐα και μέριμνα. Σύμφωνα με τον θρύλο, στο υπέρθυρο της εισόδου της αναγνωρισμένου κύρους Ακαδημίας του υπήρχε η επιγραφή “μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω μου τήν στέγην”. Παρά τον ρητά εκφραζόμενο σεξισμό, η φράση αυτή αντανακλούσε την άποψη ότι μόνον όσοι είχαν πρώτα επιδείξει κάποια μαθηματική ωριμότητα ήταν ικανοί να αντικρίσουν τη διανοητική πρόκληση της Ακαδημίας. Μπορούμε να πούμε ότι ο Πλάτων θεωρούσε τη γεωμετρία ιδανικό προαπαιτούμενο για εγγραφή, κάτι σαν τις σημερινές εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια.

Παρότι σήμερα ελάχιστα πρωτότυπα μαθηματικά αποδίδονται στον Πλάτωνα, από την Ακαδημία αποφοίτησαν πολλοί ικανοί μαθηματικοί, και ένας αναντίρρητα σπουδαίος, ο Εύδοξος ο Κνίδιος. Ο Εύδοξος έφτασε στην Αθήνα περίπου την εποχή της δημιουργίας της Ακαδημίας και παρακολούθησε τα μαθήματα του ίδιου του Πλάτωνα. Η ένδεια του Ευδόξου τον ανάγκαζε να ζει στον Πειραιά, στα περίχωρα της Αθήνας, και να πηγαινοέρχεται καθημερινά στην Ακαδημία. Αργότερα στη σταδιοδρομία του, ταξίδεψε στην Αίγυπτο και επέστρεψε στην πατρίδα του την Κνίδο, ενώ, καθ’ όλο το διάστημα που μεσολάβησε, αφομοίωνε τις ανακαλύψεις της επιστήμης και επέκτεινε σταθερά τα όριά της.
Με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την αστρονομία, ο Εύδοξος επινόησε πολύπλοκες εξηγήσεις των σεληνιακών και πλανητικών κινήσεων. Η επιρροή αυτών των εξηγήσεων διήρκησε μέχρι την κοπερνίκεια επανάσταση κατά τον 16ο αιώνα.
Δεν ήταν ποτέ διατεθειμένος να αποδεχθεί θεϊκές ή μυστικιστικές εξηγήσεις για τα φυσικά φαινόμενα· αντ’ αυτών προσπαθούσε πάντα να τα υποβάλει στην παρατήρηση και την ορθολογική ανάλυση.

Εύδοξος ο Κνίδιος

Στα μαθηματικά, ο Εύδοξος μνημονεύεται για δύο μείζονες συνεισφορές.
Η μια ήταν η θεωρία των αναλογιών και η άλλη η μέθοδος της εξάντλησης.
Η πρώτη αποτέλεσε μια νίκη της λογικής επί του αδιεξόδου που είχε προκαλέσει η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών από τους πυθαγόρειους. Το αδιέξοδο αυτό ήταν ιδιαίτερα εμφανές σε γεωμετρικά θεωρήματα σχετικά με όμοια τρίγωνα, θεωρήματα τα οποία αρχικά είχαν αποδειχθεί στη βάση της υπόθεσης ότι οποιαδήποτε δύο μεγέθη ήταν σύμμετρα. Όταν η υπόθεση αυτή καταρρίφθηκε, το ίδιο έπαθαν και οι υπάρχουσες αποδείξεις ορισμένων από τα πλέον εξέχοντα θεωρήματα της γεωμετρίας. Το αποτέλεσμα ονομάζεται ορισμένες φορές “λογικό σκάνδαλο” της αρχαίας ελληνικής γεωμετρίας. Δηλαδή, ενώ οι άνθρωποι συνέχιζαν να πιστεύουν ότι τα θεωρήματα ήταν σωστά όπως ήταν διατυπωμένα, δεν διέθεταν πλέον έγκυρες αποδείξεις που να στηρίζουν αυτή την πεποίθηση. Ο Εύδοξος ήταν εκείνος που ανέπτυξε μια έγκυρη θεωρία των αναλογιών και με αυτό τον τρόπο παρείχε τις επί μακρόν ζητούμενες αποδείξεις. Η θεωρία του, η οποία πρέπει να προκάλεσε ομαδικό αναστεναγμό ανακούφισης στον αρχαίο ελληνικό μαθηματικό κόσμο, βρίσκεται σήμερα πολύ εύκολα στο βιβλίο V των Στοιχείων του Ευκλείδη.

Η άλλη μείζων συνεισφορά του Εύδοξου, η μέθοδος της εξάντλησης, βρήκε άμεση εφαρμογή στον προσδιορισμό εμβαδών και όγκων πολυπλοκότερων γεωμετρικών σχημάτων. Η γενική στρατηγική ήταν η προσέγγιση ενός ακανόνιστου σχήματος με διαδοχικά, γνωστά στοιχειώδη σχήματα, καθένα από τα οποία παρείχε μια καλύτερη προσέγγιση απ’ ό,τι το προηγούμενο.

Το έργο αυτό άσκησε βαθιά επίδραση στη δυτική σκέψη, καθώς μελετούνταν, αναλυόταν και εκδιδόταν επί αιώνες μέχρι τους νεότερους χρόνους.
Για παράδειγμα, μπορούμε να θεωρήσουμε έναν κύκλο ως ένα απολύτως καμπυλόγραμμο, και άρα αρκετά μη πραγματεύσιμο, επίπεδο σχήμα. Όμως, αν εγγράψουμε στο εσωτερικό του ένα τετράγωνο και κατόπιν διπλασιάσουμε τον αριθμό των πλευρών του τετραγώνου ώστε να πάρουμε ένα οκτάγωνο, και κατόπιν διπλασιάσουμε εκ νέου τον αριθμό των πλευρών ώστε να προκύψει ένα 16γωνο κ.ο.κ., θα διαπιστώσουμε ότι αυτά τα σχετικά απλά πολύγωνα προσεγγίζουν ολοένα και περισσότερο τον ίδιο κύκλο. Με ευδόξειους όρους, τα πολύγωνα “εξαντλούν” τον κύκλο εκ των έσω.

Η διαδικασία αυτή είναι, στην πραγματικότητα, ακριβώς ο τρόπος με τον οποίο ο Αρχιμήδης προσδιόρισε το εμβαδόν του κύκλου.
Στον Εύδοξο χρωστούσε ο Αρχιμήδης αυτό το θεμελιώδες λογικό εργαλείο. Επιπρόσθετα, ο Αρχιμήδης απένειμε τα εύσημα στον Εύδοξο για την χρήση της μεθόδου της εξάντλησης στην απόδειξη ότι “ο όγκος κάθε κώνου είναι το ένα τρίτον του όγκου του κυλίνδρου που έχει την ίδια βάση με τον κώνο και ίσο ύψος”, θεώρημα που σε καμία περίπτωση δεν είναι τετριμμένο. Ο αναγνώστης που είναι εξοικειωμένος με ανώτερα μαθηματικά θα αναγνωρίσει στη μέθοδο της εξάντλησης τον γεωμετρικό πρόδρομο της σύγχρονης έννοιας του ορίου, η οποία με τη σειρά της βρίσκεται στον πυρήνα του απειροστικού λογισμού. Η συνεισφορά του Εύδοξου ήταν σημαντική, και ο ίδιος θεωρείται συνήθως ο καλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας δίπλα στον ανυπέρβλητο Αρχιμήδη.
Στη διάρκεια του τελευταίου τρίτου του 4ου αιώνα π.Χ. ο Μέγας Αλέξανδρος ξεκίνησε από τη Μακεδονία για να κατακτήσει τον κόσμο.
Οι κατακτήσεις του τον έφεραν στην Αίγυπτο όπου, το 332 π.Χ., ίδρυσε την πόλη της Αλεξάνδρειας στις εκβολές του Νείλου. Η πόλη μεγάλωνε γρήγορα και, σύμφωνα με αναφορές, στις επόμενες τρεις δεκαετίες ο πληθυσμός της άγγιξε το μισό εκατομμύριο.
Ιδιαίτερη σημασία είχε η ίδρυση της μεγάλης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, η οποία παραγκώνισε την Ακαδημία του Πλάτωνα ως το επιφανέστερο κέντρο μαθητείας στον κόσμο.
Σε κάποια χρονική στιγμή, η βιβλιοθήκη διέθετε περισσότερους από 600.000 κυλίνδρους από πάπυρο, συλλογή πιο πλήρη και εκπληκτική από οτιδήποτε είχε δει ο κόσμος μέχρι τότε.
Μάλιστα, η Αλεξάνδρεια θα παρέμενε η πνευματική εστία της Μεσογείου στη διάρκεια των αρχαίων ελληνικών και ρωμαϊκών χρόνων μέχρι την τελική καταστροφή της το 641 μ.Χ. από τους Άραβες.

Ευκλείδης

Ένας από τους λόγιους που προσέλκυσε η Αλεξάνδρεια περί το 300 π.Χ., ήταν ένας άνδρας ονόματι Ευκλείδης, ο οποίος βρέθηκε εκεί για να ιδρύσει μια σχολή μαθηματικών. Γνωρίζουμε ελάχιστα για τη ζωή του είτε πριν είτε μετά την άφιξή του στις βόρειες ακτές της Αφρικής, αλλά φαίνεται πως εκπαιδεύτηκε στην Ακαδημία από μαθητές του Πλάτωνα.
Όπως κι αν έχει, η επιρροή του Ευκλείδη υπήρξε τόσο βαθιά ώστε δυνητικά οι μεταγενέστεροι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί είχαν τη μια ή την άλλη σύνδεση με τη σχολή της Αλεξάνδρειας.
Αυτό που καθιέρωσε τον Ευκλείδη ως ένα από τα μεγαλύτερα ονόματα στην ιστορία των μαθηματικών ήταν η συγγραφή των Στοιχείων.
Το έργο αυτό άσκησε βαθιά επίδραση στη δυτική σκέψη, καθώς μελετούνταν, αναλυόταν και εκδιδόταν επί αιώνες μέχρι τους νεότερους χρόνους.
Έχει λεχθεί ότι από όλα τα βιβλία του δυτικού πολιτισμού μόνο η Βίβλος μελετήθηκε πιο εξονυχιστικά από τα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Τα ευρέως αποδεκτά Στοιχεία ήταν μια τεράστια συλλογή – συνολικά 13 βιβλίων – αποτελούμενη από 465 προτάσεις σχετικές με τη γεωμετρία του επιπέδου, τη γεωμετρία του χώρου και τη θεωρία αριθμών.
Σήμερα γενικώς πιστεύεται ότι σχετικά λίγα από τα θεωρήματα αυτά επινοήθηκαν από τον ίδιο τον Ευκλείδη. Ο τελευταίος συνέταξε, από το τότε γνωστό σώμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, μια υπέροχα οργανωμένη πραγματεία, τόσο πετυχημένη και αξιοσέβαστη ώστε εκμηδένισε εντελώς όλα τα προηγούμενα έργα αυτού του είδους.
Σύντομα το κείμενο του Ευκλείδη έγινε καθιερωμένο. Συνακόλουθα, η αναφορά ενός μαθηματικού στο I.47 μπορεί μόνο να σημαίνει την Πρόταση 47 του πρώτου βιβλίου των Στοιχείων.

Στο διάβα των αιώνων, εμφανίστηκαν περισσότερες από δύο χιλιάδες εκδόσεις των Στοιχείων, αριθμός που κάνει να σκάνε από τη ζήλια τους οι σημερινοί συγγραφείς μαθηματικών συγγραμμάτων.
Όπως αναφέραμε, το έργο ήταν ιδιαίτερα επιτυχημένο ακόμη και στην εποχή του.
Μετά την πτώση της Ρώμης, οι Άραβες λόγιοι το μετέφεραν στη Βαγδάτη, και όταν επανεμφανίστηκε στην Ευρώπη κατά την Αναγέννηση ο αντίκτυπός του ήταν μεγάλος.

Πρόκειται για την ηχώ του Ευκλείδη, είκοσι τρεις αιώνες μετά τον θάνατό του.
Το έργο μελετήθηκε από τους σπουδαίους Ιταλούς λογίους του 16ου αιώνα και, έναν αιώνα αργότερα, από έναν νεαρό φοιτητή του Καίμπριτζ ονόματι Ισαάκ Νεύτων.

Ο Αβραάμ Λίνκολν ήταν ο 16ος πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών Αμερικής.

Σε ένα απόσπασμα της βιογραφίας του Αβραάμ Λίνκολν από τον Καρλ Σάντμπεργκ, αναφέρεται πως ο Λίνκολν, ο οποίος σε μεγάλο βαθμό ήταν αυτοδίδακτος, προσπαθώντας ως νεαρός δικηγόρος να οξύνει τις ικανότητές του στην επιχειρηματολογία

… αγόρασε τα Στοιχεία του Ευκλείδη, ένα βιβλίο είκοσι τριών αιώνων… [Το βιβλίο] μπήκε στο σακίδιό του καθώς εκείνος έπαιρνε τον δρόμο του. Στη διάρκεια της νύχτας… διάβαζε τον Ευκλείδη υπό το φως ενός κεριού ενώ όλοι οι άλλοι είχαν αποκοιμηθεί.

Έχει συχνά επισημανθεί ότι ο λόγος του Λίνκολν επηρεάστηκε και εμπλουτίστηκε από τη μελέτη του Σαίξπηρ και της Βίβλου. Είναι ομοίως προφανές ότι πολλά από τα πολιτικά επιχειρήματά του απηχούν τη λογική ανάπτυξη μιας ευκλείδειας πρότασης.
Αλλά και ο Μπέρτραντ Ράσελ (1872 – 1970) είχε τις δικές του όμορφες αναμνήσεις από τα Στοιχεία. Στην αυτοβιογραφία του, γράφει την εξής αξιοσημείωτη ανάμνηση:

Στην ηλικία των έντεκα άρχισα να διαβάζω τον Ευκλείδη με τον αδερφό μου ως δάσκαλο. Αυτό ήταν ένα από τα σπουδαία γεγονότα της ζωής μου, εκθαμβωτικό όσο και ο πρώτος έρωτας.

Η μεγαλοφυΐα του Ευκλείδη δεν έγκειτο τόσο στη δημιουργία νέων μαθηματικών όσο στην παρουσίαση των παλαιών μαθηματικών με έναν απολύτως σαφή, οργανωμένο και λογικό τρόπο.
Δεν πρόκειται για μικρό επίτευγμα.
Είναι σημαντικό να αναγνωρίσουμε τα Στοιχεία ως κάτι περισσότερο από απλώς μαθηματικά θεωρήματα και τις αποδείξεις τους· σε τελική ανάλυση, οι μαθηματικοί πίσω στον χρόνο μέχρι τον Θαλή παρέχουν αποδείξεις προτάσεων. Ο Ευκλείδης μας έδωσε μια θαυμάσια αξιωματική ανάπτυξη του αντικειμένου του, και αυτή είναι μια κρίσιμη διάκριση.
Στην αρχή των Στοιχείων παραθέτει λίγα βασικά πράγματα: 23 ορισμούς, 5 αιτήματα και 5 κοινές έννοιες ή γενικά αξιώματα. Αυτά ήταν τα θεμέλια, τα “δεδομένα” του συστήματός του. Μπορούσε να τα χρησιμοποιήσει οποιαδήποτε στιγμή επιθυμούσε. Από αυτά τα βασικά στοιχεία, απέδειξε την πρώτη του πρόταση και, στη συνέχεια, κατάφερε να αναμείξει τους ορισμούς, τα αιτήματα, τις κοινές έννοιες και την πρώτη του πρόταση ώστε να αποδείξει τη δεύτερη πρόταση. Και συνέχισε με αυτόν τον τρόπο.

Συνακόλουθα, ο Ευκλείδης δεν έδωσε απλώς αποδείξεις· τις έδωσε εντός του αξιωματικού πλαισίου του. Τα πλεονεκτήματα μιας τέτοιας ανάπτυξης είναι σημαντικά. Αν μη τι άλλο, αποφεύγεται ο κυκλικός συλλογισμός.

Κάθε πρόταση έχει μια σαφή, μονοσήμαντη ακολουθία από προκείμενες που οδηγούν πίσω στα αρχικά αξιώματα.
Όσοι είναι εξοικειωμένοι με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές μπορούν να φτιάξουν ακόμη κι ένα λογικό διάγραμμα το οποίο να δείχνει επακριβώς ποια αποτελέσματα εισάγονται στην απόδειξη ενός δοθέντος θεωρήματος. Η προσέγγιση αυτή είναι μακράν ανώτερη από το να προσπαθούμε “στα τυφλά” να αποδείξουμε μια πρόταση, διότι σε μια τέτοια περίπτωση δεν είναι ποτέ σαφές ποια προηγούμενα αποτελέσματα μπορούν και ποια δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ο μεγάλος κίνδυνος όταν ξεκινάμε από τη μέση, ούτως ειπείν, είναι ότι για να αποδείξουμε το θεώρημα Α ίσως χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα Β το οποίο, με η σειρά του, ίσως προκύψει ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί αν δεν χρησιμοποιήσουμε το ίδιο το θεώρημα Α. Αυτό οδηγεί σε ένα κυκλικό επιχείρημα, το λογικό ισοδύναμο ενός φιδιού που τρώει την ουρά του· στα μαθηματικά είναι βέβαιο πως δεν οδηγεί σε κάτι καλό.
Όμως η αξιωματική προσέγγιση έχει και ένα άλλο όφελος.

Καθώς μπορούμε να επιλέξουμε τις προκείμενες κάθε πρότασης, έχουμε μια άμεση αίσθηση του τι θα συμβεί αν μεταβάλουμε ή εξαλείψουμε ένα από τα βασικά αιτήματά μας. Εάν, για παράδειγμα, έχουμε αποδείξει το θεώρημα Α χωρίς να κάνουμε χρήση είτε του αιτήματος Γ είτε οποιουδήποτε αποτελέσματος προηγουμένως αποδειγμένου μέσω του αιτήματος Γ, τότε είμαστε βέβαιοι ότι το θεώρημα Α παραμένει έγκυρο ακόμη και αν απορρίψουμε το αίτημα Γ. Παρότι αυτό ίσως μοιάζει κάπως αποκρυφιστικό, ακριβώς ένα τέτοιο ζήτημα προέκυψε αναφορικά με το αμφιλεγόμενο πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη και οδήγησε σε μια από τις πλέον μακροχρόνιες και βαθύτερες διαμάχες στην ιστορία των μαθηματικών.
Επομένως, η αξιωματική ανάπτυξη των Στοιχείων ήταν μείζονος σημασίας. Παρότι ο Ευκλείδης δεν τα κατάφερε εντελώς αψεγάδιαστα, το υψηλό επίπεδο λογικής επιτήδευσης και η προφανής επιτυχία του στην ύφανση των κομματιών των μαθηματικών του σε έναν συνεχή ιστό, από τις βασικές υποθέσεις μέχρι τα πλέον πολύπλοκα συμπεράσματα, χρησίμευσαν ως μοντέλο για όλο τα μαθηματικό έργο που ακολούθησε.
Μέχρι σήμερα, στα απόκρυφα πεδία της τοπολογίας ή της αφηρημένης άλγεβρας και της συναρτησιακής ανάλυσης, οι μαθηματικοί παρουσιάζουν πρώτα τα αξιώματά τους και κατόπιν προχωρούν, βήμα προς βήμα, στην οικοδόμηση των θαυμαστών θεωριών τους.
Πρόκειται για την ηχώ του Ευκλείδη, είκοσι τρεις αιώνες μετά τον θάνατό του.

Ο Ευκλείδης σε λεπτομέρεια από τη Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ,Έτος: 1509.

ΠΗΓΗ