Τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας στην Αφηρημένη Άλγεβρα

 Κείμενο του μαθηματικού Γιώργου Μπαντέ

Με τη στοιχειώδη θεωρία  των σωμάτων της αφηρημένης Άλγεβρας,  μπορούμε να καταλάβουμε γιατί δεν μπόρεσαν οι Έλληνες να λύσουν τα περίφημα τρία προβλήματα, αυτά της τριχοτόμησης της γωνίας, του διπλασιασμού του κύβου, και του τετραγωνισμού του κύκλου, με τη χρήση  μόνο του κανόνα και διαβήτη . Η εννοιολογική απόσταση της γεωμετρίας του Ευκλείδη και της αφηρημένης άλγεβρας είναι τεράστια, πώς άραγε συνδέθηκαν; Είναι η κοινή αλγεβρική δομή μεταξύ των κατασκευάσιμων αριθμών με κανόνα και διαβήτη, και αυτής  του σώματος.

«…Η αφηρημένη άλγεβρα υπογράμμισε τη σπουδαιότητα της δομής έναντι του νοήματος και αναγνώρισε αυτό που έχει διατυπωθεί ως αρχή της μαθηματικής ελευθερίας. Η αρχή αυτή υπονοεί ότι η άλγεβρα ασχολείται με αυθαίρετα σύμβολα, άνευ νοήματος, οι μαθηματικοί κατασκευάζουν τους κανόνες χειρισμού τους και η ερμηνεία ακολουθεί μάλλον παρά προηγείται των αλγεβρικών χειρισμών». (Patricia R Allaire , Robert E. Bradley ‘Symbolical Algebra as a foundation of calculuς…..άρθρο στο βόρειο ιστολόγιο: η εμφάνιση της δομής)

Για παράδειγμα:  τι κοινό έχουν

το σύνολο των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές,

το σύνολο των ελεύθερων διανυσμάτων,

το σύνολο των πινάκων μχν μ ,ν εΝ,

το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού,

το σύνολο των μιγαδικών αριθμών κλπ.

Τα παράδοξα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Κείμενο  του  Γιώργου Μπαντέ 

Πάπυρος της Οξυρρύγχου με το πιο παλιό διάγραμμα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Η γεωμετρία όπως είναι γνωστό ασχολείται με το χώρο, αφού καταστήσει σαφές τι είναι χώρος. Χώρος για τη γεωμετρία είναι ένα σύνολο σημείων και ευθειών. Έτσι αν ο  χώρος αναφέρεται στην επιφάνεια μιας σφαίρας, τα σημεία του χώρου μας είναι τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας και οι ευθείες του χώρου μας είναι οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας.

Ο επίπεδος χώρος των δύο διαστάσεων, δηλαδή το γνωστό μας επίπεδο, περιγράφεται πλήρως από τη γεωμετρία του Ευκλείδη, με σημεία και ευθεία τα γνωστά μας Ευκλείδεια σχήματα. Τα σχήματα αυτά συμπεριφέρονται με έναν ορισμένο τρόπο, όπως τα περιέγραψε ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του, τα οποία περιέχουν 23 Ορισμούς, 9 κοινές αρχές και 5 αξιώματα-αιτήματα, τα οποία αξιώματα δεν είναι τίποτα άλλο παρά υποθέσεις για τη συμπεριφορά των σημείων και των ευθειών του επιπέδου. Το να ρωτούμε λοιπόν αν τα αξιώματα του Ευκλείδη ισχύουν στο χώρο, ισοδυναμεί με το να ρωτούμε αν ο χώρος είναι Ευκλείδειος.

Η αξιωματική μέθοδος. Ευκλείδης και Χίλμπερτ

   …Ο κόσμος είναι σκοτεινός, όμως αρκεί να παρεμβάλουμε ένα κομμάτι Ελληνικής ζωής για να φωτιστεί αμέσως άπλετα… Νίτσε 

 Κείμενο του μαθηματικού Γιώργου Μπαντέ

 

Η σπουδαιότερη θεμελιωτική διαδικασία στα μαθηματικά και στην επιστήμη, ήταν η αξιωματική μέθοδος. Χωρίς αυτή δεν υπάρχουν επιστήμες.

Βέβαια μαθηματικά υπήρχαν και πριν τον Ευκλείδη, αλλά τα μαθηματικά μετά τον Ευκλείδη ήταν ε π ι σ τ ή μ η.

Ο συλλογισμός ξεκινάει τότε που οι Έλληνες ανακάλυψαν την αφαίρεση, τον παραγωγικό συλλογισμό [1] και τελικά τη μαθηματική απόδειξη, μια νέα μορφή αντίληψης και σκέψης, μετατρέποντας τον εμπειρικό λογισμό των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, σε αυτό που είναι γνωστό σήμερα ως Μαθηματική επιστήμη. Έκριναν δηλαδή ότι οι γεωμετρικές αλήθειες – ο πρώτος παραγωγικός συλλογισμός έγινε στο πεδίο της Γεωμετρίας  – έπρεπε να επαληθεύονται με λογική απόδειξη κι όχι μόνο με πειραματικές μεθόδους, (π.χ μετρήσεις), κι αυτό είναι το λεγόμενο Ελληνικό μυστήριο. Στο σημείο αυτό ξεκίνησε η μηχανή του Λόγου που έκτοτεδεν σταμάτησε ποτέ, κάποτε καθυστέρησε, και τελικά γέννησε την Επιστήμη, μέσα από την αξιωματική μέθοδο.

Η μαθηματική απόδειξη είναι η κορύφωση της μαθηματικής δημιουργίας, δεν προέκυψε από κάποιο είδος εμπειρίας, ούτε ερμηνεύεται μηχανικά με τη μέθοδο της δοκιμής και σφάλματος, ούτε από τη σύμπτωση. Η πνευματική της διαδικασία είναι απροσδιόριστη όπως στη μουσική ή στην ποίηση. Είναι ένα φλας που ανάβει στο μυαλό των πνευματικών δημιουργών, και ανήκει σε έναν άλλο άγνωστο κόσμο! Είναι εκείνη η περίεργη χαρά που νιώθαμε στο σχολείο όταν λύναμε μια άσκηση γεωμετρίας. Όλοι γνωρίσαμε – βιώσαμετην αύρα της επιβεβαίωσης της ορθότητας της μαθηματικής απόδειξης και δεν χρειάζεται να πούμε τίποτα άλλο. Η αύρα αυτή είναι η απάντηση σε κάθε θεμελιωτικό πρόγραμμα της φιλοσοφίας για τα μαθηματικά.

Μαθήματα προετοιμασίας για τους Μαθηματικούς Διαγωνισμούς «Θαλής» και «Υπατία» 2016

Το παράρτημα Ημαθίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, διοργανώνει μαθήματα προετοιμασίας των μαθητών Α΄ Γυμνασίου για τον διαγωνισμό «Υπατία» και Β΄ Γυμνασίου έως Γ΄ Λυκείου για τον διαγωνισμό «Θαλής».

Οι διαγωνισμοί θα διεξαχθούν το Σάββατο 12 Νοεμβρίου 2016 σε εξεταστικά κέντρα που θα οριστούν με απόφαση της Δ/νσης Δ/θμιας Εκπ/σης Ημαθίας.

Τα μαθήματα προετοιμασίας θα πραγματοποιηθούν:

Ο πίνακας της προπαίδειας ή πίνακας του Πυθαγόρα

Ο πίνακας του Πυθαγόρα 

• Δεν περιέχει περιττές πληροφορίες.

Τρεις διαφορετικοί τρόποι να κάνουμε πολλαπλασιασμούς

Μεταπτυχιακό πρόγραμμα στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά