Οικογένεια και παιδιά

  Σε μια πολύτεκνη οικογένεια κάθε αγόρι έχει τόσες αδερφές όσους και αδερφούς.

Κάθε κορίτσι έχει όμως διπλάσιο πλήθος αδερφών (αγοριών) από ότι αδερφές (κορίτσια!). 

Πόσα παιδιά έχει η οικογένεια ;

Ποιος είναι ο τυχερός;

Μια κοπέλα πάει σε μια χαρτορίχτρα: - Αγαπώ δύο άνδρες . Πες μου ποιος από τους δύο θα είναι ο τυχερός; Αυτή , ρίχνει τα χαρτιά, στη συνέχεια, τα κοιτάζει προσεκτικά και της λέει: - Τυχερός τελικά θα είναι ο Δημήτρης... Θα παντρευτείς τον Κώστα ...!!

Η γιαγιά

«Ήμουν πάντα 45 χρόνια μεγαλύτερα από τον πατέρα σου», είπε η γιαγιά στον Κωστάκη. 

«Αλλά θα σου πω τι περίεργο έχουν τώρα οι ηλικίες μας», συνέχισε. 

«Τα δύο ψηφία της ηλικίας μου, αν τα αντιστρέψεις είναι η  ηλικία του πατέρα σου». 

«Και μάλιστα, είναι και τα δύο πρώτοι αριθμοί»

Πόσων χρονών είναι η γιαγιά;

Μαθηματικά κόλπα

Τα θεωρήματα των ΖΟΓΚΛΕΡ

Διάσημοι επιστήμονες, όπως ο Ρίτσαρντ Φέινμαν και ο Κλοντ Σάνον, αλλά και άλλοι, λιγότερο γνωστοί, από τον χώρο των μαθηματικών και της φυσικής, όχι μόνο αρέσκονταν και αρέσκονται ακόμη στο να παίζουν κρατώντας στον αέρα όσο γίνεται περισσότερες μπάλες, κρίκους ή κορύνες, αλλά ασχολήθηκαν εντατικά και με το να βρουν εξισώσεις ή να διατυπώσουν σχετικά θεωρήματα. 


Στην Ελλάδα είναι ενασχόληση λίγων, αλλού όμως υπάρχουν ακόμη και προγράμματα στους υπολογιστές που την αναδεικνύουν αληθινή επιστήμη, ενώ Γερμανοί ερευνητές ανακάλυψαν ότι η απασχόληση αυτή βοηθάει πολύ στην ανάπτυξη του εγκεφάλου!

Την περασμένη χρονιά το μεγάλου κύρους περιοδικό «Nature» δημοσίευσε ένα άρθρο σχετικά με τον εγκέφαλο κάποιων εθελοντών που είχαν για λίγο μεταβληθεί σε... ζογκλέρ. Ερευνητές του Πανεπιστημίου του Ρέγκενσμπουργκ υπέβαλαν 24 άτομα σε μια πολύ λεπτομερή σάρωση και μέτρηση της συγκέντρωσης του εγκεφαλικού ιστού. Στη συνέχεια ζήτησαν τα μισά άτομα να αρχίσουν να εξασκούνται στην κλασική και πιο εύκολη φιγούρα των ζογκλέρ όπου τα δύο χέρια κατορθώνουν να διατηρούν τρεις μπάλες εναλλάξ στον αέρα. Έπειτα από τρεις μήνες, μετρώντας ξανά τον εγκεφαλικό ιστό, βρήκαν ότι σε όσους είχαν ασκηθεί ανελλιπώς η φαιά ουσία είχε αυξηθεί κατά 3% περίπου στις περιοχές που ήταν υπεύθυνες για την επεξεργασία των οπτικών ερεθισμάτων. Όταν μετά σταμάτησαν να εξασκούνται, ο εγκέφαλός τους γύρισε στις παλιές του διαστάσεις. Έτσι οι ερευνητές άρχισαν να σκέπτονται ότι τέτοιες δραστηριότητες όπως αυτές των ζογκλέρ αναγκάζουν τον εγκέφαλο να αναπτυχθεί για να αντιμετωπίσει τον φόρτο νέων δεδομένων που πρέπει να επεξεργαστεί όταν οι απαιτήσεις αυξάνονται τόσο δραματικά. Και αυτό ίσως ανοίγει την πόρτα για να βρεθεί απάντηση σε παλιά αινίγματα του ανθρώπινου οργανισμού όπως η δυσλεξία.

    Το Caltech, εκεί όπου δίδαξαν μερικοί από τους πιο μεγάλους φυσικούς, έχει τη δική του λέσχη ερασιτεχνών ζογκλέρ, όπου ποτέ δεν ξέρεις, εκτός από τους φοιτητές, ποιος καθηγητής θα σκάσει μύτη στις εβδομαδιαίες συναντήσεις για προπόνηση που γίνονται ανελλιπώς από το 1999. Υπάρχει μάλιστα και φωτογραφία του Ρίτσαρντ Φέινμαν από το 1950 καθώς αυτός, ο πιο διάσημος καθηγητής της σχολής, διασκεδάζει εκτελώντας ο ίδιος κάποιο ζογκλερικό νούμερο. Από το 1970 το MIT, ένα από τα πιο γνωστά πολυτεχνεία στον κόσμο, έχει τη δική του λέσχη και υπερηφανεύεται για τις επιδόσεις των μελών του. Ένας από αυτούς υπήρξε και ο Κλοντ Σάνον. Ο άνθρωπος που σκέφθηκε ότι το 0 και το 1 θα ήταν το λεξιλόγιο ενός επιτυχημένου υπολογιστικού μηχανήματος, η εργασία του οποίου για το Μάστερ θεωρείται η πιο σημαντική του 20ού αιώνα και ο ίδιος ένας από τους εξυπνότερους ανθρώπους που έζησαν ποτέ. Ένας αυτόπτης μάρτυρας διηγείται ότι κάποτε, όταν τον αναγνώρισαν καθώς παρακολουθούσε μια διάλεξη και τον ανάγκασαν να ανεβεί στο βήμα και να πει δυο λόγια, δεν παρέλειψε να διασκεδάσει το ακροατήριό του κάνοντας και κάποια ζογκλερικά. Το ενδιαφέρον του άλλωστε έχει απαθανατιστεί και από το Θεώρημα του Σάνον για τον Καταρράκτη, ένα από τα πιο κλασικά νούμερα της ζογκλερικής τέχνης. Διότι για όλους αυτούς τους επιστήμονες, ερευνητές, κατόχους διδακτορικών τίτλων, τις διασημότητες της ακαδημαϊκής κοινότητας, το να παιδεύεσαι να κρατήσεις στον αέρα, με μια θαυμαστή σύμπνοια εγκεφάλου, ματιών, αφής και όρασης, όσο γίνεται περισσότερα αντικείμενα είναι μια δραστηριότητα απελευθερωτική, αξιομίμητη, προκλητικά ενδιαφέρουσα και καθόλου περιθωριακή. Για αυτούς φυσικά που δεν αφήνουν τη σοβαροφάνειά τους να νοθέψει την ουσία μιας πανάρχαιας δραστηριότητας. Εμείς εδώ στην Ελλάδα είναι αλήθεια ότι δεν το έχουμε δει έτσι το θέμα...

Εκατόν πενήντα τάφοι έχουν βρεθεί σε μια τοποθεσία της Αιγύπτου που ονομάζεται Μπενί Χασάν και χρονολογούνται περίπου στο μέσον της περιόδου 1994 ως 1781 π.X. Ενας από αυτούς ανήκει σε κάποιον άγνωστο πρίγκιπα και αυτοί που έμειναν πίσω φρόντισαν να στολίσουν την τελευταία κατοικία του με τοιχογραφίες γεμάτες ευχάριστες εικόνες της καθημερινής ζωής. Μία από αυτές λοιπόν φαίνεται ότι ήταν και τα παιχνίδια με τις μπάλες στα επιδέξια χέρια των νεαρών γυναικών και είναι φανερό ότι μερικά από τα κλασικά σημερινά κόλπα των ζογκλέρ ήταν γνωστά από τότε. Και ένα άλλο μεταγενέστερο αγγείο με την παράσταση μιας γυναίκας καθισμένης που «παίζει» με τρεις μπάλες αλλά και το αγαλματίδιο της εποχής των Πτολεμαίων (200 π.X.) από τις Θήβες της Αιγύπτου θυμίζουν την πανάρχαια καταγωγή αυτής της συνήθειας. Μπάλες από δέρμα με σπόρους μέσα ή από έντεχνα πλεγμένα φύλλα, μαχαίρια και δάδες ήταν τα σύνεργα των ζογκλέρ ανά τους αιώνες. H πρώτη επιστημονική μελέτη γύρω από το θέμα εμφανίζεται μόλις το 1903, όταν μελετήθηκαν οι δυσκολίες να ρίχνεις και να πιάνεις εναλλάξ δύο μπάλες με το ένα χέρι. Το 1970 χάρη στον Σάνον έπαψαν οι ασκήσεις των ζογκλέρ να είναι μονοπώλιο των ανθρώπων του τσίρκου και των ηθοποιών του δρόμου. Από τότε έχουμε και το Θεώρημα του Σάνον, που δίνεται συνοπτικά από την ισότητα: (F+D)Η = (V+D)Ν, όπου F είναι ο χρόνος παραμονής μιας μπάλας στον αέρα, D ο χρόνος που μια μπάλα μένει στο χέρι, V είναι ο χρόνος ενόσω το χέρι δεν κρατά κάποια μπάλα, το N δείχνει το πόσες μπάλες παίζουμε και το H πόσα χέρια χρησιμοποιούμε. Από το θεώρημα φαίνεται και το αυτονόητο ότι παίζοντας με περισσότερες μπάλες τα χέρια μας θα είναι περισσότερο χρόνο απασχολημένα.

  Όχι μόνο κατασκευάστηκαν στο MIT και αλλού διάφορα ρομπότ που μπορούν να παίζουν ακόμη και με πέντε μπάλες αλλά έγινε προσπάθεια να ερευνηθούν με μαθηματικές μεθόδους θέματα σχετικά με την τέχνη του να κρατάς στον αέρα περισσότερα αντικείμενα από όσα είναι τα χέρια σου. Μάλιστα το 1995 εμφανίστηκε άρθρο στο περιοδικό «Scientific American» όπου γινόταν λόγος και για τον τρόπο επιστημονικής καταγραφής των συνδυασμών που επινοεί ένας ζογκλέρ. Σήμερα έχουμε καταλήξει σε μια αριθμητική καταγραφή τόσο αποτελεσματική ώστε με κατάλληλα προγράμματα ο υπολογιστής «επινοεί» συνδυασμούς που μπορούμε στη συνέχεια να δοκιμάσουμε με τα χέρια μας και επίσης είναι εύκολο να ξέρουμε ποια κόλπα είναι αδύνατον να γίνουν!
                             5 4 3 ή 5 5 5 0 0 ή μήπως 4 4 4 4;..

Ενας αριθμός στο σύστημα καταγραφής δείχνει το σχετικό ύψος στο οποίο φθάνει μια μπάλα προτού καταλήξει πάλι σε κάποιο χέρι. Ταυτόχρονα σε αυτό το ύψος αντιστοιχούν και κάποιες μονάδες χρόνου που χρειάζονται για την αντίστοιχη πτήση. Εχει συμφωνηθεί πως οι ζυγοί αριθμοί θα δείχνουν ότι η μπάλα επιστρέφει στο ίδιο χέρι από το οποίο ξεκίνησε ενώ οι μονοί αριθμοί δείχνουν ότι κατέληξε στο άλλο χέρι. Ο αριθμός μηδέν δείχνει ότι έχουμε κάποια στιγμή που το αντίστοιχο χέρι είναι άδειο ενώ το 1 δείχνει ότι απλά περάσαμε γρήγορα μια μπάλα οριζόντια από το ένα χέρι στο άλλο. Δεν χρειάζεται να σημειώνουμε από ποιο χέρι αρχίζουμε, άλλωστε δεν έχει σημασία, αρκεί να θυμόμαστε ότι οι αριθμοί αναφέρονται πάντα εναλλάξ στο δεξί και στο αριστερό. Με λίγη εξάσκηση φθάνεις να βλέπεις πολύ μακριά.

Παράδειγμα 1: 3 3 3 3 3 3 3 3 3...

Το πρώτο τριάρι σημαίνει ότι εκτοξεύεται μια μπάλα από το ένα χέρι προς το άλλο αφού το 3 είναι μονός και φθάνει εκεί μετά από τρία ίσα χρονικά διαστήματα. Το δεύτερο τριάρι αντιστοιχεί στο άλλο χέρι. Το τρίτο τριάρι δείχνει ότι άλλη μια μπάλα που κρατούσαμε στο πρώτο χέρι έφυγε για το άλλο. Τελικά η σειρά από τα τριάρια δείχνει στον μυημένο τον λεγόμενο καταρράκτη, το πιο απλό από τα κόλπα των ζογκλέρ.

Παράδειγμα 2: 4 4 4 4 4 4 4 4...

Εδώ έχουμε δύο μπάλες που κρατούμε από μία στο κάθε χέρι και τις εκσφενδονίζουμε προς τα επάνω εναλλάξ και τις πιάνουμε με το ίδιο χέρι, αφού ο 4 είναι ζυγός αριθμός.

Γενικά υπάρχει ένας ακόμη κανόνας που λέει ότι για να βρεις πόσες μπάλες χρειάζεσαι για ένα κόλπο αθροίζεις τους αριθμούς και διαιρείς με το πλήθος τους. Αν το αποτέλεσμα δεν δίνει ακέραιο αριθμό, το κόλπο δεν γίνεται. Και αν όμως το αποτέλεσμα δίνει ακέραιο, θέλει προσοχή.

Παράδειγμα 3: 5 4 3 5 4 3...

Εδώ 5+4+3=12 και 12: 3=4, ακέραιος, άρα με 4 μπάλες πραγματοποιείται;

Εεεπ, εδώ υπάρχει πρόβλημα διότι, αν αναλυθούν οι χρόνοι, θα δούμε ότι λόγω του 5 και του 4 θα καταλήξουν δύο μπάλες στο ίδιο χέρι την ίδια στιγμή, πράγμα που απαγορεύεται.

Βρείτε τρεις μικρές μπάλες με το κατάλληλο βάρος και ξεκινήστε. Στην αρχή η προσπάθεια είναι βασανιστική αλλά οδηγεί σε μια θαυμαστή συνεργασία αισθήσεων και εγκεφάλου που λειτουργεί απελευθερωτικά...

Θωμάς ο φούρναρης

Ο φούρναρης Θωμάς, έκλεισε επιτέλους το φούρνο του και πριν πάει για ύπνο, κοιτάζει με τρυφερότητα το ταμείο του. Μετράει και βλέπει ότι έχει 830 ευρώ σε 30 χαρτονομίσματα των 10, 20 και 50 ευρώ. Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των χαρτονομισμάτων κάθε είδους (όχι κατ' ανάγκην έτσι όπως δίνονται, αλλά τυχαία) είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Πόσα νομίσματα των 50 ευρώ είχε ο Θωμάς στο ταμείο του;

Γνωρίζετε ότι...{Ζώα και ανώτερα μαθηματικά}

Αν τα ποτάμια και οι αράχνες εντυπωσιάζουν όσους ασχολούνται με τη γεωμετρία υπάρχουν άλλα ζώα, όπως οι πυγολαμπίδες και τα τζιτζίκια που μας εισάγουν στα ανώτερα μαθηματικά.
 

Εδώ και δεκάδες χρόνια βιολόγοι είχαν παρατηρήσει ότι οι αρσενικές πυγολαμπίδες στις όχθες ποταμών της Μαλαισίας και της Ταϊλάνδης κατάφερναν να συγχρονίσουν τις λάμψεις τους με εκπληκτική ακρίβεια. Για την εξήγηση του φαινομένου χρειάστηκε η παρέμβαση φυσικών και μαθηματικών, όπως ο Στίβεν Στρόγκατζ από το πανεπιστήμιο Κορνέλ.

 «Ουσιαστικά, έχουμε να κάνουμε με ένα πρόβλημα μαθηματικών και όχι βιολογίας» λεει χαρακτηριστικά ο ίδιος ο Στρόγκατζ, ο οποίος στήριξε τις έρευνές του στη θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης που χρησιμοποιείται για την μελέτη συστημάτων που αλληλεπιδρούν μέσω συντονισμού. Η θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης πρωτοεμφανίστηκε το 17ο αιώνα, όταν μαθηματικοί της εποχής παρατήρησαν πως δυο ή περισσότερα εκκρεμή που βρίσκονταν στο ίδιο δωμάτιο, ύστερα από μεγάλα χρονικά διαστήματα, άρχιζαν να συγχρονίζονται, λόγω των δονήσεων που μετέδιδαν το ενα προς το άλλο μέσω του τοίχου!

Παρεμφερή φαινόμενα συντονισμού τα οποία δεν έχουν εξηγηθεί πλήρως παρατηρούνται αρκετές φορές και σε τζιτζίκια και άλλα ζώα που παράγουν ταυτόχρονα τους ίδιους ήχους.

Sudoko και Μαθηματικά

Όλοι λίγο πολύ γνωρίζετε το παιχνίδι Sudoku και ίσως να παίζεται και συχνά, λίγοι είναι όμως αυτοί που αγνοούν την καταγωγή του παιχνιδιού!

Όλα ξεκίνησαν 222 χρόνια πριν, όταν ο Ελβετός μαθηματικός Leonard Euler (οι μαθητές μπορεί να έχουν ακούσει και την ταυτότητα του Euler στην Α΄ Λυκείου) σε ηλικία 76 ετών δημιούργησε τα "μαγικά τετράγωνα" (carres magiques). Την ίδια χρονιά που "γεννήθηκε" η πρώτη μορφή του σημερινού παιχνιδιού Σουντόκου, ο Ελβετός μαθηματικός πεθαίνει και το παιχνίδι παραμένει στην αφάνεια για δυο περίπου αιώνες. Το 1979, ο εκδοτικός οίκος Dell επαναφέρει το δημιούργημα του Euler στους αμερικανούς αναγνώστες και λάτρεις των σταυρολέξων και παιχνιδιών λογικής. Παρόλο που το "Number Puzzle", όπως αρχικά ονομάστηκε, δεν κατάφερε να κερδίσει το αμερικανικό κοινό, έτυχε μεγάλης ανταπόκρισης στη μακρινή Ιαπωνία όταν πρωτοκυκλοφόρησε από την εκδοτική εταιρεία Nikoli. Εκεί το παιχνίδι πήρε και τη σημερινή του ονομασία Sudoku (Suji wa dokushin ni kagiru) που μεταφράζεται σε : "Οι αριθμοί πρέπει να βγαίνουν μια μόνο φορά".

Η εξάπλωση του παιχνιδιού στο δυτικό κόσμο οφείλεται σε ένα Νεοζηλανδό συνταξιούχο δικαστή, τον Γουέιν Γκουλντ, ο οποίος βρισκόταν στην Ιαπωνία και χαζεύοντας σε κάποιο βιβλιοπωλείο μια και δεν γνώριζε την ιαπωνική γλώσσα επέλεξε να αγοράσει ένα βιβλίο με παζλ αριθμών, το Sudoku. Τα συγκεκριμένα παζλ τον συνεπήραν και γρήγορα εθίστηκε σε αυτά. Θέλοντας να λύνει όλο και περισσότερα παζλ δημιούργησε ένα πρόγραμμα στον υπολογιστή που θα του δημιουργούσε αμέτρητα Sudoku για να λύνει. Συνεπαρμένος από το παιχνίδι, ο Γκουλντ σκέφτηκε πως το παιχνίδι αυτό θα έπρεπε να γίνει γνωστό σε περισσότερο κόσμο. Μόλις τον περασμένο Νοέμβριο (2004), εισέβαλε στα γραφεία των "Times" του Λονδίνου και παρουσίασε την ιδέα του για δημοσίευση του παιχνιδιού στην εφημερίδα.

Η πρόταση του έγινε αποδεκτή και στις 12 Νοεμβρίου 2004, το παιχνίδι έκανε το ντεμπούτο του στην αγγλική εφημερίδα. Η ανταπόκριση που έτυχε από το αναγνωστικό κοινό ήταν άνευ προηγουμένου με αποτέλεσμα λίγες μέρες μετά κι άλλες αγγλικές εφημερίδες, όπως η "Daily Mail" και η "Daily Telegraph" να ακολουθήσουν το παράδειγμα των "Times". Οι πωλήσεις των εφημερίδων εκτινάχθηκαν στα ύψη και σύντομα το παιχνίδι επανεμφανίστηκε στην Αμερική. Τον περασμένο Μάιο κυκλοφόρησε στην αγορά το βιβλίο του Μάικλ Μέαμ "The book of sudoku", το οποίο έγινε ανάρπαστο μέσα σε δυο μόλις εβδομάδες πωλώντας 250 χιλιάδες αντίτυπα. Σήμερα, έξι εκδόσεις με παιχνίδια sudoku βρίσκονται ανάμεσα στα 150 best seller της Αμερικής.

Πάμε στο σήμερα! 

Το δυσκολότερο Sudoku του κόσμου δημιούργησε ένας 41χρονος μαθηματικός από την Φινλανδία. Ο Dr Arto Inkala ξόδεψε τρεις μήνες για να το ολοκληρώσει και καλεί τους λάτρεις του «αθλήματος» να προσπαθήσουν να το λύσουν, αν και όπως δήλωσε στην εφημερίδα Sun, «για να μπορέσει να το καταφέρει κάποιος αυτό χωρίς βοήθεια θα χρειαστεί τουλάχιστον...μερικές εβδομάδες». (Δείτε την εικόνα στην αρχή της ανάρτησης)

Το 2006 o ίδιος είχε δημιουργήσει επίσης ένα πολύ δύσκολο Sudoku, το οποίο λύθηκε μέσα σε 24 ώρες.

Λάχανα με τα φασούλια

Υλικά
για 4 άτομα

- 700 γρ. μαύρα λάχανα

- 300 γρ. παρδαλά φασόλια
- αλάτι
- κόκκινο γλυκό πιπέρι
- 1 κρεμμύδι
- 1 καυτερή πιπεριά
- 6 κουτ. σούπας ελαιόλαδο
- 4 κουτ. σούπας καλαμποκάλευρο


Διαδικασία
 Το αγαπημένο φαγητό των Ποντίων είναι άγνωστος θησαυρός. Χορτοφαγικό, νηστίσιμο, διαιτητικό, υγιεινό και πάνω από όλα νόστιμο! Κάποιοι το βάζουν πιο ψηλά και από την κλασική φασολάδα Αν το δείτε σε κάποιο τραπέζι αποκλείεται να σας γεμίσει το μάτι, αλλά η γεύση του σίγουρα θα σας μείνει αξέχαστη .

Ξεκινάμε.

Παίρνουμε μία κατσαρόλα και βράζουμε μέσα τα «φασούλια» σε νεράκι (θα χρειαστούν περίπου 45 λεπτά). Στη συνέχεια, ρίχνουμε μέσα και τα λάχανα που τα έχουμε κόψει σε μικρά κομμάτια και τα αφήνουμε να βράσουν για λίγο μαζί με τα φασόλια. Προσθέτουμε αλάτι και την καυτερή πιπερίτσα και αφού πάρουν μία βράση όλα μαζί, αρχίζουμε να ρίχνουμε σιγά-σιγά το αλεύρι, ανακατεύοντας συνεχώς για να δέσει το φαγητό μας.

Εν τω μεταξύ, έχουμε ροδίσει σε ένα τηγάνι το κρεμμύδι και το κόκκινο πιπέρι με το λαδάκι μας. Τελειώνουμε προσθέτοντας στην κατσαρόλα μας το κρεμμύδι, ανακατεύουμε και σερβίρουμε.

Ατά τα λάχανα καμμίαν κι ανασπάλτσατα - δεν τα ξεχνάς ποτέ δηλαδή!

Τανωμένος Σορβάς

Υλικά
για 4 άτομα:

- 1 ποτήρι νερού κορκότο (σπασμένο στάρι) ή ρύζι
- ½ κιλό πασκιταν ή στραγγιστό γιαούρτι
- δυόσμος
- λίγο αλάτι
- λίγο ελαιόλαδο
- νερό όσο πάρει


Διαδικασία

 Η πατροπαράδοτη σούπα του Πόντου κρύβει πολλή σοφία και επειδή το μυαλό και το στομάχι μας μπουκώνουν με τα πολύπλοκα και εντυπωσιακά, κάνουμε κατά καιρούς εναλλακτική δίαιτα με τα απλά και ταπεινά.


Υπάρχουν δυο ειδών σορβάδες: ο τανωμένος και ο ξυγαλένεν. Ο πρώτος γίνεται με ταν' ή πασκιτάν', ο δεύτερος με υλιστόν. Και οι δύο έχουν ως βάση το κορκότο. 

 

Ταν' είναι το αποβουτυρωμένο υγρό που απομένει μετά το χτύπημα του αγελαδινού ή βουβαλίσιου γιαουρτιού. Πασκιτάν' είναι το προϊόν που παίρνουμε όταν βράσουμε το ταν' (σαν κρεμώδες τυρί ή μυζήθρα) και είναι υπόξινο. Ξυγαλένεν είναι το γιαούρτι. Υλιστόν είναι το πλήρες σε λιπαρά στραγγιστό γιαούρτι. Κορκότο είναι το αποφλοιωμένο και χονδροαλεσμένο ή χονδροκοπανισμένο στάρι.

Πασκιτάν και κορκότο βρίσκουμε στα μαγαζιά με παραδοσιακά προϊόντα. Αν το σούπερ μάρκετ είναι πιο κοντά, τότε αντικαθιστούμε το πασκιτάν με γιαούρτι σακούλας ή στραγγιστό γιαούρτι.

Η διαδικασία που ακολουθεί είναι απλή: βράζουμε - τανώνουμε - χαρατσώνουμε! Βράζουμε σε αλατισμένο νερό και χαμηλή προς μέτρια φωτιά το κορκότο μέχρι να χυλώσει. Τανώνουμε, ανακατεύουμε δηλαδή το γιαούρτι μαζί με ζουμί από την κατσαρόλα που ρίχνουμε σιγά-σιγά για να μην κόψει το γιαούρτι. Μόλις γίνουν ένα τα ρίχνουμε στην κατσαρόλα, ανακατεύουμε και αποσύρουμε το σκεύος από τη φωτιά. Χαρατσώνουμε, που σημαίνει ότι τηγανίζουμε τα αρωματικά μας: τον δυόσμο στο ελαιόλαδο (ή σε φρέσκο βούτυρο) και τα προσθέτουμε στη σούπα. Ανακατεύουμε και σερβίρουμε. Το καλοκαίρι ο τανωμένος σορβάς τρώγεται και κρύος.

Πυραμίδα από αριθμούς!

Οι φυσικοί αριθμοί διατάσσονται με τον παρακάτω τρόπο,

Βρείτε:
α) Η 30η σειρά με ποιον αριθμό ξεκινάει και με ποιον τελειώνει;
β) Πόσους αριθμούς αποτελείται η σειρά 30η;
γ) Ποια σειρά έχει 99 αριθμούς;
δ) Το 2011 σε ποια σειρά βρίσκεται;
Δικαιολογήστε τα συμπεράσματά σας!

Αγαπημένος φθινοπωρινός προορισμός η Νάουσα

Aγαπημένος φθινοπωρινός προορισμός των εκδρομέων η Νάουσα. Βιομηχανικό και γεωργικό κέντρο του νομού, χτισμένη σε οροπέδιο στους πρόποδες του Βέρμιου (υψόμετρο 360 μ.), σε μια περιοχή όπου ο Ηρόδοτος τοποθετεί τους περίφημους Κήπους του Μίδα. Είναι μία από τις ωραιότερες πόλεις της Μακεδονίας. Αναπτύχθηκε οικονομικά στα χρόνια της Τουρκοκρατίας, αλλά καταστράφηκε από τον Αλή Πασά των Ιωαννίνων. Τον 19ο αι. δημιουργήθηκαν πολλά εργοστάσια κλωστοϋφαντουργίας, κινούμενα με την ενέργεια του ποταμού Αραπίτσα, που διασχίζει την πόλη, και του καταρράκτη των Στουμπάνων, και με τα χρόνια η πόλη άκμασε, αποτελώντας για δεκαετίες σημαντικό κλωστοϋφαντουργικό κέντρο. Μέχρι τη δεκαετία του ‘80 η Νάουσα ήταν διάσημη για τις κουβέρτες με την επωνυμία «Βέτλανς-Νάουσα».
Σήμερα η ναουσιώτικη κλωστοϋφαντουργία φθίνει και τα περισσότερα εργοστάσια έχουν κλείσει, αλλά ακμάζουν η αμπελοκαλλιέργεια και η οινοποιία (το 1987, η πόλη ανακηρύχθηκε «Διεθνής Πόλη του Οίνου και της Αμπέλου»). Απέχει 21 χλμ. BΔ από τη Bέροια.

Το πάρκο Αγίου Νικολάου

Το Άλσος Αγίου Νικολάου, είναι ένα πανελλήνιο τουριστικό κέντρο αναψυχής και διημέρευσης μόλις 3 χιλιόμετρα νοτιοδυτικά της ηρωικής πόλης της Νάουσας. Ένας επίγειος παράδεισος στην καρδιά της Ημαθίας. Μια ανάσα ζωής κόντρα στην οικολογική υποβάθμιση.
Εξήντα στρέμματα πανέμορφης γης παίρνουν ζωή από τις πηγές του ιστορικού και πολλαπλά πολύτιμου, ποταμού της Αράπιτσας. Μοναδικό στην Ελλάδα το υπεραιωνόβιο άλσος πλατάνων εντυπωσιάζει τον επισκέπτη σε κάθε εποχή για την μεγαλοπρέπεια και τον όγκο του. Στη σκιά του αναπαύεται το απέραντο πράσινο του φυσικού χλοοτάπητα που συνυπάρχει με το άγριο αυτοφυές πυξάρι, τη φλαμουριά, τη βελανιδιά και το άφθονο νερό σε μια σπάνια συμφωνία ήχων και χρωμάτων. Αυτόν τον πανέμορφο τόπο χρηματοδότησε η Ευρωπαϊκή Ένωση στα πλαίσια του προγράμματος LIFE αφενός για να τον προστατεύσει και αναδείξει και αφετέρου για να βάλει τις βάσεις για μια ορθολογικά οικολογική διαχείριση ώστε το πολυποίκιλο πλέγμα χρήσεων και δραστηριοτήτων που φιλοξενούνται στο χώρο να επιτρέπουν την αειφορία.
Αποτέλεσμα της αξιόλογης αυτής προσπάθειας υπήρξε το Ειδικό Ευρωπαϊκό Βραβείο σημαντική διάκριση στα πλαίσια του θεσμού των Ευρωπαϊκών Βραβείων αστικού και περιφερειακού σχεδιασμού το 1997.
Σήμερα επισκέπτονται το άλσος ετησίως 1.000.000 επισκέπτες από όλη την Ελλάδα, που έχουν την δυνατότητα να κάνουν χρήση των παρακάτω εγκαταστάσεων και δραστηριοτήτων:

• της δημοτικής ξενοδοχειακής μονάδας Vermion δυναμικότητας 150 κλινών με τις ανακαινισμένες αίθουσες των: μπαρ- καφέ, εστιατόριο και συνεδριακό κέντρο που λειτουργούν όλη τη διάρκεια του έτους,
• των αθλητικών εγκαταστάσεων που περιλαμβάνουν γήπεδα μπάσκετ, βόλεϊ και τένις καθώς και δημοτικό αναψυκτήριο,
• της παιδικής χαράς,
• της μικρής τεχνητής λίμνης ψαρέματος και βαρκάδας,
• της εκκλησίας του Αγ. Νικολάου, από την οποία πήρε το όνομα της η περιοχή,
• του εκτροφείου θηραμάτων,
• των εστιατορίων με κυριότερο προσφερόμενο έδεσμα την τοπική πέστροφα,
• των χώρων υπαιθρίου γεύματος,
• των διαδρόμων άθλησης και περιπάτου,
• των πηγών του ποταμού Αράπιτσα,
• του μικρού τραίνου για μια σύντομη περιήγηση του Άλσους,
• του Κέντρου περιβαλλοντικής ενημέρωσης για μια πρώτη γνωριμία με την χλωρίδα και πανίδα της περιοχής και τέλος
• των εγκαταστάσεων υγιεινής.

Στην είσοδο του Άλσους έχει ολοκληρωθεί και ο χώρος στάθμευσης 250 θέσεων.

Σχολή Αριστοτέλους

Η σχολή του Αριστοτέλη βρίσκεται στη θέση "Ισβόρια" Νάουσας σε ένα ειδυλλιακό τοπίο. Πρόκειται για την τοποθεσία που στέγασε λίγο μετά τα μέσα του 4ου αιώνα π.Χ. τη Σχολή όπου ο φιλόσοφος Αριστοτέλης δίδαξε τον νεαρό Αλέξανδρο.
Ανάμεσα σε δύο φυσικά σπήλαια λαξεύτηκε κάθετα ο βράχος, προστέθηκε μία ιωνική κιονοστοιχία και δημιουργήθηκε μία στεγασμένη στοά σε σχήμα Γ. Αν και οι ανασκαφές δεν έχουν ολοκληρωθεί, ωστόσο ο αρχαιολογικός χώρος είναι επισκέψιμος από το κοινό.

Το δημοτικό πάρκο

Κατασκευασμένο σε μια τοποθεσία που είναι ένα φυσικό μπαλκόνι, με απέραντη θέα προς τον κάμπο της Μακεδονίας, μπορούμε να πούμε ότι είναι σήμερα ένα από τα ωραιότερα και χαρακτηριστικότερα πάρκα της Ελλάδος.
Ολοκληρωμένο το πάρκο σήμερα καταλαμβάνει μια έκταση 30 περίπου στρεμμάτων και παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον τόσο από άποψη αισθητικής, λειτουργικότητας, ποικιλίας βλάστησης, όσο και από άποψη ζωικού βασιλείου, καθώς στο πάρκο ζουν ελεύθερα, παγώνια, πάπιες, κύκνοι, περιστέρια, σκίουροι, ψάρια, καθώς και διάφορα άλλα είδη πουλιών.

Εσχατη Λογική

Μια γιγάντια μαθηματική δομή ανοίγει νέους ορίζοντες για το σύμπαν των μαθηματικών

Στα νέα μαθηματικά οικοδομήματα η σκάλα του απείρου υψώνεται... στο άπειρο

Οταν ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ κατέβηκε από το βάθρο ύστερα από τη διάλεξή του στο Πανεπιστήμιο της Σορβόννης στις 8 Αυγούστου 1900, ελάχιστοι από τους συνέδρους έδειξαν εντυπωσιασμένοι. Σύμφωνα με μια αναφορά της εποχής, η συζήτηση που ακολούθησε σε εκείνο το δεύτερο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών ήταν «μάλλον παρεκβατική». Τα πνεύματα φάνηκε να εξάπτονται περισσότερο από ένα επόμενο θέμα σχετικά με το αν η εσπεράντο έπρεπε να υιοθετηθεί ως γλώσσα εργασίας των μαθηματικών.
Παρ’ όλα αυτά, εκείνη η ομιλία του Χίλμπερτ χάραξε την ατζέντα των μαθηματικών για τον 20ό αιώνα. Αποκρυσταλλώνεται σε έναν κατάλογο 23 κρίσιμων αναπάντητων ερωτημάτων, όπως το πώς πρέπει να τοποθετούνται οι σφαίρες ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη εκμετάλλευση του διαθέσιμου χώρου ή το αν η υπόθεση του Ρίμαν σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών ισχύει.
Σήμερα πολλά από αυτά τα προβλήματα έχουν λυθεί, όπως αυτό της τοποθέτησης των σφαιρών. Αλλα, όπως αυτό της υπόθεσης του Ρίμαν, έχουν δει ελάχιστη ή και καμία πρόοδο. Το πρώτο θέμα στον κατάλογο του Χίλμπερτ ξεχωρίζει ωστόσο για την αλλόκοτη απάντηση που έδωσαν έκτοτε σε αυτό γενεές ολόκληρες μαθηματικών: ότι τα μαθηματικά απλώς δεν έχουν τα μέσα για να το απαντήσουν.

Η «υπόθεση του συνεχούς»
Ο επίμονα άλυτος γρίφος είναι γνωστός ως «υπόθεση του συνεχούς» και αφορά αυτή την τόσο αινιγματική οντότητα, το άπειρο. Σήμερα, 140 χρόνια μετά τη διατύπωσή του, ένας σεβαστός αμερικανός μαθηματικός πιστεύει ότι τον έλυσε. Επιπλέον υποστηρίζει ότι έφθασε στη λύση χρησιμοποιώντας όχι τα μαθηματικά όπως τα γνωρίζουμε αλλά μια νέα, πολύ πιο ισχυρή λογική κατασκευή την οποία ονομάζει «έσχατο L» (ultimate L).
Η διαδρομή ως αυτό το σημείο ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του 1870, όταν ο Γερμανός Γκέοργκ Κάντορ έθετε τα θεμέλια της θεωρίας των συνόλων. Η θεωρία των συνόλων ασχολείται με τη μέτρηση και τον χειρισμό συγκεντρωμένων αντικειμένων και προσφέρει το κρίσιμο λογικό υπόβαθρο των μαθηματικών: επειδή οι αριθμοί μπορούν να συνδεθούν με το μέγεθος των συνόλων, οι κανόνες για τον χειρισμό των συνόλων καθορίζουν επίσης τη λογική της αριθμητικής και ο,τιδήποτε άλλου στηρίζεται σε αυτήν.
Αυτές οι στεγνές, ελαφρώς άνοστες λογικές διατυπώσεις απέκτησαν μια σπιρτάδα όταν ο Κάντορ έθεσε ένα κρίσιμο ερώτημα: Πόσο μεγάλα μπορούν να γίνουν τα σύνολα; Η προφανής απάντηση _ άπειρα μεγάλα _ αποδείχθηκε ότι έκρυβε ένα απρόοπτο: το άπειρο δεν είναι τελικά μια οντότητα αλλά έχει πολλά επίπεδα.

Τα επίπεδα του Απείρου
Πώς γίνεται αυτό; Μπορείτε να πάρετε μια γεύση μετρώντας στη σειρά όλους τους αριθμούς: 1, 2, 3, 4, 5... Ως πού μπορείτε να φθάσετε; Ε, φυσικά ως το άπειρο _ δεν υπάρχει μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός. Αυτό είναι ένα είδος απείρου - το κατώτερο, «μετρήσιμο» επίπεδο όπου λαμβάνει χώρα η αριθμητική.
Τώρα σκεφθείτε την ερώτηση «πόσα σημεία υπάρχουν σε μια ευθεία;». Μια ευθεία είναι απόλυτα ίσια και ενιαία, χωρίς τρύπες ή κενά. Περιλαμβάνει άπειρα σημεία. Εδώ όμως δεν πρόκειται για το μετρήσιμο άπειρο των ακέραιων αριθμών, όπου ανεβαίνετε προς τα επάνω σε μια σειρά καθορισμένων, ξεχωριστών βαθμίδων. Εδώ πρόκειται για ένα ενιαίο, συνεχές άπειρο το οποίο περιγράφει γεωμετρικά αντικείμενα. Δεν χαρακτηρίζεται από τους ακέραιους αριθμούς αλλά από τους πραγματικούς: τους ακέραιους συν όλους τους ενδιάμεσους αριθμούς που έχουν όσα δεκαδικά ψηφία θέλετε _ 0,1, 0,01, 0,02, π και ούτω καθ’ εξής.
Ο Κάντορ έδειξε ότι αυτό το «συνεχές» άπειρο είναι απείρως μεγαλύτερο από τη μετρήσιμη εκδοχή του των ακέραιων αριθμών. Επιπλέον αποτελεί απλώς μια βαθμίδα σε μια σκάλα που οδηγεί σε όλο και υψηλότερα επίπεδα απείρων τα οποία υψώνονται ως, ναι, το άπειρο.

Υπάρχει απειροστικός «ημιόροφος»;
Ενώ η ακριβής δομή αυτών των ανώτερων απείρων παρέμενε νεφελώδης, ένα πιο άμεσο ερώτημα βασάνιζε τον Κάντορ. Υπήρχε ενδιάμεσο επίπεδο ανάμεσα στο μετρήσιμο άπειρο και στο συνεχές; Υποπτευόταν ότι όχι, αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει. Το προαίσθημά του για την ανυπαρξία αυτού του μαθηματικού ημιωρόφου έγινε γνωστό ως «η υπόθεση του συνεχούς».
Οι προσπάθειες να αποδειχθεί ή να καταρριφθεί η υπόθεση του συνεχούς βασίζονται στην ανάλυση όλων των δυνατών απείρων υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών. Αν το καθένα είναι είτε μετρήσιμο είτε έχει το ίδιο μέγεθος με το πλήρες συνεχές, τότε η υπόθεση ισχύει. Αντιστρόφως, έστω και ένα υποσύνολο ενδιάμεσου μεγέθους μπορεί να την καταρρίψει.
Μια τέτοια τεχνική που χρησιμοποιεί υποσύνολα των ακέραιων αριθμών δείχνει ότι δεν υπάρχει επίπεδο απείρου κάτω από το μετρήσιμο. Οσο δελεαστικό και αν είναι να θεωρήσει κανείς ότι οι υπάρχοντες μονοί αριθμοί είναι οι μισοί από το σύνολο των ακεραίων, τα δύο σύνολα μπορούν να αντιστοιχιστούν ακριβώς. Στην πραγματικότητα, κάθε σύνολο ακέραιων αριθμών είναι είτε πεπερασμένο είτε μετρήσιμα άπειρο.
Αν εφαρμοστεί στους πραγματικούς αριθμούς ωστόσο αυτή η προσέγγιση αποδίδει ελάχιστα, για λόγους που σύντομα γίνονται προφανείς. Το 1885 ο σουηδός μαθηματικός Γκέστα Μίταγκ-Λέφλερ είχε εμποδίσει τη δημοσίευση μιας από τις εργασίες του Κάντορ υποστηρίζοντας ότι ήταν «100 χρόνια πριν από την εποχή». Οπως έδειξε ο βρετανός μαθηματικός και φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, ο Κάντορ είχε πράγματι βιαστεί. Αν και τα συμπεράσματά του για το άπειρο ήταν σωστά, η λογική βάση της θεωρίας των συνόλων του έπασχε, βασιζόμενη σε μια άτυπη και τελικά παράδοξη αντίληψη του τι είναι τα σύνολα.
Μόνο το 1922 δύο γερμανοί μαθηματικοί, ο Ερνστ Τσερμέλο και ο Αμπραχαμ Φρένκελ, εξήγαγαν μια σειρά κανόνων για τον χειρισμό των συνόλων οι οποίοι φαίνονταν αρκετά σθεναροί ώστε να στηρίξουν τον πύργο των απείρων του Κάντορ και να σταθεροποιήσουν τα θεμέλια των μαθηματικών. Δυστυχώς όμως οι κανόνες αυτοί δεν έδιναν ξεκάθαρη απάντηση στην υπόθεση του συνεχούς. Στην πραγματικότητα, φαινόταν μάλιστα να υποδηλώνουν ότι ίσως να μην υπήρχε καν απάντηση.
Το βασικό εμπόδιο ήταν ένας κανόνας γνωστός ως «το αξίωμα της επιλογής». Δεν ανήκε στους αρχικούς κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ, αλλά ανέκυψε σύντομα όταν κατέστη σαφές ότι ορισμένες ουσιώδεις μαθηματικές διεργασίες, όπως η ικανότητα σύγκρισης διαφορετικών μεγεθών απείρου, θα ήταν αδύνατες χωρίς αυτόν.
Το αξίωμα της επιλογής πρεσβεύει ότι αν έχετε μια σειρά συνόλων μπορείτε πάντα να σχηματίσετε ένα νέο σύνολο επιλέγοντας ένα αντικείμενο από το καθένα από αυτά. Αυτό ακούγεται ανώδυνο, εμπεριέχει όμως ένα «αγκάθι»: προσφέρει τη δυνατότητα να επινοήσετε κάποια παράδοξα αρχικά σύνολα τα οποία παράγουν ακόμη πιο παράδοξα σύνολα όταν επιλέγετε ένα στοιχείο από το καθένα. Οι πολωνοί μαθηματικοί Στέφαν Μπάναχ και Αλφρεντ Τάρσκι έδειξαν πώς το αξίωμα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να διαιρέσει το σύνολο των σημείων που καθορίζουν μια σφαιρική μπάλα σε έξι υποσύνολα τα οποία στη συνέχεια μπορούσαν να παραγάγουν δύο μπάλες του ίδιου μεγέθους με την αρχική. Αυτό αποτελούσε σύμπτωμα ενός θεμελιώδους προβλήματος: το αξίωμα επέτρεπε την ύπαρξη δύστροπων συνόλων πραγματικών αριθμών των οποίων οι ιδιότητες δεν μπορούσαν ποτέ να καθοριστούν. Υπό αυτές τις συνθήκες, η προοπτική για την απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς φαινόταν δυσοίωνη.

Το «L» του Γκέντελ
Η ανακάλυψη αυτή έφθασε σε μια στιγμή κατά την οποία η έννοια του «αναπόδεικτου» είχε μόλις αρχίσει να γίνεται της μόδας. Το 1931 ο αυστριακός επιστήμονας της Λογικής Κουρτ Γκέντελ διατύπωσε το περίφημο «θεώρημα της μη πληρότητας». Αυτό δείχνει ότι ακόμη και με τους πιο «σφιχτούς» βασικούς κανόνες θα υπάρχουν πάντα διατυπώσεις συνόλων αριθμών που τα μαθηματικά δεν θα μπορούν ούτε να επαληθεύσουν ούτε να καταρρίψουν.
Ταυτοχρόνως όμως ο Γκέντελ είχε ένα φαινομενικά τρελό προαίσθημα σχετικά με το πώς μπορούν να γεμίσουν τα περισσότερα από αυτά τα κενά: χτίζοντας απλώς πολλά επίπεδα απείρου. Αυτό αντιβαίνει σε οποιονδήποτε λογικό οικοδομικό κανονισμό, αλλά η υπόθεση του Γκέντελ αποδείχθηκε εμπνευσμένη. Το απέδειξε το 1938. Ξεκινώντας από μια απλή σύλληψη συνόλων συμβατών με τους κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ και στη συνέχεια σχεδιάζοντας προσεκτικά την υπερδομή του απείρου του, δημιούργησε ένα μαθηματικό περιβάλλον στο οποίο τόσο το αξίωμα της επιλογής όσο και η υπόθεση του συνεχούς ισχύουν ταυτόχρονα. Ονόμασε τον νέο κόσμο του «κατασκευάσιμο σύμπαν» ή απλώς «L».
Το L είναι ένα γοητευτικό περιβάλλον για τα μαθηματικά, σύντομα όμως εμφανίστηκαν λόγοι για τους οποίους θα μπορούσε να αμφιβάλλει κανείς ως προς το αν ήταν το «σωστό» περιβάλλον. Κατ’ αρχάς η σκάλα του απείρου του δεν ανέβαινε αρκετά ψηλά ώστε να γεμίσει όλα τα κενά που είναι γνωστό ότι υπάρχουν στην υποκείμενη δομή. Το 1963 ο Πολ Κοέν του Πανεπιστημίου Στάνφορντ στην Καλιφόρνια έδωσε μια προοπτική αναπτύσσοντας μια μέθοδο για την παραγωγή μιας πληθώρας κατά παραγγελία μαθηματικών συμπάντων που όλα τους ήταν συμβατά με τους κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ.

Μαθηματική αρχιτεκτονική
Αυτή ήταν η αρχή ενός οργασμού κατασκευαστικής δραστηριότητας. «Τον τελευταίο μισό αιώνα οι θεωρητικοί των συνόλων έχουν ανακαλύψει μια τεράστια ποικιλία μοντέλων της θεωρίας των συνόλων» λέει ο Τζόελ Χάμκινς του Πανεπιστημίου City της Νέας Υόρκης. Ορισμένα είναι «κόσμοι τύπου L» με υπερδομές σαν το L του Γκέντελ, διαφέροντας μόνο στο εύρος των έξτρα επιπέδων απείρου που περιλαμβάνουν. Αλλα έχουν εξαιρετικά ετερόκλητα αρχιτεκτονικά στυλ με εντελώς διαφορετικά επίπεδα και σκάλες απείρου που οδηγούν προς κάθε είδους κατεύθυνση.
Για τις περισσότερες λειτουργίες η ζωή μέσα σε αυτές τις δομές είναι η ίδια: στο μεγαλύτερο μέρος τους τα καθημερινά μαθηματικά δεν διαφέρουν μέσα στην καθεμιά τους ούτε και οι νόμοι της φυσικής. Η ύπαρξη όμως αυτού του μαθηματικού «πολυσύμπαντος» φαινόταν να διαλύει κάθε ιδέα επίλυσης της υπόθεσης του συνεχούς. Οπως κατόρθωσε να δείξει ο Κοέν, σε ορισμένους λογικά δυνατούς κόσμους η υπόθεση ισχύει και δεν υπάρχει ενδιάμεσο επίπεδο απείρου μεταξύ του μετρήσιμου και του συνεχούς. Σε άλλους το ενδιάμεσο επίπεδο υπάρχει. Σε κάποιους άλλους υπάρχουν άπειρα. Με τη μαθηματική λογική όπως τη γνωρίζουμε απλώς δεν υπάρχει τρόπος να βρούμε σε ποιο είδος κόσμου βρισκόμαστε.

Η λύση στο... ρετιρέ
Ο Χιου Γούντιν του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας στο Μπέρκλεϊ έχει μια πρόταση σε αυτό. Η απάντηση, λέει, μπορεί να βρεθεί βγαίνοντας έξω από τον συμβατικό μαθηματικό κόσμο και περνώντας σε ένα ανώτερο επίπεδο.
Ο Γούντιν είναι ένας εξαιρετικά σεβαστός θεωρητικός των συνόλων και έχει ήδη αποσπάσει την ύψιστη τιμή στο αντικείμενό του: ένα επίπεδο στην κλίμακα του απείρου με το όνομά του. Το επίπεδο αυτό, το οποίο βρίσκεται πολύ ψηλότερα από οτιδήποτε υπήρχε στο L του Γκέντελ, κατοικείται από γιγαντιαίες οντότητες οι οποίες είναι γνωστές ως απόλυτοι του Γούντιν.
Οι απόλυτοι του Γούντιν απεικονίζουν πώς η πρόσθεση ρετιρέ στο οικοδόμημα των μαθηματικών μπορεί να λύσει προβλήματα σε λιγότερο «αραιά» κατώτερα επίπεδα. Το 1988 οι αμερικανοί μαθηματικοί Ντόναλντ Μάρτιν και Τζον Στιλ έδειξαν ότι, αν οι απόλυτοι του Γούντιν υπάρχουν, τότε όλα τα προβαλλόμενα σύνολα των πραγματικών αριθμών έχουν ένα μετρήσιμο μέγεθος. Σχεδόν όλα τα συνηθισμένα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν υπό τους όρους αυτού του συγκεκριμένου είδους συνόλου, οπότε αυτή ήταν ακριβώς η δικλίδα που χρειαζόταν για την προστασία των συμβατικών μαθηματικών απέναντι σε δυσάρεστες εκπλήξεις όπως η μπάλα του Μπάναχ και του Τάρσκι.
Ωστόσο, παρά τις επιτυχίες αυτές, ο Γούντιν παρέμενε ανικανοποίητος. «Τι νόημα έχει μια αντίληψη του σύμπαντος των συνόλων στην οποία υπάρχουν πολύ μεγάλα σύνολα αν δεν μπορούμε να εξαγάγουμε βασικές ιδιότητες των μικρών συνόλων;» αναρωτιέται. Ακόμη και 90 χρόνια αφότου ο Τσερμέλο και ο Φρένκελ υποτίθεται ότι διόρθωσαν τα θεμέλια των μαθηματικών, οι ρωγμές ήταν πολλές. «Η θεωρία των συνόλων είναι γεμάτη άλυτα ζητήματα. Σχεδόν όποιο ερώτημα και να θέσεις είναι άλυτο» λέει. Ακριβώς στην καρδιά αυτού του προβλήματος βρίσκεται η υπόθεση του συνεχούς.

Το υπερσύμπαν του «έσχατου L»
Ο Γούντιν και οι συνεργάτες του εντόπισαν τον «σπόρο» σε μια νέα, πιο ριζοσπαστική προσέγγιση ενώ διερευνούσαν συγκεκριμένα πρότυπα πραγματικών αριθμών τα οποία εμφανίζονται σε διάφορους κόσμους τύπου L. Τα πρότυπα, γνωστά ως καθολικά σύνολα Baire, άλλαζαν ελαφρώς τη γεωμετρία του κάθε κόσμου και φαινόταν ότι λειτουργούν σαν ένα είδος κώδικα ταυτότητάς του. Οσο περισσότερο τα κοίταζε ο Γούντιν τόσο περισσότερο έβλεπε ότι υπήρχαν σχέσεις ανάμεσα στα πρότυπα φαινομενικά διαφορετικών κόσμων. Συνδυάζοντας τα πρότυπα αυτά μεταξύ τους, τα όρια ανάμεσα στους κόσμους σιγά σιγά εξαφανίζονταν και άρχιζε να διαφαίνεται ο χάρτης ενός ενιαίου μαθηματικού υπερσύμπαντος. Προς τιμήν της αρχικής έμπνευσης του Γκέντελ ο Γούντιν ονόμασε αυτή τη γιγαντιαία λογική δομή «έσχατο L».
Μεταξύ άλλων το έσχατο L προσφέρει για πρώτη φορά έναν οριστικό απολογισμό του φάσματος των υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών: σε κάθε «σταυροδρόμι» ανάμεσα σε διαφορετικούς κόσμους που ανοίγουν οι μέθοδοι του Κοέν μόνο μια πιθανή οδός είναι συμβατή με τον χάρτη του Γούντιν. Ιδιαίτερα υποδηλώνει ότι η υπόθεση του Κάντορ ισχύει αποκλείοντας οτιδήποτε ανάμεσα στο μετρήσιμο άπειρο και στο συνεχές. Αυτό σημαίνει όχι μόνο το τέλος μιας σπαζοκεφαλιάς 140 ετών αλλά και μια προσωπική μεταστροφή για τον Γούντιν: πριν από δέκα χρόνια υποστήριζε ότι η υπόθεση του συνεχούς πρέπει να θεωρηθεί λανθασμένη.
Το έσχατο L δεν σταματάει εδώ. Ο μεγάλος, ευρύχωρος χώρος του επιτρέπει την πρόσθεση επιπλέον βαθμίδων στην κορυφή της κλίμακας του απείρου με τρόπο ώστε να γεμίσουν τα κενά που υπάρχουν πιο κάτω, επαληθεύοντας το προαίσθημα του Γκέντελ για την επίλυση του προβλήματος του αναπόδεικτου που ταλάνιζε τα μαθηματικά. Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ δεν καταργείται, αλλά μπορεί να το «σπρώξει» κανείς όσο ψηλά θέλει στη σκάλα, οδηγώντας το στη σοφίτα του απείρου των μαθηματικών.
Η προοπτική της απαλλαγής από τη λογική μη πληρότητα που βάραινε ακόμη και βασικούς τομείς όπως η θεωρία των αριθμών έχει ενθουσιάσει πολλούς μαθηματικούς. Απομένει μόνο ένα ζήτημα: Ισχύει το έσχατο L;
Το 2010 ο Γούντιν παρουσίασε τις ιδέες του στο ίδιο φόρουμ στο οποίο είχε μιλήσει ο Χίλμπερτ περισσότερο από έναν αιώνα πριν, στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, τη φορά αυτή στο Ιντεραμπάντ της Ινδίας. Ο Χίλμπερτ είχε υπερασπιστεί κάποτε τη θεωρία των συνόλων με την περίφημη φράση «κανένας δεν θα μας αποπέμψει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Κάντορ». Σε αυτόν τον παράδεισο όμως προχωρούσαμε στα τυφλά χωρίς να ξέρουμε ακριβώς πού βρισκόμαστε. Ισως τώρα να έχουμε επιτέλους έναν οδηγό, ο οποίος ενδεχομένως μπορεί να μας οδηγήσει σε αυτόν τον αιώνα και ακόμη πιο πέρα.

Μαθηματικό ρολόι

Βέρμιο

Το Βέρμιο, στο νομό Ημαθίας, είναι ένα βουνό ήπιο, με την ψηλότερη κορυφή του λίγο πάνω από τα 2.000 μέτρα. Οι πλαγιές του, κυρίως οι ανατολικές, αυτές που βλέπουν προς την Ημαθία, είναι κατάφυτες, γεμάτες κυρίως οξιές, αλλά και έλατα, δρυς και καστανιές. Την άνοιξη, τα ψηλότερα λιβάδια του Βερμίου πλημμυρίζει ένα σπάνιο είδος κρόκου, ο κίτρινος Crocus cvizicii, ενώ μέχρι το καλοκαίρι το πολύχρωμο χαλί των αγριολούλουδων περιλαμβάνει κυκλάμινα, κρίνα, αγριοτριανταφυλλιές, καμπανούλες και το ενδημικό, μοναδικό στον κόσμο Isatis vermia.
Όσον αφορά την πανίδα του Βερμίου, σήμερα ζουν στις πλαγιές του βουνού αλεπούδες, ζαρκάδια, αγριόχοιροι και άλλα μικρότερα θηλαστικά, ερπετά και έντομα, καθώς και πλήθος πουλιών.
Η ηπιότητα των πλαγιών, η πυκνή βλάστηση και η κοντινή του απόσταση από τις πόλεις της Ημαθίας έχουν αναδείξει το Βέρμιο σε σημαντικό προορισμό πεζοπορίας. Στο βουνό υπάρχουν πάνω από 70 χιλιόμετρα σηματοδοτημένων μονοπατιών. Καλύτερες εποχές για trekking στο Βέρμιο είναι ασφαλώς η άνοιξη, όταν τα αγριολούλουδα δίνουν τον τόνο στο πράσινο και το φθινόπωρο, όταν το βουνό σημαδεύεται από τις κόκκινες και κίτρινες πινελιές των φυλλοβόλων.
Το Βέρμιο φιλοξενεί στις πλαγιές του τέσσερα ορειβατικά καταφύγια. Τα δύο βρίσκονται στο Σέλι, σε υψόμετρο 1.450 και 1.500 μέτρων, είναι δυναμικότητας 75 και 117 ατόμων αντίστοιχα. Το πρώτο ανήκει στον ΕΟΣ Θεσσαλονίκης (2310 278288) και το δεύτερο στον ΣΧΟ Βέροιας (23310 26970, 49297). Τα άλλα δύο καταφύγια βρίσκονται στα Tρία - Πέντε Πηγάδια, σε υψόμετρο 1.450 περίπου μέτρων και είναι δυναμικότητας 30 και 85 ατόμων αντίστοιχα. Για πληροφορίες μπορείτε να επικοινωνείτε με τον ΕΟΣ Νάουσας στο τηλ. 23320 28567.

Η σχέση Πλάτωνα και Αριστοτέλη με τα Μαθηματικά

Η σχέση Πλάτωνα και Αριστοτέλη με τα Μαθηματικά

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων ελλήνων στην ακριβολόγηση και την απόδειξη. Μια ιστορική επομένως ανασκόπηση της φιλοσοφίας των μαθηματικών είναι φυσιολογικό να αρχίζει από εκεί.
Σύμφωνα με τον Thomas Kuhn για να κατανοήσουμε παλαιότερες εργασίες οφείλουμε να ξεχάσουμε την τρέχουσα επιστήμη και να εμβαπτισθούμε στην ανατραπείσα θεωρία, της οποίας τμήματα είναι οι προαναφερθείσες εργασίες.Ένας όμως σύγχρονος μαθηματικός δεν χρειάζεται να αναδιοργανώσει τη σκέψη του για να μελετήσει τα Στοιχεία του Ευκλείδη, τα οποία μοιάζουν με τις σύγχρονες εργασίες. Σήμερα είναι παραδεκτό πως τα Στοιχεία είναι το αποτέλεσμα μιας διαδικασίας που ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα.Ο Κόσμος του Είναι είναι μια σύντομη περιγραφή της θεωρίας των Ιδεών του Πλάτωνα. Έχουμε πχ εικόνες του ωραίου' παρόλα αυτά τίποτα δεν είναι απολύτως ωραίο. Ο υλικός κόσμος έχει ψεγάδια. Υπάρχει όμως ο κόσμος των Μορφών (Ιδεών), αιώνιος και αναλλοίωτος στον οποίο υπάρχει η «όντως Ομορφιά», η «Όντως Δικαιοσύνη» κλπ. Οι ιδέες είναι οντολογικά υπαρκτές, όχι νοητικά κατασκευάσματα.

Έτσι ο Πλάτων δεν θα συμφωνούσε με την άποψη ότι η ομορφιά ή δικαιοσύνη κλπ βρίσκονται στο τρόπο που βλέπει κανείς τα πράγματα. Ο φυσικός κόσμος ονομάζεται κόσμος του γίγνεσθαι, γιατί υπόκειται σε αλλαγή και στη φθορά, κατανοείται δε με τις αισθήσεις.
Πώς κατά τον Πλάτωνα αντιλαμβανόμαστε τις Μορφές, δηλ. ποια είναι η επιστημολογία του; Τις αντιλαμβανόμαστε μέσω της νόησης. Στον έργο του «Μένων», ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι η «μάθηση» στην πραγματικότητα είναι ανάμνηση από τη ζωή της ψυχής στον κόσμο της Αληθείας, πριν εισέλθει στο σώμα.Τα μαθηματικά κατά τον Πλάτωνα είναι ένα μέσο για να εξυψωθεί το πνεύμα πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του Είναι.

Ο Πλάτωνας για τα Μαθηματικά
Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των Ιδεών και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Ο τελευταίος δεν περιέχει τέλειους κύκλους ευθείες ή σημεία, σε αντίθεση με τον πρώτο. Τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Τοιουτοτρόπως τα θεωρήματα της γεωμετρίας είναι αντικειμενικά αληθή ανεξάρτητα από τον νου την γλώσσα, ή άλλα χαρακτηριστικά του
μαθηματικού. Πρόκειται για ένα ρεαλισμό ως προς την τιμή αληθείας, που φθάνει μέχρι τον ρεαλισμό στην οντολογία.

Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με καθαρή σκέψη, ή με ανάμνηση της ψυχής από την ύπαρξή της στον κόσμο του Είναι, πριν εισέλθει στο σώμα.
Η δυναμική γλώσσα στη γεωμετρία (πχ
κατασκευές) έφερε σε δύσκολη θέση πολλούς από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αφού δεν συμβιβάζεται με το αναλλοίωτο και αιώνιο των γεωμετρικών αντικειμένων.
Το γεωμετρικό σχήμα κατά τον Πλάτωνα βοηθά τον νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο κόσμο της γεωμετρίας. Πώς γίνεται όμως αυτό αφού ο κόσμος του Είναι είναι προσεγγίσιμος μόνο μέσω του νου και όχι των αισθήσεων;
Οι συνεχιστές των θεωριών του Πλάτωνα, αν και εγκατέλειψαν κάποιες μυστικιστικές απόψεις του σχετικά με την επιστημολογία. Διατήρησαν όμως, την άποψη ότι η γεωμετρική γνώση είναι a priori, ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Ένα εγειρόμενο ερώτημα που ζητά απάντηση είναι το πώς η γεωμετρία έχει εφαρμογές στο φυσικό κόσμο.
Τις ίδιες απόψεις του ρεαλισμού ως προς την τιμή αληθείας, και ως προς την οντολογία έχει ο Πλάτων και για την αριθμητική και την άλγεβρα. Ισχύουν προσεγγιστικά στο φυσικό κόσμο, ενώ ισχύουν ακριβώς και αυστηρώς στον κόσμο του Είναι.
Η θεωρία των αριθμών στη αρχαία Ελλάδα ονομαζόταν αριθμητική, ενώ η πρακτική αριθμητική λογιστική. Και η λογιστική και η αριθμητική κατά τον Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των Ιδεών. Η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και η λογιστική ασχολείται με την σχέση μεταξύ των αριθμών. Και οι δύο βοηθούν το πνεύμα να συλλάβει τη φύση του αριθμού καθεαυτή.

Ο Σωκράτης και Πλάτωνας για τα Μαθηματικά
Ο Πλάτωνας θαύμαζε τα επιτεύγματα των μαθηματικών. Δεν ήταν όμως ίδια η στάση του
Σωκράτη. Ο Σωκράτης ενδιαφερόταν για την πολιτική και ηθική και όχι για την επιστήμη. Συζητούσε με τον καθένα που ήθελε και αυτό το έπραττε σε καθημερινή βάση. Στη συζήτηση προχωρούσε προσεκτικά, εκμαιεύοντας το πιστεύω του συνομιλητή του και κατόπιν προχωρούσε σε απροσδόκητες και ανεπιθύμητες συνέπειες αυτού του πιστεύω. Η όλη συζήτηση βοηθούσε στο ξεκαθάρισμα των αντιλήψεων.
Αντίθετα ο ώριμος Πλάτων, ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά και διατείνεται ότι είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να μάθει κάποιος, αφού είναι χρήσιμα σε όλες τις τέχνες, αλλά και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας. Υποστήριζε ότι με τα μαθηματικά μπορούσε να περάσει κάποιος την πύλη που οδηγεί στο όντως Είναι. Με τα μαθηματικά οι άρχοντες θα περάσουν από τον κόσμο του γίγνεσθαι στον κόσμο του Είναι. Γι' αυτό συνιστούσε πολύχρονη μελέτη των μαθηματικών, των οποίων η γνώση αποτελεί προϋπόθεση για την ενασχόληση με την φιλοσοφία.
Ο Πλάτωνας δεν πιστεύει ότι η φιλοσοφία είναι για τον οποιονδήποτε. Στην ιδανική του πολιτεία, ελάχιστοι συμμετέχουν στον φιλοσοφικό στοχασμό, ενώ η συντριπτική πλειοψηφία παίρνει τις οδηγίες από αυτούς, κοιτώντας την δουλειά της. Έφθανε στο σημείο να υποστηρίξει ότι η φιλοσοφία είναι ακόμη και επικίνδυνη για τις μάζες.
Τα μαθηματικά προχωρούν με την μέθοδο της αποδείξεως, ενώ η Σωκρατική μεθοδολογία προχωρά με την μέθοδο της δοκιμής και του λάθους. Έτσι, με το πέρασμα του χρόνου η μέθοδος του Σωκράτη εγκαταλείπεται από τον Πλάτωνα, ο οποίος θέλγεται από την χωρίς περιπλοκές μαθηματική μεθοδολογία, την οποία θέλει να εφαρμόσει σε όλη την γνώση. Μετά τις σπουδές στα μαθηματικά και την φιλοσοφία κάποιοι θα συναντήσουν και κατανοήσουν τις Μορφές, ανεξάρτητα από παραδείγματα του υλικού κόσμου, φθάνοντας σε μη υποθετικές πρώτες αρχές.

Αριστοτέλης, ο Αντίπαλος του Πλάτωνα

Οι θέσεις του Αριστοτέλη για τα μαθηματικά είναι κυρίως μια πολεμική των θέσεων του Πλάτωνα. Η φιλοσοφία του Αριστοτέλη
περιέχει σπέρματα εμπειρισμού.
Ο Αριστοτέλης απέρριπτε τον κόσμο του Είναι. Δεχόταν όμως την ύπαρξη των Μορφών όχι όμως ως μέλη κάποιου ξεχωριστού κόσμου. Η Ομορφιά για παράδειγμα είναι το κοινό που υπάρχει στα όμορφα αντικείμενα, όταν όμως αυτά
καταστραφούν παύει να υπάρχει και η
Ομορφιά. Ο Αριστοτέλης δίνει σημασία όχι στο ερώτημα αν υπάρχουν τα μαθηματικά
αντικείμενα, αλλά με ποιο τρόπο υπάρχουν. Γιατί χρειαζόμαστε τα μαθηματικά αντικείμενα και σε ποιου πράγματος την εξήγηση βοηθούν; Όσον αφορά στην ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων, αυτά ενυπάρχουν στα αισθητά αντικείμενα και όχι έξω από αυτά. Φαίνεται πως ο Αριστοτέλης υπονοούσε κάποια νοητική ικανότητα αφαίρεσης, με τη βοήθεια της οποίας για παράδειγμα αν επικεντρωθούμε στην επιφάνεια μιας από τις πλευρές ενός κύβου από πάγο, αποκτούμε την έννοια του επιπέδου. Αντίστοιχα οι φυσικοί αριθμοί κατακτώνται μέσω αφαιρέσεως, από συλλογές φυσικών αντικειμένων. Αυτό που μένει είναι μια εξήγηση της λειτουργίας της
αφαίρεσης.
Η αφαίρεση έτσι όπως τουλάχιστον την χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης έχει επικριθεί αρκετά συχνά, όπως τον 20ο αιώνα από τον λογικολόγο Gottlob Frege.
Μια δεύτερη ερμηνεία των θέσεων του Αριστοτέλη απορρίπτει την οντολογική αφαίρεση. Αν παραλείψουμε κάποιες ιδιότητες πχ μιας σφαίρας από ορείχαλκο, για να μελετήσουμε κάποιες ιδιότητες της σφαίρας δεν δημιουργούμε κάποιο καινούργιο αντικείμενο, μελετάμε συγκεκριμένες όψεις αυτού του φυσικού αντικειμένου. Παρόλα αυτά ο Αριστοτέλης θεωρούσε αβλαβές να προσποιηθούμε ότι το γεωμετρικό στερεό σφαίρα είναι ένα ξεχωριστό αντικείμενο.

Τελικά κατά τον Αριστοτέλη ο μαθηματικός μελετά πραγματικές ιδιότητες πραγματικών φυσικών αντικειμένων, δεν υπάρχουν δύο κόσμοι ο φυσικός και ο μαθηματικός.
Μια άλλη διαφορά μεταξύ Αριστοτέλη και Πλάτωνα είναι ότι για τον πρώτο έχει νόημα η δυναμική γλώσσα της γεωμετρίας αφού η μετακίνηση ο τετραγωνισμός η επίθεση η
πρόσθεση κλπ αφορά φυσικά αντικείμενα.
Υπάρχει και η άποψη πως η συνεχής αφαίρεση από τα πραγματικά αντικείμενα, όπως η αφαίρεση των ατελειών αλλά και του υλικού από το οποίο αποτελούνται, οδηγούν από την
πίσω πόρτα σε ένα κόσμο ιδεών σαν και αυτό του Πλάτωνα.

Συμπεράσματα

Η μεγάλη σημασία που δίνεται στον Πλάτωνα είναι δικαιολογημένη. Κατά τον Gödel ο πλατωνισμός είναι η μόνη ολοκληρωμένη απάντηση στο μεταφυσικό πρόβλημα της ύπαρξης ή μη των μαθηματικών οντοτήτων. Από ψυχολογική άποψη ο πλατωνισμός είναι κοντύτερα στον μαθηματικό, παρά σε οποιονδήποτε άλλο επιστήμονα των φυσικών επιστημών, αφού το αντικείμενο του πρώτου δεν έχει τον υλικό χαρακτήρα των υπό εξέταση αντικειμένων των δευτέρων.
Τέλος υπάρχει μια αισθητή διαφορά στην αντιμετώπιση των μαθηματικών από τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη. Ο Αριστοτέλης σε αντίθεση με τον Πλάτωνα πίστευε ότι τα μαθηματικά δεν έχουν ηθικό περιεχόμενο, γιατί δεν αναφέρονται σε πράξεις που γίνονται με ελεύθερη επιλογή.

Άλυτα μαθηματικά προβλήματα

 Τον τελευταίο καιρό είδαμε να λύνονται δύο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα άλυτα για δεκάδες χρόνια. Το ένα είναι η Εικασία του Poincare που θεωρείται πλέον επαληθευμένη από τον Ρώσο Grigori Perelman (που αρνήθηκε το χρηματικό έπαθλο των 1.000.000 $ και δήλωσε ότι δεν γνωρίζει μαθηματικά και ότι θα τα παρατήσει!!). Το άλλο είναι η απεικόνιση μιας τεράστιας και πολύπλοκης μαθηματικής δομής, που έχει 248 διαστάσεις και αποκαλείται Ε8, από μια διεθνή ομάδα μαθηματικών. Και τα δύο είχαν μείνει αναπάντητα εδώ και έναν αιώνα περίπου. 

 Λίγα λόγια για την "Υπόθεση του Πουανκαρέ"

Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται για το ακριβές σχήμα των στερεών σωμάτων (σφαίρα, κύβος, πυραμίδα κ.λπ.), αλλά για τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους, π.χ. αν είναι συμπαγή ή αν έχουν τρύπες. Οι εφαρμογές αυτού του σχετικά νέου κλάδου των Μαθηματικών είναι εξαιρετικά σημαντικές σε τομείς όπως τα δίκτυα υπολογιστών και συγκοινωνιών, όπου δεν μας ενδιαφέρουν τα ακριβή σχήματα, αλλά οι «κόμβοι» και οι διασυνδέσεις (σκεφθείτε, για παράδειγμα, το λειτουργικό διάγραμμα του μετρό, που δεν απεικονίζει ακριβώς τη γεωγραφία της πόλης, αλλά μας επιτρέπει εύκολα να βρούμε τον δρόμο μας).
Σε χοντρικές γραμμές, η υπόθεση Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή «πολλαπλότητες» σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι. Π.χ., ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον «πλάσουμε» σε στυλ σφαίρας, ενώ ένα ντόνατ δεν είναι, γιατί έχει τρύπα στη μέση.
Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατ με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «ισημερινό» στον «πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου.
Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατ, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατ, χωρίς να σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσότερων των τεσσάρων διαστάσεων. Αγνωστο παρέμενε, όμως, μέχρι την εμφάνιση του Πέρελμαν στη σκηνή, εάν η αρχική Υπόθεση του Πουενκαρέ ισχύει. Αν η απόδειξη του Ρώσου μαθηματικού στέκει (που στέκει...), τότε θα έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στον τομέα του σχεδιασμού και της κατασκευής ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, αλλά και συγκοινωνιακών δικτύων.
O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «ο τελευταίος αναγεννησιακός άνθρωπος», ένας μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως την ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής και πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα».

Τα 6 Άλυτα μαθηματικά προβλήματα  που απομένουν είναι:

1. Υπόθεση του Riemann: Υπάρχει συστηματικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών - παραμένει άλυτη 148 χρόνια 

Η ακολουθία των πρώτων αριθμών αρχίζει με τους 2,3, 5, 7 και 11. Όσο προχωράει κανείς στην ακολουθία, η συχνότητα τους μειώνεται, αλλά η κατανομή τους δεν παύει να παρουσιάζει μια συστηματοποίηση, που είναι γνωστή εδώ και αιώνες. Υπάρχουν, ωστόσο, μικρές παρεκκλίσεις, και το 1859 ο Bemhard Riemann υπέθεσε ότι θα μπορούσε να τις περιγράψει επακριβώς, αν κατάφερνε να αποδείξει την ύπαρξη μιας ξεχωριστής ιδιότητας για τις τιμές που μηδενίζουν μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Πιο συγκεκριμένα, μια μιγαδική συνάρτηση που λέγεται ζήτα συνάρτηση του Riemann ζ(s), ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που είναι διάφοροι του 1. Η συνάρτηση αυτή μηδενίζεται για όλους τους άρτιους αρνητικούς αριθμούς. Δηλαδή για s=-2, s=-4, s=-6 κλπ. Οι τιμές αυτές μηδενισμού είναι οι τετριμμένες της λύσεις. H υπόθεση του Riemann αφορά τις μη τετριμμένες λύσεις και ισχυρίζεται ότι το πραγματικό μέρος όλων των μη τετριμμένων λύσεων που μηδενίζουν την ζήτα-συνάρτηση είναι το 1/2.  Η υπόθεση έχει επαληθευτεί για τις πρώτες 1.500.000.001 λύσεις, αλλά εξακολουθεί να λείπει η τελική απόδειξη.

2. Εικασία του Hodge: Μπορούν τα σχήματα να εξηγηθούν γεωμετρικά; - παραμένει άλυτη 70 χρόνια

Στον 20ο αιώνα οι μαθηματικοί ανακάλυψαν κάποιους δυναμικούς τρόπους για να ερευνήσουν τα σχήματα που είχαν κάποια πολύπλοκα αντικείμενα. Στην τεχνολογία π.χ. τρισδιάστατων γραφικών χρησιμοποιούνται απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία (κύκλοι, τρίγωνα και τετράγωνα) για να δημιουργηθούν πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις - όπως, π.χ., η Lara Kraft στο Tomb Raider.
Η βασική ιδέα που είχε τη δεκαετία του 1930 (πολύ πριν εμφανιστούν τα ηλεκτρονικά παιγνίδια), ο Σκωτσέζος μαθηματικός William Hodge είναι ήταν να αναρωτηθεί μέχρι ποιο σημείο μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου, συγκολλώντας απλούς γεωμετρικούς δομικά στοιχεία με όλο και μεγαλύτερο μέγεθος. Το ερώτημα μάλιστα αυτό τέθηκε όχι μόνο για τον 3-διάστατο κόσμο αλλά και για περισσότερες διαστάσεις.
Η τεχνική αυτή της συγκόλλησης αποδείχτηκε μεγάλης χρησιμότητας, ώστε να γενικευτεί κατά πολλούς τρόπους και να μας δώσει προοδευτικά ισχυρά εργαλεία με τα οποία οι μαθηματικοί πέτυχαν την ταξινόμηση των διαφόρων σχημάτων που συναντούσαν κατά τις έρευνές τους.
Ατυχώς, οι γεωμετρικές καταβολές αυτής της διαδικασίας έγιναν τελείως δυσδιάκριτες καθώς εξελισσόταν η γενίκευση αυτή. Κατά κάποια έννοια, χρειαζόταν να προσθέσουμε κομμάτια που δεν είχαν καμιά γεωμετρική σημασία.
Η εικασία του Hodge ισχυρίζεται ότι για μερικούς ιδιαίτερης μαθηματικής κομψότητας χώρους, που λέγονται προβολικές αλγεβρικές κλάσεις, τα κομμάτια που χρειάζονται να συγκολληθούν και αποκαλούνται κύκλοι Hodge είναι  ρητοί γραμμικοί συνδυασμοί κομματιών που έχουν γεωμετρική σημασία και λέγονται αλγεβρικοί κύκλοι.  

3. P versus NP: Υπάρχει μια ιδανική διάταξη συνδαιτυμόνων; - παραμένει άλυτη 30 χρόνια

Υποθέστε ότι πρέπει να κάνετε μια λίστα για το πώς θα καθίσουν οι καλεσμένοι σε ένα μεγάλο εορταστικό δείπνο. Έχετε 400 άτομα στον κατάλογο σας, αλλά πρέπει να επιλέξετε μόνο 100 από αυτούς, καθώς δεν υπάρχει χώρος για περισσότερους. Επίσης, έχετε άλλη μια λίστα από ζεύγη αυτών των ανθρώπων, κι έτσι κανένα από αυτά τα ζευγάρια δεν πρέπει να εμφανιστεί στον τελικό κατάλογο των καλεσμένων που θα καθίσουν στο τραπέζι.

Το πρόβλημα αυτό είναι ένα παράδειγμα από αυτά που η πληροφορική αποκαλεί ΝΡ προβλήματα. Είναι εύκολο να ελέγξουμε αν μια συγκεκριμένη λίστα 100 ατόμων από τους 400 ικανοποιεί το κριτήριό μας να μην υπάρχουν ασύμβατα μεταξύ τους ζευγάρια στο τραπέζι. Το να δημιουργήσουμε όμως εμείς μια τέτοια λίστα από τους 400 είναι τόσο δύσκολο που μοιάζει να μην  είναι πρακτικά δυνατόν. Μάλιστα, ο αριθμός των εναλλακτικών τρόπων που μπορούμε να πάρουμε 100 καλεσμένους από τους 400 είναι μεγαλύτερος από το σύνολο των ατόμων που υπάρχουν στο σύμπαν, γι' αυτό και το πρόβλημα δε θα μπορούσε να λυθεί ούτε καν με τη βοήθεια του ισχυρότερου υπερυπολογιστή στον κόσμο.

Μπορεί όμως η δυσκολία αυτή να δείχνει απλά ότι προσεγγίζουμε προγραμματιστικά το πρόβλημα με λάθος μέθοδο. Υπάρχει άραγε ένας έξυπνος τρόπος να λυθεί το πρόβλημα; Το πρόβλημα αυτού του τύπου, «Ρ versus ΝΡ» -όπως λέγεται- εμφανίστηκε τη δεκαετία του 1970.  Οι Stephen Cook και Leonid Levin διατύπωσαν αυτό το πρόβλημα όπου το Ρ σημαίνει εύκολο να βρεθεί λύση και το ΝΡ σημαίνει εύκολο να ελεγχθεί, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο κατά το 1971. Γενικά, έχει να κάνει με το αν όντως υπάρχουν προβλήματα τα οποία είναι εύκολο να ελεγχθούν αλλά πρακτικά αδύνατο να λυθούν με άμεσες αλγοριθμικές διαδικασίες.

Για προβλήματα όπως το παραπάνω, κανείς μέχρι σήμερα δεν έχει καταφέρει να δείξει ότι η λύση τους δεν είναι εφικτή με κατάλληλη προγραμματιστική μέθοδο.
Το πρόβλημα «Ρ versus NP» είναι θεμελιώδες για την ασφάλεια των υπολογιστών. Κι αυτό γιατί, όταν κρυπτογραφούνται ψηφιακά οι χρηματικές συναλλαγές, χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι των οποίων η λύση ελέγχεται εύκολα αλλά δύσκολα βρίσκεται - μεταξύ άλλων, με κλειδιά κρυπτογράφησης που περιέχουν πρώτους αριθμούς. Αν αποδειχθεί ότι ένας ικανός προγραμματιστής μπορεί να βρει ένα σύντομο δρόμο για τη λύση τους, τότε το «σπάσιμο» της κρυπτογράφησης των πληρωμών με πιστωτικές κάρτες ίσως καταστεί εφικτό.

4. Εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer: Πόσες ακέραιες λύσεις έχει π.χ. η εξίσωση 
x² + y² = z²; Παραμένει άλυτη 40 χρόνια...

Οι μαθηματικοί γοητεύονταν πάντα από την εύρεση όλων των λύσεων στο πεδίο των ακεραίων αριθμών, εξισώσεων όπως η παρακάτω  x² + ψ² = z²,    όπου οι x, ψ και z είναι ακέραιοι αριθμοί. Μια λύση είναι η 3² + 4²=5². Εδώ και πάνω από 2.000 χρόνια, ο Ευκλείδης Βρήκε ένα γενικό τύπο που δίνει όλες τις πιθανές λύσεις (είναι άπειρες), αλλά σε πιο περίπλοκες εξισώσεις η εύρεση όλων των λύσεων είναι πράγμα εξαιρετικά δύσκολο. Στα 1970 ο Yu. V. Matiyasevich έδειξε ότι το 10ο πρόβλημα του Hilbert είναι αδύνατο. Δηλαδή έδειξε ότι δεν υπάρχει γενική μέθοδος που να μας δείχνει πότε οι εξισώσεις αυτές έχουν λύση στο πεδίο των ακεραίων αριθμών.

Ωστόσο, είναι σημαντικό να μπορεί κανείς να εκτιμήσει αν υπάρχει ένας πεπερασμένος ή άπειρος αριθμός λύσεων με ακέραιους αριθμούς για μια δεδομένη εξίσωση.
Ας πάρουμε για παράδειγμα τις λεγόμενες ελλειπτικές καμπύλες. Βασικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι πρόκειται για αλγεβρικές εξισώσεις σαν την παρακάτω  y² = x³ + ax + b, που ορίζουν επιφάνειες στο χώρο με μορφή σαμπρέλας.  

Κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι μια αβελιανή ομάδα και τα σημεία πάνω σ' αυτήν με συντεταγμένες ρητούς αριθμούς σχηματίζουν μια υποομάδα. Πότε υπάρχουν άπειρα τέτοια ρητά σημεία; Στα 1965 οι Birch και Swinnerton-Dyer ισχυρίστηκαν ότι υπάρχει ένα κριτήριο που περιλαμβάνει ένα μαθηματικό αντικείμενο που λέγεται L-συνάρτηση της ελλειπτικής καμπύλης.  Η εικασία των  Birch-Swinnerton-Dyer λέει ότι L(1) = 0 αν και μόνο αν η ελλειπτική καμπύλη έχει άπειρα ρητά σημεία. Αν δηλαδή L(1) = 0 τότε υπάρχουν άπειρα ρητά σημεία επί της καμπύλης ή με άλλα λόγια άπειρες λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. Ενώ αντίστροφα αν L(1) δεν ισούται με μηδέν τότε υπάρχει μόνο πεπερασμένος αριθμός ρητών λύσεων της εξίσωσης.

Αν μπορούσε να αποδειχτεί αυτή η εικασία θα έριχνε πολύ φως και στη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων, μια από τις οποίες ανάγεται στον 10ο αιώνα μ.Χ. και στην οποία ζητείται να βρεθούν ποιοι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να εμφανιστούν ως εμβαδά ορθογωνίων τριγώνων, των οποίων οι πλευρές έχουν ως μήκη ρητούς αριθμούς.

5. Το χάσμα μάζας στη θεωρία Yang-Mills: Παραμένει μαθηματικά αναπόδεικτο εδώ και 43 χρόνια

Οι νόμοι της κβαντικής φυσικής αποτελούν για τον κόσμο των στοιχειωδών σωματίων ότι οι νόμοι του Νεύτωνα για την κλασσική μηχανική του μακροσκοπικού κόσμου.Περίπου μισό αιώνα πριν, οι φυσικοί Chen Ning Yang και Robert Mills παρουσίασαν ένα νέο πλαίσιο για τη περιγραφή των στοιχειωδών σωματιδίων. Σ' αυτό χρησιμοποίησαν δομές που συναντάμε επίσης και στην γεωμετρία.

Η θεωρία Yang-Mills, όπως είναι γνωστή, αποτελεί πλέον τη βάση σχεδόν όλου του οικοδομήματος της σύγχρονης φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων, σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο. Το Καθιερωμένο Πρότυπο περιγράφει τις τρεις από τις τέσσερις αλληλεπιδράσεις που υπάρχουν στη φύση, δηλαδή τις ηλεκτρομαγνητικές, τις ασθενείς (αυτοί οι δύο τύποι αλληλεπιδράσεων έχουν ενοποιηθεί ως ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις) και τις ισχυρές, που περιγράφονται από την κβαντική χρωμοδυναμική. Οι προβλέψεις της έχουν ελεγχθεί σε πολλά εργαστήρια αλλά παρόλα αυτά το μαθηματικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο βασίζεται η θεωρία Yang-Mills παραμένει ασαφές.

Πιο συγκεκριμένα, η επιτυχής χρήση της θεωρίας Yang-Mills για την περιγραφή των ισχυρών αλληλεπιδράσεων εξαρτάται από μια λεπτή κβαντομηχανική ιδιότητα που είναι γνωστό τεχνικά ως χάσμα μάζας. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει η πιο ελαφριά κατάσταση του ενός σωματιδίου ενός κβαντικού πεδίου στις 4 διαστάσεις, να έχει αυστηρά θετική μάζα.   Η ιδιότητα αυτή δεν έχει αποδειχτεί ακόμα μέσα στα πλαίσια της αυστηρής μαθηματικής θεμελίωσης της θεωρίας. 

6. Εξισώσεις Navier-Stokes: Μπορούν να περιγραφούν τα κύματα; παραμένει άλυτη εδώ και 150 χρόνια

Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι ένα σύνολο εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν την κίνηση των ρευστών όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Οι εξισώσεις αυτές μας λένε πως οι μεταβολές στην ορμή ενός απειροστού όγκου του ρευστού είναι απλά το αθροιστικό αποτέλεσμα των δυνάμεων ιξώδους του ρευστού, των μεταβολών της πίεσης, της βαρύτητας και των άλλων δυνάμεων που δρουν εντός του ρευστού. Πρόκειται στην ουσία για εφαρμογή του 2ου νόμου του Νewton στα ρευστά. Αφορούν δηλαδή τη δυναμική της αλληλεπίδρασης της αδράνειας του ρευστού με τις διάφορες δυνάμεις που δρουν σε μια περιοχή του ρευστού.
Είναι από τα πιο χρήσιμα σύνολα εξισώσεων γιατί εφαρμόζονται σε μοντέλα καιρού, μοντέλα ωκεάνιων ρευμάτων, ροή ρευστών σε σωλήνες, ροή αέρα γύρω από πτέρυγες αεροπλάνων και ανεμογενητριών, κίνηση άστρων μέσα στο γαλαξία κ.ο.κ.  Σε συνδυασμό εξάλλου με τις εξισώσεις Maxwell μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κάνουμε εξομοιώσεις και μα μελετήσουμε μοντέλα μαγνητοϋδροδυναμικής.

Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση δηλαδή με τις αλγεβρικές εξισώσεις δεν μας δείχνουν εκπεφρασμένα μια σχέση μεταξύ των μεγεθών που μας ενδιαφέρουν (π.χ. μεταξύ ταχύτητας και πίεσης) αλλά περιγράφουν σχέσεις μεταξύ των ρυθμών μεταβολής ή μεταξύ των ροών των διαφόρων μεγεθών. Με όρους μαθηματικούς λέμε ότι οι εξισώσεις αυτές περιέχουν σχέσεις μεταξύ των παραγώγων των διαφόρων μεγεθών. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις Navier-Stokes για την πιο απλή περίπτωση ενός ιδανικού ρευστού (χωρίς ιξώδες) μας λέει ότι η επιτάχυνση δηλ. η παράγωγος της ταχύτητας είναι ανάλογη με τη βαθμίδα (δηλ. την παράγωγο ως προς τις 3 χωρικές συντεταγμένες) της εσωτερικής πίεσης του ρευστού.

Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μόνο οι πιο απλές περιπτώσεις αυτών των εξισώσεων μπορούν να λυθούν μέσα στα πλαίσια του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού και να μας οδηγήσουν σε ακριβείς λύσεις. Οι περιπτώσεις αυτές γενικά περιλαμβάνουν μόνο ροή χωρίς στροβίλους σε μόνιμες καταστάσεις. Δηλαδή καταστάσεις που δεν αλλάζουν με τον χρόνο. Στις καταστάσεις αυτές είτε το ιξώδες του ρευστού είναι πολύ μεγάλο, είτε η ταχύτητα ροής πολύ μικρή.

Για πιο περίπλοκες καταστάσεις, όπως είναι τα παγκόσμια συστήματα καιρού σαν το φαινόμενο El Nino, οι λύσεις των εξισώσεων Navier-Stokes πρέπει να βρεθούν με τη βοήθεια υπολογιστών. Πράγματι, έχει αναπτυχθεί μια ποικιλία υπολογιστικών προγραμμάτων που χρησιμοποιούν αριθμητικές μεθόδους για τη λύση των εξισώσεων Navier-Stokes.  Η προσέγγιση αυτή της αντιμετώπισης του ζητήματος είναι γνωστή ως Υπολογιστική Δυναμική των Ρευστών (CFD). Αν και θεωρητικά η CFD δουλεύει σε κάθε περίπτωση ροής, πολλές συνηθισμένες περιπτώσεις ροής όπως είναι η ροή γύρω από μια πτέρυγα αεροπλάνου, περιέχει τόσο πολλές λεπτομέρειες που κανένα πρόγραμμα υπολογιστή δεν μπορεί να λύσει το πρόβλημα σε λογικό χρονικό διάστημα.

Το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων του ινστιτούτου Clay, θα δοθεί σε όποιον κάνει μια σοβαρή πρόοδο προς μια μαθηματική θεωρία που θα βοηθήσει στην κατανόηση και το ξεπέρασμα των δυσκολιών που κρύβουν αυτές οι μαθηματικές εξισώσεις.

Πηγές: Δίκτυο, Science Illustrated

Μαθηματική εξίσωση ανακαλύπτει … aliens!

Βρετανοί αστροβιολόγοι προσπαθούν να φτιάξουν μία εξίσωση η οποία θα αποκαλύπτει πόσοι πλανήτες είναι ικανοί να φιλοξενήσουν ζωή, καθώς και αν εμείς θα μπορούσαμε να μετοικήσουμε σε αυτούς.

Αν υπάρχουν δηλαδή οι κατάλληλες συνθήκες ώστε να μπορέσει να επιβιώσει εκεί ο ανθρώπινος οργανισμός. Η νέα εξίσωση διαφέρει από την προϋπάρχουσα εξίσωση του Ντρέικ που υπολογίζει πόσοι εξωγήινοι πολιτισμοί μπορεί να υπάρχουν, χωρίς όμως να παρέχει πληροφορίες για το κατά πόσο οι συνθήκες είναι κατάλληλες για τον άνθρωπο.



Το θέμα είχε παρουσιαστεί στο Ευρωπαϊκό Συνέδριο Πλανητικής Επιστήμης που έγινε πρόσφατα στο Πότσνταμ της Γερμανίας, και εμπνευστές του ήταν οι Axel Hagermann και Charles Cockell, επιστήμονες που μελετούν τους πλανήτες στο Ανοικτό Πανεπιστήμιο της Βρετανίας.

Ο σκοπός τους είναι να δημιουργήσουν έναν ενιαίο δείκτη που θα φανερώνει αν ένας πλανήτης είναι ικανός να φιλοξενήσει ζωή ή όχι. Πώς θα το κάνουν αυτό; Συγκεντρώνοντας όλα εκείνα τα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την ύπαρξη ζωής.

Έχουν καταλήξει σε τρία βασικά: 
1. την παρουσία νερού σε υγρή μορφή,  
2. την ύπαρξη χημικών ενώσεων των οποίων ο συνδυασμός οδηγεί σε οργανικές αντιδράσεις και 
3. την ύπαρξη πηγής ενέργειας που θα είναι κατάλληλη για να λειτουργεί σαν καύσιμο στις αντιδράσεις.

Βασικό ερώτημα παραμένει όμως, αν είναι δυνατόν να ποσοτικοποιηθούν οι παράγοντες για μετοίκηση σε άλλο πλανήτη σε τέτοιο βαθμό που ο κάθε πλανήτης να έχει το δικό του δείκτη μετοίκησης.

Μάλιστα ο Hagermann, υποστήριξε κατά τη διάρκεια του συνεδρίου: «Το πρόβλημα της μέτρησης της μετοίκησης σε έναν άλλον πλανήτη είναι όλο και πιο περίπλοκο και όλο και πιο ενδιαφέρον».

Ο διαχωρισμός βέβαια του σύμπαντος σε κατοικήσιμες και μη κατοικήσιμες ζώνες δεν είναι κάτι εύκολο, γιατί συνεχώς ανακαλύπτονται οργανισμοί που είναι εχθρικοί για τη ζωή. Πάνω σε αυτό, ο Hagermann ανέφερε το εξής απλό παράδειγμα:

«Αν επικεντρωθεί κάποιος στο πώς το φως από ένα αστέρι θα μπορούσε να βοηθήσει ή να εμποδίσει την ανάπτυξη της ζωής, θα διαπιστώσει ότι ενώ τα ορατά και τα υπέρυθρα μήκη κύματος είναι σημαντικά στοιχεία για την ύπαρξη ζωής, διεργασίες όπως οι υπεριώδεις ακτίνες-Χ είναι επιβλαβείς».

Και συνεχίζει : «Αν μπορείτε να φανταστείτε έναν πλανήτη με μια λεπτή ατμόσφαιρα που επιτρέπει να εισέρχονται ορισμένες από αυτές τις επιβλαβείς ακτινοβολίες, θα πρέπει να υπάρχει κάτι στο έδαφος, όπου η «κακή» ακτινοβολία θα αποβάλλεται ενώ η «καλή» θα μπορεί να διεισδύσει».

Ο ερευνητής, διατηρώντας την ελπίδα ότι η εξίσωσή του θα βοηθήσει τους συναδέλφους του και κυρίως τους αστροβιολόγους να κατανοήσουν τι ακριβώς ψάχνουν όταν αναζητούν τη ζωή σε άλλους πλανήτες, λέει σχετικά με το εύρημά του:

“Νιώθω σαν να ψάχνουμε μέσα σε μια εργαλειοθήκη. Έχουμε ένα πρόβλημα: ενώ έχουμε την εργαλειοθήκη, προσπαθούμε να καταλάβουμε ποιο εργαλείο θα χρησιμοποιηθεί πού!”.

Γρίφος από τον ζωγράφο Nikolay Bogdanov-Belsky

Αυτός ο γρίφος προέρχεται από το Ρώσο ζωγράφο Nikolay Bogdanov-Belsky. Δείτε στην παρακάτω εικόνα τον γρίφο που είναι γραμμένος στον πίνακα.

Οι μαθητές προβληματίζονται πως πόσο κάνει η αριθμητική παράσταση, αφού δεν επιτρέπεται η χρησιμοποίηση του υπολογιστή, πρέπει να γίνουν όλες οι πράξεις με το μυαλό!

Προκύπτει εύκολα με γνώσεις Γυμνασίου...

Εσείς βρήκατε πόσο κάνει η παράσταση: 102+112+122+132+142365
(χωρίς υπολογιστή τσέπης ή πράξεις);