Πλούτος και ιστορικότητα των μαθηματικών εννοιών: Το παράδειγμα της γωνίας *

* Στα πλαίσια της σειράς των διαλέξεων της Επιστημονικής Ένωσης για την Διδακτική των Μαθηματικών έδωσα μια διάλεξη στις 15-1-2009, με τίτλο Γεωμετρία, έννοιες και σχέσεις, γνωστό και άγνωστο – και επωφελούμαι εδώ για να ευχαριστήσω τους οργανωτές για την πρόσκλησή τους. Το κείμενο που ακολουθεί βασίζεται σ’ αυτήν, είναι όμως αρκετά τροποποιημένο: Θεώρησα σκόπιμο να αναπτύξω περισσότερο το γενικό μέρος, οπότε, χάριν συντομίας, παρέλειψα το δεύτερο παράδειγμα που αφορούσε τον κύκλο. Στην τελική γραφή με βοήθησαν κάποιες παρατηρήσεις του Άρη Αραγεώργη, τον οποίον επίσης ευχαριστώ.

///////////

Abstract: We deal with wealth and historicity of mathematical concepts and specify these considerations on the example of the angle. By wealth we qualify the different aspects of a given term in distinct theoretical contexts, the various different roles that it can assume. Considerations on historicity lead to the distinction between the overall (public) history of mathematical science and the subjective history of learning Mathematics by each individual, as well as the distinction among those and a kind of structural, non-temporal (synchronic) “historicity”, which incorporates all actual reformulations. Any mathematical concept fits in these considerations and may be studied accordingly.

//////////////

Έννοιες και σύμβολα

Είναι γενικά παραδεκτό πως τα Μαθηματικά ασχολούνται με σύμβολα και με έννοιες. Τα δύο αυτά συνδέονται: τα σύμβολα χρησιμεύουν για να αποδώσουν τις έννοιες, είναι κατά κάποιον τρόπο συντομογραφίες. Με τον ίδιο τρόπο που οι έννοιες αποδίδονται γραπτά στις διάφορες γλώσσες: η έννοια «δέντρο» αποδίδεται από το σύμβολο (σύμπλεγμα γραμμάτων, λέξη) δέντρο στα ελληνικά, το tree στα αγγλικά, το αντίστοιχο ιδεόγραμμα στα κινέζικα. Η έννοια, σε πρώτη προσέγγιση τουλάχιστον, μπορεί να είναι η ίδια σε διάφορες γλώσσες, ενώ ο ήχος που τη συμβολίζει παρουσιάζει μεγάλη ποικιλομορφία – και η γραφή επίσης[1].

Η σχέση έννοιας και συμβόλου στα Μαθηματικά είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, αλλά δεν θα είναι το αντικείμενο αυτής της ομιλίας. Γι’ αυτό θα είμαι τελείως περιληπτικός, κυρίως για να εξηγήσω γιατί εστιάζω στις έννοιες και όχι στα σύμβολα.

Υπέρ της θέσης ότι οι έννοιες προηγούνται ενώ τα σύμβολα έπονται[2], αρκούν δύο λόγοι: αφενός διότι αυτό συμβαίνει στο προεπιστημονικό στάδιο των Μαθηματικών, είτε στις γλώσσες που δεν διαθέτουν γραφή, είτε στην προσχολική ηλικία όπου μαθαίνει κανείς να μετράει με τα δάχτυλα πολύ πριν διδαχθεί τα σύμβολα «1,2,3,…». Αφετέρου, διότι ενώ όλα τα σύμβολα παριστάνουν έννοιες, υπάρχουν έννοιες που δεν παρασταίνονται με σύμβολα. Για παράδειγμα, η έννοια της συνάρτησης: υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν όνομα και θεσμοθετημένο σύμβολο (διπλάσιο, αντίθετο, αντίστροφο, ημιδιπλάσιο, εκθετική, συνημίτονο, κτλ.), όπως ακριβώς και αριθμοί (1, 2, π, ½, i, κτλ.). Λέμε και γράφουμε «η συνάρτηση Φ», και κατόπιν «η Φ», όπου το σύμβολο «Φ» συμβολίζει κάποια συνάρτηση, είτε απροσδιόριστη (πρόκειται δηλαδή για μια μεταβλητή που παίρνει τιμές σε κάποιο σύνολο συναρτήσεων), είτε καθορισμένη εντός κειμένου, π.χ. διπλάσιο συν πέντε, ή Φ(x)=2x+5× όχι όμως την έννοια «συνάρτηση». Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο, αφού ονομάζουμε ένα σκύλο «Φλοξ», μετά λέμε «ο Φλοξ» και δεν εννοούμε ο σκύλος εν γένει.

Ας μη θεωρηθεί ότι τα παραπάνω δηλώνουν ότι είμαστε εναντίον των συμβόλων. Κάτι τέτοιο θάταν τουλάχιστον γελοίο. Τα σύμβολα είναι απαραίτητα. Από τη στιγμή μάλιστα που οι στοιχειώδεις αρχές της λογικής έχουν κωδικοποιηθεί ικανοποιητικά, ο έλεγχος των μαθηματικών αποδείξεων είναι στην ουσία ένας απλός συντακτικός (δηλαδή μηχανικός, αυτοματοποιημένος, αλγοριθμικός) έλεγχος[3]. Και εφόσον αποδεχτούμε ότι το περιεχόμενο μιας θεωρίας είναι το άπειρο σύνολο των προτάσεων που παράγονται από τις αρχικές, τηρώντας τους συντακτικούς κανόνες και με όλους τους δυνατούς συνδυασμούς, έχουμε Μαθηματικά ανεξάρτητα από κάθε νοηματικό περιεχόμενο, τα οποία όμως είναι πολύ αμφίβολο αν εντάσσονται στη σφαίρα της ανθρώπινης δραστηριότητας.

Δεν νομίζω ότι ο παραπάνω «καθαρός φορμαλισμός» οδηγεί πουθενά. Αν πάρουμε κατά γράμμα τη δήλωση του Χίλμπερτ, ότι η Γεωμετρία για να είναι ορθή, πρέπει να παραμένει ορθή αν αντικαταστήσουμε τις έννοιες σημείο, ευθεία, επίπεδο με μπυροπότηρα, καρέκλες, τραπέζια, καταλήγουμε σε προτάσεις του τύπου «Τρία μπυροπότηρα ορίζουν ένα και μόνο ένα τραπέζι, εκτός αν ανήκουν στην ίδια καρέκλα», κάτι που μάλλον στερείται ενδιαφέροντος. Η αξία του φορμαλισμού δεν έγκειται στο ότι μια θεωρητική δομή μπορεί να αναπαραχθεί σα χαλκομανία ανεξαρτήτως νοήματος. Αντίθετα, έγκειται στο ότι την ίδια δομή τη συναντάμε σε διαφορετικά εννοιολογικά υποστρώματα, επιτρέποντας έτσι γενικεύσεις και αλληλουχίες γενικεύσεων. Για παράδειγμα, άλλο τα μήκη, άλλο οι γωνίες, άλλο οι μιγαδικοί, άλλο οι συναρτήσεις. Όλα αυτά όμως μπορούν να προστεθούν, άρα η πρόσθεση είναι κοινή δομή σε διαφορετικά εννοιολογικά πεδία. Η κοινή δομή αναδεικνύεται εκ των υστέρων, και μπορεί να αναζητηθεί κατόπιν και αλλού.

Γλωσσικές και μαθηματικές έννοιες

Τα Μαθηματικά αναπτύσσονται ως επιστήμη μέσα στη γλώσσα, στην κάθε γλώσσα. Από την άλλη, κάθε γλώσσα περιέχει μαθηματικές έννοιες σε προεπιστημονικό επίπεδο[4] (αριθμούς, σχήματα, συγκρίσεις μεγεθών, κτλ), οι οποίες συχνότατα χρησιμοποιούνται αυτούσιες ως λέξεις στη μαθηματική θεωρία. Βεβαίως, στη μαθηματική επιστήμη οι νέοι όροι εισάγονται με τη σέσουλα, οπότε είτε χρησιμοποιούνται νεολογισμοί (όπως πληθάριθμος, λογάριθμος, ερμιτιανός, κτλ.) είτε δανεικές λέξεις από τη γλώσσα, αλλά με σαφώς διαφορετικό περιεχόμενο: Τα επίθετα πραγματικός, φανταστικός, μιγαδικός, έχουν τελείως διαφορετική σημασία όταν προσδιορίζουν αριθμούς σε μαθηματικές προτάσεις, απ’ ότι στην κοινή γλώσσα[5].

Αλλά ακόμα κι εκεί όπου τα Μαθηματικά υιοθετούν άμεσα προϋπάρχοντες όρους, όπως ευθεία, πρόσθεση, κύκλος, οι έννοιες αυτές υπόκεινται σε διαφορετικούς περιορισμούς από την κοινή γλώσσα: «ένας πλακουτσός κύκλος», «ένα μεταλλικό τρίγωνο», «ένα μαύρο εννιά», είναι εκφράσεις γλωσσικά παραδεκτές ενώ μαθηματικά στερούνται νοήματος.

Αυτό, γιατί στη γλώσσα των περίγραμμα των εννοιών δεν είναι ποτέ απολύτως προσδιορισμένο και μπορεί να μεταβάλλεται ανάλογα με διάφορους παράγοντες, όπως τα συμφραζόμενα. Μπορεί επίσης να αλλοιώνεται με σχήματα λόγου, μέχρι σημείου να σημαίνει ακριβώς το αντίθετο από τη συνηθισμένη χρήση: Τι σημαίνει το «ωραία» στη φράση «Ωραία μας τα ‘πες», ιδίως αν συνοδεύεται από ένα «δεν πας στο διάολο, λέω γω»;

Αντίθετα, στα μαθηματικά, κάθε έννοια έχει αυστηρά προσδιορισμένο περιεχόμενο, είτε είναι πρωταρχική, είτε εισαγόμενη με ορισμό[6]. Οι ιδιότητες κάθε έννοιας και οι συσχετίσεις της με άλλες είτε δίνονται εξαρχής, είτε αποδεικνύονται. Η μελέτη αυτών των ιδιοτήτων και συσχετίσεων συνιστά τη μαθηματική πρακτική. Η χρήση επομένως των εννοιών νοείται μόνον μέσα στα πλαίσια της δοσμένης μαθηματικής θεωρίας.

Καθώς η χρήση των εννοιών στα Μαθηματικά υπόκειται στους περιορισμούς που επιβάλλουν οι κανόνες, η εμβέλειά τους είναι κατά κάποιο τρόπο μικρότερη, η δυναμική τους κατά κάποιον τρόπο φτωχότερη απ’ ότι στην κοινή γλώσσα. Αυτό όμως δεν είναι απόλυτο. Εκτός από τελείως τετριμμένες θεωρίες (π.χ. ένα μαθηματικό σύμπαν με ένα μόνο στοιχείο), υπάρχει συνήθως αρκετό υλικό, ώστε στην ανάπτυξη της θεωρίας κάποιες έννοιες να χάνουν βασικά δομικά τους χαρακτηριστικά, και τελικά να σημαίνουν κάτι διαφορετικό απ’ ότι αρχικά σήμαιναν. Πιο γνωστό ως παράδειγμα, η έννοια του αριθμού, που αρχικά σήμαινε «φυσικός αριθμός», και αντίστοιχα του λόγου που ήταν αρχικά νοητός ως ρητός, και με την επέλαση του Ö2 (και όλων των ασυμμέτρων στη συνέχεια) τινάχτηκε στον αέρα. Μέχρι σημείου σήμερα η λέξη «αριθμός» να μην είναι κοινά αποδεκτός μαθηματικός όρος αν δεν συνοδεύεται από ένα προσδιοριστικό επίθετο. Παρόμοιο φαινόμενο θα διαπιστώσουμε διεξοδικότερα παρακάτω στο παράδειγμα της γωνίας. Και επειδή μεγάλο μέρος της μαθηματικής παραγωγής συνίσταται στη μελέτη εναλλακτικών ιδιοτήτων, τέτοια φαινόμενα κάθε άλλο παρά περιθωριακά είναι.

Θα ήταν τελείως άγονο να θεωρηθούν οι μαθηματικές έννοιες ως περιορισμένες στον ορισμό τους. Αρκεί να δούμε πως, όχι μόνο μια έννοια μπορεί να επιδέχεται διαφορετικούς ορισμούς ισοδύναμους μεταξύ τους (οπότε επιλέγεται ο ένας και κάθε άλλος συνιστά αναγκαία και ικανή συνθήκη), αλλά και ένα πλέγμα εννοιών μπορεί να αλλάξει σειρά: Για παράδειγμα, στη Γεωμετρία, το τρίγωνο μπορεί να οριστεί βάσει τριών σημείων ή τριών ευθειών. Επίσης, μπορεί να εισαχθεί ως πρωταρχική έννοια η ευθεία και να οριστεί κατόπιν το ευθύγραμμο τμήμα ως υποσύνολό της, ή αντίστροφα, το ευθύγραμμο τμήμα ως πρωταρχικό και η ευθεία ως προέκτασή του. Ως συναφής πρωταρχική έννοια αντί αυτών θα μπορούσε να εισαχθεί και η ημιευθεία (δεν έχω υπόψη μου τέτοιες θεωρήσεις, αλλά είναι σαφώς διατυπώσιμες). Προφανώς η επιλογή κάποιας εκδοχής από αυτές σε τίποτα δεν επηρεάζει τη μετέπειτα ανάπτυξη της θεωρίας[7].

Εφόσον λοιπόν οι μαθηματικές έννοιες καθορίζονται από το σύνολο των συσχετίσεών τους εντός θεωρίας, και μπορεί καθεμία, ανάλογα με το πλαίσιο, να παίξει διαφορετικούς ρόλους, είναι ακριβέστερο να πούμε πως η ποικιλία και ο πλούτος της μαθηματικής έννοιας είναι όχι φτωχότερος, αλλά μη συγκρίσιμος με αυτόν της γλωσσικής. Πράγματι, ενώ στα μαθηματικά δεν επιτρέπονται σχήματα λόγου έξω από την κυριολεξία, όταν μία έκφραση υφίσταται αλλοίωση νοήματος, αυτή πολιτογραφείται και συνοδεύει πλέον την έννοια, παρότι, σε ειδικές περιπτώσεις, η έννοια μπορεί να ξαναχρησιμοποιηθεί με το αρχικό της νόημα. Αντίθετα, στη γλώσσα, παρόλο που υπάρχει η ευφημιστική αντίφραση «Εύξεινος Πόντος» αντί «αφιλόξενη θάλασσα», ουδέποτε το «εύξεινος»  απέκτησε τη σημασία «αφιλόξενος», πάντα συνέχισε να σημαίνει «φιλόξενος».

Ιστορικότητα των μαθηματικών εννοιών

Η ένταξη των Μαθηματικών εννοιών σε μια θεωρία οδηγεί αναγκαστικά στην αποδοχή της ιστορικότητάς τους, και μάλιστα μιας ιστορικότητας τριπλής. Η πρώτη εκδοχή είναι η συλλογική ή δημόσια ιστορικότητα, αυτό που αποκαλούμε «Ιστορία των Μαθηματικών», και που συνιστά την εξέλιξη της μαθηματικής γνώσης στα πλαίσια μιας κοινότητας, ενός πολιτισμού, μεταξύ πολιτισμών ή και στο σύνολο της ανθρωπότητας. Μια δεύτερη ιστορικότητα είναι η υποκειμενική ιστορικότητα, που έχει να κάνει με την ανάπτυξη της μαθηματικής θεωρίας, την κατανόηση και τη χρήση της στο μυαλό του κάθε ανθρώπου (που ποικίλει σε έκταση: για κάποιους σταματάει στην πρόσθεση, για άλλους φτάνει μέχρι τα πιο σκληρά θεωρήματα), και προφανώς σχετίζεται άμεσα με τη διδασκαλία[8].

Εκτιμώ ότι μπορούμε να θεωρήσουμε και μια ιστορικότητα άλλου τύπου, δομική και άχρονη. Πράγματι, σε κάθε συγκεκριμένη χρονική στιγμή, μια μαθηματική κοινότητα (ή ένας άνθρωπος που καταπιάνεται με τα Μαθηματικά) έχει υπόψη της τη δεδομένη θεωρία, με τα αποτελέσματά της και τα ανοιχτά της προβλήματα, πάνω στην οποία δουλεύει. Η θεωρία αυτή έχει μια δομή, που καθορίζεται από τις συνεπαγωγές και τις ισοδυναμίες. Αλλά μία συνεπαγωγή ΑΒ σημαίνει ότι το Α προηγείται του Β μέσα στη δομή της θεωρίας, ανεξάρτητα αν το Α έχει διατυπωθεί πρώτο στον ιστορικό χρόνο ή όχι (προκειμένου για ένα άτομο, ανεξάρτητα του ποιο έμαθε πρώτα, το Α ή το Β). Κλασσικό παράδειγμα, η θεμελίωση της Αριθμητικής βάσει της Συνολοθεωρίας, όπου η διατύπωση της Θεωρίας Συνόλων ήταν ιστορικά κατά πολύ μεταγενέστερη της Αριθμητικής, κάτι που δεν εμπόδισε καθόλου τον Γκάους ή τον Φερμά να κάνουν ότι έκαναν. Δομική και χρονική ιστορικότητα δεν είναι κατ’ ανάγκη ταυτόσημες.

Δεδομένου ότι υπάρχουν συνεπαγωγές διπλής κατεύθυνσης, δηλαδή ισοδυναμίες, αυτές αντιστοιχούν στην ιστορική συγχρονία. Αλλά εκτός απ’ αυτό υπάρχουν και έννοιες ή αποτελέσματα που δεν μπορούν να συνδεθούν μεταξύ τους με αλυσσίδα βελών συνεπαγωγής (π.χ., δύο γωνίες μπορεί να έχουν κοινή κορυφή ανεξάρτητα από το αν είναι ίσες ή όχι). Ενώ δηλαδή ο χρόνος θεωρείται ως ένα ολικά διατεταγμένο σύνολο στιγμών, μία «ευθεία», μέσα στον οποίο συμβαίνουν τα γεγονότα σε αλληλουχία (ενδεχομένως με επικαλύψεις, δηλαδή συγχρονικά), η δομή μιας θεωρίας μοιάζει περισσότερο με ένα προσανατολισμένο και χρωματισμένο γράφημα, ή καλύτερα υπεργράφημα[9], που διαθέτει διάταξη αλλά όχι ολική[10]. Παρά τις διαφορές όμως, πιστεύω πως, το ότι η διάταξη, η δομική διαδοχή, αποτελεί ισχυρό – καθοριστικό μάλιστα – χαρακτηριστικό, μας επιτρέπει να χρησιμοποιούμε τον όρο δομική ιστορικότητα, όσο αδόκιμος κι αν φαίνεται σε πρώτη προσέγγιση[11].

Μέσα σ’ αυτή την ιστορικότητα, δημόσια ή ιδιωτική, χρονική ή δομική, ξετυλίγονται οι μαθηματικές έννοιες. Σε κάθε έννοια, μπορούμε να διακρίνουμε την προϊστορία της, τη γένεσή της που αντιστοιχεί στην πρώτη αναφορά της (τον ορισμό για τις μη πρωταρχικές έννοιες, που είναι και οι πολυπληθέστερες), και την καθαυτό ιστορία της που συνίσταται στη μετέπειτα πορεία της εντός θεωρίας. Με βιολογικούς όρους, θα λέγαμε κύηση, γέννηση, ανάπτυξη. Όπου η προϊστορία μπορεί να είναι προ-μαθηματική (ή, καλύτερα, προεπιστημονική), όπως στις λέξεις κύκλος ή επτά, ή ενδο-μαθηματική: οι αρνητικοί και οι φανταστικοί αριθμοί προκύπτουν ως έννοιες που ενοποιούν τύπους προβλημάτων που μέχρι τότε είχαν θεωρηθεί σαφώς διακριτοί μεταξύ τους[12]. Ενώ η ανάπτυξη συνίσταται στη μετέπειτα[13] χρήση της εντός θεωρίας, στις συνδέσεις της με τα υπόλοιπα, στη σταδιακή απόκτηση αυτού που ονομάσαμε πλούτο της έννοιας.

Θα τα δούμε αυτά πιο διεξοδικά σε ένα παράδειγμα.

Η γωνία: προϊστορία και ορισμός

Δεν χρειάζονται ιδιαίτερες συστάσεις για τη γωνία. Η έννοια αυτή προϋπάρχει στη γλώσσα έξω από κάθε μαθηματική θεώρηση, και πηγάζει άμεσα από την εμπειρία του τρισδιάστατου χώρου. Η κοινή γλώσσα δεν έχει ανάγκη από διαφοροποιήσεις σε επίπεδη, δίεδρη, στερεά γωνία, είναι όλες γωνίες[14]: Όταν το παιδί «χτύπησε το κεφάλι του στη γωνιά του τραπεζιού» οι διευκρινίσεις αυτού του τύπου περιττεύουν, άλλα προηγούνται. Δεν διαφοροποιούμε επίσης το εσωτερικό και το εξωτερικό της γωνίας, γιατί τα συμφραζόμενα το προσδιορίζουν ικανοποιητικά: Ενώ «το πιτσιρικάκι, στη γωνιά του δρόμου» τρακάρει πολισμάνο έξω από τους τοίχους, κανένας μαθητής που πήγε «στη γωνία για τιμωρία» δεν βγήκε ποτέ από την τάξη, από τη μέσα μεριά στάθηκε.

Γωνία έχουμε όταν κάτι το λείο παύει να είναι λείο, κι από τις δύο μεριές. Τα υπόλοιπα, ως ευκόλως εννοούμενα, παραλείπονται.

Όταν προχωράμε στη μελέτη των σχημάτων, δηλαδή στη Γεωμετρία, οι ασάφειες οφείλουν να εξοβελιστούν. Περιοριζόμαστε πρώτα πρώτα στις δύο διαστάσεις και δίνουμε έναν ορισμό. Και αμέσως αμέσως έχουμε δύο στη διάθεσή μας: Γωνία καλείται:

-  το σχήμα που ορίζεται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή.

-  η περιοχή του επιπέδου μεταξύ δύο ημιευθειών με κοινή αρχή.

Και κάλλιστα θα μπορούσαμε να προσθέσουμε ακόμα έναν:

-  η διαμέριση στα δύο του επιπέδου από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή.

Ο πρώτος ορισμός θεωρεί ότι η γωνία είναι γραμμή (τεθλασμένη και άπειρη), ο δεύτερος επιφάνεια (άπειρη επίσης), ο τρίτος πράξη. Και οι τρεις είναι εξίσου δόκιμοι από πλευράς κατασκευής της θεωρίας, γιατί η έννοια της γωνίας εμπεριέχει όλα αυτά τα στοιχεία. Και αν από φιλοσοφικά σκοπιά μπορεί να τεθεί θέμα οντολογίας (άλλο γραμμή, άλλο επιφάνεια, άλλο πράξη), κάθε μαθηματικός που κατέχει τη στοιχειώδη Γεωμετρία, ξέρει ότι η γωνία έχει όλα αυτά τα χαρακτηριστικά, άσχετα αν κάποιο από αυτά το έχει μάθει ως ορισμό και τα άλλα δύο ως ιδιότητες. Και οι τρεις ορισμοί θα μπορούσαν να είναι εξίσου αποδεκτοί, υπό τον όρο βέβαια ότι η διατύπωση της θεωρίας θα διαμορφωθεί ανάλογα. Και χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι διδακτικά ισοδύναμοι: εφόσον βρισκόμαστε στα πρώτα στάδια της θεωρητικής σκέψης, όπου η εμπειρική γνώση παίζει σημαντικό ρόλο, η όλη παρουσίαση ορισμού και ιδιοτήτων οφείλει να βοηθήσει την κατανόηση, αρθρώνοντας κατάλληλα τις διάφορες όψεις, αποφεύγοντας τόσο τον άκαμπτο δογματισμό όσο και τη χύμα παράθεση.

Βεβαίως όλοι έχουμε μάθει ότι η γωνία είναι επιφάνεια, επιλέγοντας τον ένα ορισμό από τους τρεις. Αυθαίρετα. Αυθαίρετα μέχρι στιγμής. Δικαιολογημένα όμως, από τη μετέπειτα ανάπτυξη της θεωρίας η οποία θέλει σύγκριση γωνιών: είναι διαισθητικά πιο εύκολο να συγκρίνεις επιφάνειες παρά τεθλασμένες ή διαμερίσεις. Η επιλογή του ορισμού είναι πρωθύστερη, υπαγορεύεται από αυτό που ακολουθεί[15].

Στον προηγούμενο (εναλλακτικά τριπλό ή απλώς απλό) ορισμό υπάρχει ένα προβληματάκι, που όλοι οι μαθηματικοί θα έχουν εντοπίσει: περιλαμβάνει τη γωνία 180⁰, την ευθεία γωνία, χωρίς ειδική μνεία, ενώ πρόκειται για πραγματικά ειδική περίπτωση (που βρίσκεται η κορυφή της γωνίας;). Φυσικά αυτό διορθώνεται άμεσα, προσθέτοντας  την απαίτηση για τις ημιευθείες να μην είναι η μία προέκταση της άλλης (και να μη συμπίπτουν), και συνήθως αυτό γίνεται στη διδασκαλία. Οι ειδικές περιπτώσεις της ευθείας και της μηδενικής (ή της πλήρους) γωνίας ακολουθούν χρονικά, σαν επέκταση της αρχικής, διαισθητικής έννοιας.

Η ενσωμάτωση των δύο αυτών ειδικών περιπτώσεων οφείλεται σε δομικούς λόγους: θέλουμε το άθροισμα ή η διαφορά δύο γωνιών να είναι γωνία, ώστε να μην εξαιρούμε περιπτώσεις κάθε τρεις και λίγο. Ενσωματώνοντάς τις όμως, ερχόμαστε σε αντίθεση με την διαισθητική, προ-μαθηματική έννοια: Μια ευθεία γωνία είναι λεία, και σε τίποτα δεν διαφέρει από μια ευθεία (με κάποιο ονοματισμένο σημείο επάνω της εάν η κορυφή είναι ορισμένη). Κανείς δε μιλάει για γωνία δύο δρόμων όταν ο ένας είναι προέκταση του άλλου και υπάρχει απλώς αλλαγή ονόματος: δεν υπάρχει γωνία Κηφισίας και Βασιλίσσης Σοφίας στους Αμπελοκήπους στην Αθήνα. Η μηδενική γωνία, επίσης, είναι ανύπαρκτη στην κοινή γλώσσα: μιλάμε για την άκρη της τεντωμένης κλωστής, ή την αιχμή του δόρατος, όχι για γωνία. Έχουμε δηλαδή το φαινόμενο που αναφέρθηκε προηγουμένως: Παρότι δεν ικανοποιούν το βασικότερο χαρακτηριστικό της προ-μαθηματικής γωνίας, θεωρούνται στα Μαθηματικά γωνίες ειδικού τύπου και όχι μη-γωνίες.

Σύγκριση γωνιών

Δύο γωνίες μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους εφόσον έχουν μια κοινή πλευρά και κοινά εσωτερικά σημεία κοντά στην κοινή πλευρά: Εάν οι δύο πλευρές που απομένουν συμπίπτουν, οι γωνίες είναι ίσες, ειδεμή αυτή που επικαλύπτει την άλλη θεωρείται μεγαλύτερη (η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιεί τον ορισμό της γωνίας ως επιφάνεια∙ αν η γωνία θεωρηθεί γραμμή η διατύπωση οφείλει να αλλάξει, καταφεύγοντας π.χ. στην κίνηση μιας ενδιάμεσης ημιευθείας). Η μικρότερη γωνία είναι υποσύνολο της μεγαλύτερης – και αυτό το χαρακτηριστικό υπάρχει και στη σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων με κοινή αρχή και κατεύθυνση.

Για να συγκριθούν γωνίες που βρίσκονται σε τυχαία θέση, οφείλουμε να εφαρμόσουμε τη μία πλευρά πάνω στην άλλη, ώστε να αναχθούμε στην προνομιακή περίπτωση (το ίδιο ισχύει και για ευθύγραμμα τμήματα σε τυχαία θέση). Αυτό προϋποθέτει την ύπαρξη ισομετριών στο επίπεδο. Ο Ευκλείδης τις θεωρούσε δεδομένες και, κυρίως, αυτονόητες. Μετά την εισαγωγή των μη ευκλείδειων γεωμετριών γνωρίζουμε ότι οι ισομετρίες αποτελούν ομάδα μετασχηματισμών, και ότι η δομή αυτής της ομάδας καθορίζει τον τύπο της γεωμετρίας που μελετάμε.

Εφόσον δύο τυχαίες γωνίες είναι συγκρίσιμες, οι γωνία είναι πλέον μέγεθος. Και μάλιστα, μέγεθος ειδικού τύπου, αμετάβλητο όχι μόνο από ισομετρίες, αλλά και  από μετασχηματισμούς ομοιότητας (συστολές, διαστολές, ομοιοθεσίες). Εξ αιτίας αυτού, δύο τρίγωνα με όλες τις αντίστοιχες γωνίες ίσες δεν είναι υποχρεωτικά ίσα, μπορεί να είναι και όμοια. Αυτά στο Ευκλείδειο επίπεδο, διότι στα επίπεδα Λομπατσέφσκι και Ρίμαν δεν υπάρχει ομοιότητα εκτός ισότητας, άρα δύο τρίγωνα με όλες τις γωνίες ανά δύο ίσες είναι ίσα μεταξύ τους: Στη σφαιρική γεωμετρία[16], π.χ., όλα τα τρισορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους, προκύπτουν από τρία διαμετρικά επίπεδα ανά δύο κάθετα, και κάθε πλευρά ισούται με το τέταρτο του μεγίστου κύκλου. Δεν υπάρχουν ούτε μικρότερα ούτε μεγαλύτερα τρισορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα από αυτά πάνω στην ίδια σφαίρα.

Από τις πιο ενδιαφέρουσες συγκρίσεις είναι αυτή μιας γωνίας με την παραπληρωματική της, που μας οδηγεί στη διάκριση σε οξείες, αμβλείες και ορθές γωνίες. Αξίζει να σημειωθεί ότι η σύγκριση, στην πρακτική γεωμετρία όπου το επίπεδο υλοποιείται σε ένα φύλλο χαρτί, μπορεί να γίνει διπλώνοντας το χαρτί κατά μήκος της κοινής πλευράς, εφαρμόζοντας ένα ημιεπίπεδο στο συμμετρικό του. Στον τρισδιάστατο χώρο αυτό είναι μία κίνηση (περιστροφή περί άξονα), δηλαδή ένας μετασχηματισμός που διατηρεί τον προσανατολισμό του χώρου. Αλλά το ίδιο αποτέλεσμα παίρνουμε με μια συμμετρία ως προς επίπεδο, κάτι που δεν διατηρεί τον προσανατολισμό (πρακτικά, υλοποιώντας το επίπεδο συμμετρίας με έναν ημιδιάφανο καθρέφτη). Δηλαδή, μια συμμετρία ως προς άξονα στο επίπεδο (που δεν διατηρεί τον προσανατολισμό), μπορεί να επεκταθεί σε ισομετρία του χώρου με δύο ουσιαστικά διαφορετικούς τρόπους, συμμετρία ως προς επίπεδο ή ως προς άξονα. Οδηγούμαστε εκεί, αν θέλουμε, από τη σύγκριση παραπληρωματικών γωνιών[17].

Σημαίνει αυτό, διδακτικά ότι μόλις μιλήσουμε για σύγκριση γωνιών είναι σκόπιμο να επεκταθούμε στα περί προσανατολισμού του επιπέδου και του χώρου; Προφανώς όχι, ή τουλάχιστον όχι αναγκαστικά. Αντίθετα, σημαίνει πως όταν εισάγουμε τον προσανατολισμό του επιπέδου ή του χώρου διαθέτουμε ένα απλό παράδειγμα, στηριγμένο σε βασικές (άρα αφομοιωμένες, υποτίθεται) έννοιες –γωνία, συμμετρία– ώστε να διευκολύνουμε την κατανόηση.

Μέτρηση γωνιών

Η μέτρηση μεγεθών εν γένει γίνεται αντιστοιχώντας σε κάθε μέγεθος έναν θετικό πραγματικό αριθμό. Είναι δηλαδή μια συνάρτηση από το σύνολο των μεγεθών στο , η οποία διατηρεί την ανισότητα, δηλαδή αύξουσα. Αυτό βεβαίως δεν αρκεί: το ημίτονο και η εφαπτομένη μιας (οξείας γωνίας) δεν είναι αποδεκτά ως μέτρα. Η μέτρηση είναι σύγκριση ως προς κάποιο επιλεγμένο μέγεθος θεωρούμενο ως μονάδα μέτρησης, με τρόπο ώστε ο διπλασιασμός (π.χ.) του μεγέθους να οδηγεί σε διπλάσιο μέτρο ενώ ο διπλασιασμός της μονάδας σε υποδιπλάσιο, κτλ. Η συνάρτηση μέτρο οφείλει να είναι συνεχής και να διατηρεί πρόσθεση, αφαίρεση και λόγο.

Καθώς η σύγκριση γωνιών ορίζεται από την επικάλυψη της μιας από την άλλη, προνομιακή γωνία σύγκρισης αποτελεί η πλήρης γωνία, που καλύπτει όλο το επίπεδο. Κάθε άλλη γωνία X αντιστοιχεί σε ένα ποσοστό επικάλυψης, έναν αριθμό x μεταξύ 0 και ένα, τέτοιον ώστε αν Μ είναι το μέτρο της πλήρους γωνίας (ανάλογα με τα κέφια μας 360 ή 2π ή κάτι άλλο), Μx είναι το μέτρο της X. Δηλαδή, το μέτρο μιας γωνίας είναι βασικά ένας λόγος (επί μία αυθαίρετη σταθερά), δηλαδή μια ποσότητα φραγμένη.

Όμως η γωνία είναι σχήμα που εκτείνεται απεριόριστα, με άπειρο μήκος (ως τεθλασμένη) ή άπειρο εμβαδόν (ως επιφάνεια). Μπορούμε να μιλήσουμε για λόγο απείρων μεγεθών;

Για να κάνουμε κάτι τέτοιο, αντικαθιστούμε την έννοια άπειρο (η οποία, εξ άλλου δεν έχει σαφή προσδιορισμό, τουλάχιστον μέχρι τον Καντόρ) με την έννοια απεριόριστα πεπερασμένο, και προσφεύγουμε στην έννοια του κύκλου και της επίκεντρης γωνίας. Κάθε επίκεντρη γωνία ορίζει κυκλικό τομέα στον κύκλο αναφοράς, και ο λόγος των εμβαδών των κυκλικών τομέων που ορίζονται από δύο επίκεντρες γωνίες δεν εξαρτάται από την ακτίνα του κύκλου αναφοράς. Αρκεί λοιπόν να ορίσουμε ως λόγο δύο γωνιών το σταθερό αυτό λόγο πεπερασμένων εμβαδών, και παρακάμψαμε τα άπειρα. Συμπληρώνοντας βέβαια με προτάσεις περί ανεξαρτησίας από τη θέση, αντιστοιχία εμβαδού τομέα με μήκος τόξου, κτλ.

Εδώ έχουμε πάλι πρόβλημα. Μπορούμε να μιλάμε για μήκος ή εμβαδόν καμπυλόγραμμων σχημάτων; Μπορούμε να μετρήσουμε τόξο κύκλου – ή την περιφέρεια ολόκληρη – με βάση την ακτίνα; Μπορούμε να τετραγωνίσουμε τον κύκλο; Και επειδή σε όλα αυτά η ζητούμενη απάντηση είναι «Ναι!», τα ερωτήματα μεταγλωττίζονται από «Μπορούμε … ;» σε «Με ποιον τρόπο μπορούμε … ;». Οδηγούμαστε έτσι στην έννοια του ορίου και του ολοκληρώματος, στη γραφική επίλυση με τη βοήθεια μια υπερβατικής καμπύλης που ορίζεται ως τροχιά ενός κινητού (νεύση).

Καμπυλόγραμμες γωνίες

Μπορούμε να ορίσουμε τη γωνία μεταξύ δύο καμπύλων γραμμών σε ένα σημείο τομής τους ως τη γωνία που κάνουν μεταξύ τους οι αντίστοιχες εφαπτόμενες. Με την παραδοχή αυτή μπορούμε να δούμε ότι οι γωνίες διατηρούνται και από άλλους μετασχηματισμούς του επιπέδου εκτός από τις ισομετρίες και τις ομοιοθεσίες: η αντιστροφή ως προς δοθέντα κύκλο[18], η οποία προκύπτει ως συνδυασμός δύο στερεογραφικών προβολών της σφαίρας με βάση διαμετρικά αντίθετους πόλους, είναι ένα χαρακτηριστικό τέτοιο παράδειγμα. Βεβαίως η αντιστροφή δεν διατηρεί τις ευθείες (εκτός αν περνάν από το κέντρο του κύκλου αντιστροφής), αλλά τις μετατρέπει σε κύκλους, ενώ μετατρέπει τους κύκλους σε άλλους κύκλους, εκτός πάλι από όσους περνάν από το κέντρο του κύκλου αντιστροφής (ο οποίος διατηρείται), οπότε μετατρέπονται σε ευθείες. Και βεβαίως το κέντρο του κύκλου αντιστροφής δεν έχει εικόνα: «στέλνεται στο άπειρο». Αποτελούν αυτά «ελαττώματα», ή αντίθετα, ενδιαφέροντα φαινόμενα προς μελέτη; Ιστορικά μάλλον το δεύτερο μας προέκυψε.

Πράγματι, αφενός η συνθήκη διατήρησης των (καμπυλόγραμμων) γωνιών μας οδηγεί σε μία ομάδα, την ομάδα των σύμμορφων μετασχηματισμών (conformal transformations), που εμπεριέχει τις υποομάδες των ισομετριών και των ομοιοθεσιών. Κι από την άλλη, η απαίτηση ορισμού μιας αντιστροφής σε κάθε σημείο, οδηγεί στην συμπλήρωση του επιπέδου με ένα «σημείο στο άπειρο»[19], σε αντίθεση με τις ανάγκες της προβολικής γεωμετρίας (διατήρηση του διπλού λόγου τεσσάρων ευθυγραμμισμένων σημείων) που οδηγούν στη συμπλήρωση με μια «ευθεία στο άπειρο». Διαφορετικές απαιτήσεις οδηγούν σε διαφορετικά μαθηματικά αντικείμενα ξεκινώντας από την ίδια αφετηρία.

Και καθώς φτάσαμε στις καμπυλόγραμμες γωνίες ας πούμε και κάτι για τις κερατοειδείς γωνίες, γωνίες μεταξύ καμπύλης και εφαπτομένης, ή γενικότερα για γωνία μεταξύ καμπυλών με κοινή εφαπτομένη. Είναι αυτές οι γωνίες συγκρίσιμες με τις συνήθεις γωνίες; Είναι μεταξύ τους συγκρίσιμες;

Ήδη από τον Ευκλείδη γνωρίζουμε ότι μια κερατοειδής είναι μικρότερη από κάθε συνηθισμένη γωνία, και όχι μόνο: κάθε πολλαπλάσιό της επίσης. Πρόκειται δηλαδή για μη Αρχιμήδεια μεγέθη.

Για να συγκρίνουμε μεταξύ τους κερατοειδείς γωνίες μπορούμε να ξεκινήσουμε από δέσμη εφαπτόμενων κύκλων, π.χ. με εξίσωση  (κύκλοι με ακτίνα α και κοινή εφαπτομένη στο σημείο (0,0) την x=0). Όσο μεγαλύτερη η ακτίνα του κύκλου τόσο μικρότερη η γωνία του με την εφαπτομένη. Αν θέλουμε να γενικεύσουμε σε τυχαίες καμπύλες, μπορούμε να αναχθούμε σε σύγκριση των εγγύτατων κύκλων και των αντίστοιχων κέντρων καμπυλότητας. Εάν η καμπυλότητα μηδενίζεται (το κέντρο καμπυλότητας φεύγει στο άπειρο), έχουμε επαφή ανώτερης τάξης, ας πούμε σημείο καμπής, και η γωνία που προκύπτει είναι πάλι μη αρχιμήδεια σε σχέση με κάθε κερατοειδή για την οποία υπάρχει κέντρο καμπυλότητας. Φυσικά δεν υπάρχει λόγος να σταματήσει κανείς εκεί, νοερά μπορεί πάντα να βρίσκει μικρότερα μεγέθη, μη αρχιμήδεια ως προς τα προηγούμενα.

Η διαδικασία αυτή μας οδηγεί στα απειροστά διαφόρων τάξεων, για τα οποία πολύς λόγος έχει γίνει για το αν έχουμε το δικαίωμα να τα θεωρήσουμε ως μαθηματικά όντα. Με πιο σύγχρονο λεξιλόγιο, οδηγούμαστε στη θεωρία προσεγγίσεων, το ανάπτυγμα Ταίηλορ και τις αναλυτικές συναρτήσεις. Αξίζει να σημειωθεί ότι το όλο θέμα ξεκινά από την εποπτεία, αλλά η μελέτη του την ξεπερνά κατά πολύ: η γεωμετρική ερμηνεία των απειροστών δύσκολα ξεπερνά την επαφή τρίτης τάξης (σημεία καμπής) και η σύγκρισή τους την επαφή δεύτερης τάξης (καμπυλότητα). Αξιοσημείωτο όμως είναι πως οι γωνίες προσφέρονται για μια πρώτη διαισθητική – εποπτική προσέγγιση των μη αρχιμήδειων μεγεθών, ενώ το άλλο σημαντικό γεωμετρικό μέγεθος, τα μήκη, δεν προσφέρονται (τουλάχιστον άμεσα)[20].

Η γωνία στη συνολοθεωρητική θεμελίωση – Μιγαδικοί αριθμοί

Η συνολοθεωρητική θεμελίωση των Μαθηματικών αποφεύγει κάθε σχέση με την εποπτεία. Ξεκινώντας από τα σύνολα, ορίζει συναρτήσεις, συστήματα αριθμών, δομές, κτλ. μέσα σ’ αυτή τη θεώρηση η γωνία δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον, και συνήθως δεν ορίζεται αυστηρά. Απλώς θεωρείται κάτι το δεδομένο από τον προγενέστερο μαθηματικό βίο του κάθε μαθητευόμενου, ενώ για τη δημόσια Ιστορία των Μαθηματικών δεν υπάρχει πρόβλημα, διότι, μέσω της αναλυτικής γεωμετρίας, έχει ήδη επιτευχθεί η αντιστοίχιση του επιπέδου με το RxR, το οποίο ορίζεται ικανοποιητικά. Έτσι, η γωνία μπορεί να οριστεί από κάποια συναρτησιακή σχέση, για παράδειγμα την αντιπαράγωγο (αρχική) συνάρτηση της 2/(1+x²), δηλαδή την 2Arctan(x), που παίρνει τιμές στο ανοιχτό διάστημα ]-π, π[. Προφανώς τίθεται πάλι το ερώτημα εάν το π και το –π (ή το +άπειρο και το -άπειρο) ταυτίζονται ή όχι. Η απάντηση εξαρτάται πάλι από το τι θέλουμε να κάνουμε στη συνέχεια: Αν θέλουμε μια συνάρτηση συνεχή, παντού ορισμένη, ταυτίζονται, αν θέλουμε να διατηρήσουμε τη διάταξη όχι.

Εκεί που η γωνία αποκτά καινούριο ενδιαφέρον, είναι στους μιγαδικούς αριθμούς. Πράγματι, το μιγαδικό επίπεδο διαθέτει κάτι παραπάνω από τον διανυσματικό χώρο : τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών, ο οποίος γενικεύει τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό και αντιστοιχεί σε ένα μετασχηματισμό ομοιότητας που σταθεροποιεί την αρχή. Η πιο εύχρηστη μορφή για τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών δεν είναι ο καρτεσιανός συμβολισμός (άσχετα αν η πράξη ορίζεται μέσω αυτού) αλλά ο συμβολισμός «μέτρο και όρισμα». Έτσι ο πολλαπλασιασμός είναι η σύνθεση μιας ομοιοθεσίας (που καθορίζεται από το μέτρο) και μιας στροφής (που καθορίζεται από το όρισμα). Ειδικότερα, ένας μιγαδικός μέτρου 1 ορίζει καθαρή στροφή, και οι συντεταγμένες του δίνονται ως ημίτονο και συνημίτονο της ίδιας γωνίας (έννοια συνολοθεωρητικά μη ορισμένη). Οδηγούμαστε επομένως στον ορισμό «γωνία είναι το φανταστικό μέρος του λογαρίθμου μη μηδενικού μιγαδικού αριθμού», όπου ο λογάριθμος ορίζεται ως αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής, η οποία ορίζεται από την αντίστοιχη δυναμοσειρά.

Ο ορισμός αυτός προφανώς παρουσιάζει πρόβλημα, καθώς η εκθετική συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα (μπορεί να αποδειχτεί ότι exp(2iπ)=exp(0)=1). Το πρόβλημα όμως εξαφανίζεται όταν για πεδίο τιμών του φανταστικού λογαρίθμου δεν πάρουμε την πραγματική ευθεία R, αλλά τον τριγωνομετρικό κύκλο Γ, ο οποίος προκύπτει ως σύνολο πηλίκο της ευθείας μόντουλο 2π: Η έννοια «σύνολο πηλίκο» είναι από τις βασικές της συνολοθεωρίας, και επιπλέον μας απαλλάσσει από αγωνιώδη ερωτήματα του τύπου «μα πώς μπορεί το +π να είναι ίσο με το –π;».

Το πέρασμα στο σύνολο πηλίκο μας οδηγεί σε μια άλλη διαφορά μεταξύ μήκους και γωνίας, δηλαδή μεταξύ R και Γ: η μεν πρόσθεση στο  R αντιστοιχεί στην πρόσθεση στο Γ, αλλά ο πολλαπλασιασμός χάνεται. Ακόμα και αν το 2π θεωρηθεί απλώς μια πολλαπλασιαστική σταθερά και ταυτίσουμε τον κύκλο με R/Z, είναι προφανές ότι το ½ και το 1+½, πολλαπλασιαζόμενα με ½, δίνουν διαφορετικό αποτέλεσμα μόντουλο 1. Ο πολλαπλασιασμός μηκών δίνει το μετρήσιμο μέγεθος εμβαδόν, και μετέπειτα όγκο και υπερ-όγκους διαδοχικών τάξεων. Αντίθετα, ο πολλαπλασιασμός γωνιών δεν δίνει τίποτε το άμεσα αξιοποιήσιμο, παρότι το καρτεσιανό γινόμενο  μας δίνει τόρο και στη συνέχεια υπερ-τόρους.

Η θεώρηση της γωνίας ως συνάρτηση της προσδίνει διαφορετικό ρόλο: από μετρήσιμο μέγεθος, η γωνία γίνεται τώρα μέτρο άλλου μεγέθους, του μετασχηματισμού στροφή[21]. Διαφορετικό θεωρητικό πλαίσιο, διαφορετικοί ρόλοι.

Βεβαίως, τα ερωτήματα που εξοβελίστηκαν με το πέρασμα στο πηλίκο, μπορούν να ξανάρθουν με άλλη μορφή. Σύμφωνοι, αν σε ένα μετασχηματισμό ενδιαφέρει μόνο η αρχική και η τελική θέση, όλα είναι μόντουλο 2π και τελειώσαμε: το ακτινωτό και το κυρτό πεντάγωνο δεν έχουν καμία διαφορά, δεδομένου ότι με πέντε ίσα πηδήματα ξαναρχόμαστε στην αρχική κορυφή. Για να τα διαφοροποιήσουμε πρέπει να πάρουμε υπ’ όψη ότι κάνουμε δύο φορές το γύρο του περιγεγραμμένου κύκλου αντί μία. Ή να θεωρήσουμε ότι μια πλήρης περιστροφή είναι κάτι άλλο από την ακινησία ή την πλήρη περιστροφή αντίθετης φοράς. Χρειάζεται επομένως ένα πλαίσιο το οποίο να μην αρκείται στην αρχική και τελική θέση μιας στροφής αλλά να θεωρεί και τις ενδιάμεσες θέσεις.

Τέτοια θεωρητικά πλαίσια κατασκευάζονται: αρκεί να σημειώσουμε τη μιγαδική ολοκλήρωση γύρω από πόλο, ή τις Ριμάνιες επικαλύψεις του μιγαδικού επιπέδου. Οι θεωρήσεις -τα «νοητικά φαινόμενα»- που ακυρώθηκαν και εξοβελίστηκαν με το πέρασμα στο πηλίκο μόντουλο 2π, με τη μετατροπή του άπειρου σε πεπερασμένο, χωρίζοντάς το σε άπειρες πεπερασμένες περιόδους κατά τις οποίες όλα επαναλαμβάνονται πανομοιότυπα (άπειρον διά άπειρον μπορεί να είναι πεπερασμένο),  επανέρχονται δριμύτερες σε πλουσιότερο θεωρητικό πλαίσιο[22].

Κλείνοντας

Είναι σαφές ότι οι προηγούμενες παρατηρήσεις δεν εξαντλούν το σύνολο των εντάξεων της έννοιας «γωνία» στα μαθηματικά (μια πλήρης καταγραφή είναι, πιστεύω, ανέφικτη): πολλά άλλα θα μπορούσαν να αναφερθούν, τόσο στα θέματα που αναπτύχθηκαν (π.χ. τίποτα δεν είπαμε για ειδικές καμπύλες όπως η λογαριθμική έλικα), είτε σε άλλα θέματα, όπως τα περί καθετότητας, περί προσανατολισμένων (και αρνητικών) γωνιών, μια πιο διεξοδική συσχέτιση γωνιών και μηκών (στη μηχανική, π.χ.), ο ρόλος των γωνιών στην ισοτροπία του χώρου, στην αρμονική ανάλυση, η γενίκευση στις ν διαστάσεις, και τόσα άλλα.

Ελπίζω όμως να αρκούν για να δείξουν πως μια έννοια έχει πλούτο και ιστορικότητα. Πλούτο, γιατί οι συσχετίσεις της μέσα στη θεωρία μπορούν να της προσδώσουν, ανάλογα με το πλαίσιο, ρόλους διαφορετικούς (από μέγεθος προς μέτρηση σε μέτρο άλλου μεγέθους) και μπορούν να οδηγήσουν, με τη διατύπωση νέων ερωτημάτων, σε πλήθος διαφορετικών κατευθύνσεων, μερικές από τις οποίες να είναι και ασύμβατες μεταξύ τους (όπως η πλήρωση στο άπειρο), χωρίς ωστόσο αυτό να οδηγεί σε αντιφάσεις. Μια έννοια μπορεί να έχει αμέτρητες όψεις.

Όσο για την ιστορικότητα, σίγουρα δημόσια και υποκειμενική ανάπτυξη δεν συμπίπτουν. Κανείς δεν διδάσκεται τη νεύση ή τις κερατοειδείς γωνίες, το πολύ κάποιοι να τα ακούσουν ως αξιοπερίεργα που θα εμπλουτίσουν τις εγκυκλοπαιδικές τους γνώσεις – και θάταν ανόητο να ζητήσει κανείς από τα παιδιά να αφομοιώσουν το σύνολο των Μαθηματικών όλων των αιώνων με την ακριβή ιστορική σειρά. Από την άλλη, αυτό που ονομάστηκε εδώ δομική ιστορικότητα, φαινόμενο συγχρονικό που περιλαμβάνει όλες τις αναδρομικές επαναδιατυπώσεις, δεν ταυτίζεται ούτε με τη δημόσια χρονική ιστορικότητα, ούτε αποτελεί αυτόματο διδακτικό οδηγό: εκτός από όσα ειπώθηκαν με αφορμή τη γωνία παραπάνω, ας αναλογιστούμε την παταγώδη αποτυχία που είχε η εισαγωγή της συνολοθεωρίας στα νηπιαγωγεία, στη Γαλλία αρχικά και αλλού μετέπειτα. Η εποπτεία της δομής είναι διδακτικά χρήσιμη ώστε να αποφευχθούν δογματισμοί, ψευδοπροβλήματα, συγχύσεις και αγκυλώσεις. Δημιουργικά – όχι ως τυφλοσούρτης, όχι ως χαλκομανία.

Ευχαριστώ.

---

[1] Προφανώς το ίδιο συμβαίνει και με τους φυσικούς αριθμούς, το μηδέν, ή τα κλάσματα, η γραφή των οποίων από γλώσσα σε γλώσσα διαφέρει.

[2] Έπονται συνήθως, όχι πάντα: κάποιες φορές, εισάγονται συντομογραφίες ως υπολογιστικά τεχνάσματα, και η ισχύς τους είναι τέτοια ώστε οδηγούν σε νέες έννοιες, στην προϊστορία των οποίων φυσιολογικά εντάσσονται: Τέτοια παραδείγματα είναι οι φανταστικοί αριθμοί ή οι γενικευμένες συναρτήσεις – κατανομές, για τις οποίες οι συντομογραφίες και δ (η «συνάρτηση» του Dirac) προηγούνται χρονικά. Με τη σειρά τους τότε, οι έννοιες δίνουν διαφορετική υπόσταση στα σύμβολα, τα φωτίζουν με άλλο τρόπο, τρόπο που δίνει απάντηση σε μετα-μαθηματικά ερωτήματα (όπως Επιτρέπεται να γράψεις ρίζα του μείον ένα ;), αναδιατυπώνοντάς τα. Με άλλα λόγια, σε αρκετές περιπτώσεις, η σχέση έννοιας – συμβόλου είναι πολύ λιγότερο απλή απ’ ότι πιστεύεται, είναι σχέση διαλεκτική.

[3] Βεβαίως στην πράξη αυτό ποτέ δεν τηρείται ακριβώς, γιατί οι αποδείξεις γράφονται για να διαβάζονται από ανθρώπους και όχι από μηχανές, και (σχεδόν) ποτέ δεν είναι πλήρως τυποποιημένες.

[4] Μπορούμε να δώσουμε ως συμβατικό ορόσημο της συγκρότησης των Μαθηματικών ως επιστήμη τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, έχοντας υπόψη ότι είναι η κατάληξη μιας διαδικασίας περίπου δύο αιώνων, κατά τους οποίους αφενός οργανώθηκε το σύστημα όρων, προτάσεων και αποδείξεων (δηλαδή η μαθηματική θεωρία), αφετέρου η μαθηματική γνώση έπαψε να είναι προνόμιο κλειστών ομάδων και εγκαταστάθηκε στο Δημόσιο Λόγο.

[5] Στην κοινή γλώσσα το «μιγαδικός» μεταφράζεται αγγλικά complex, που σημαίνει «πολύπλοκος».

[6] Θα περιοριστούμε εδώ στις έννοιες που έχουν λειτουργική θέση στη μαθηματική θεωρία, στους μαθηματικούς όρους, για να ακριβολογήσουμε. Σίγουρα, λέξεις όπως «γεωμετρία», «σχήμα», «υπολογισμός», μπορούν να θεωρηθούν μαθηματικές έννοιες, έχουν περιγραφικό – βοηθητικό χαρακτήρα, και τις χρησιμοποιούμε αρκετά στην πράξη. Η μελέτη τους όμως εδώ θα μας ξεστράτιζε πολύ.

[7] Εκτός από τους άμεσα ανταλλάξιμους ορισμούς, όπως σ’ αυτά τα παραδείγματα, έχουμε και φαινόμενα όπου διαφορετικοί ορισμοί χρησιμοποιούνται σε διαφορετικά πλαίσια για την ίδια έννοια: Το ζητούμενο είναι πλέον η αντιστοίχιση των διαφορετικών πλαισίων – όπως π.χ. της κλασσικής με την αναλυτική Γεωμετρία, με ορισμούς της ίδιας καμπύλης είτε από τις γεωμετρικές της ιδιότητες είτε από τη μορφή της εξίσωσής της.

[8] Ο Χάμιλτον ορίζει τα κουατέρνια χωρίς να χρησιμοποιεί την έννοια του διανυσματικού χώρου. Με τα σημερινά δεδομένα, αυτό πουθενά δεν συμβαίνει. Δημόσια και υποκειμενική ιστορικότητα διαφέρουν.

[9] Σε ένα υπεργράφημα οι «ακμές» μπορεί να συνδέουν και πάνω από δύο «κορυφές».

[10] Ένα ενδιαφέρον φαινόμενο είναι ότι η εκφώνηση μιας θεωρίας, ως γλωσσικό φαινόμενο μέσα στο χρόνο, γίνεται αναγκαστικά σειριακά, σε ολική διάταξη (με ενδεχόμενη εξαίρεση κάποια σχήματα ή γραφήματα που θεωρούνται αποδεκτά στοιχεία στη γραπτή απόδοση). Έχουμε δηλαδή μονοδιάστατη προβολή στο χρονικό άξονα – ή στις αράδες ενός άρθρου – του μερικά διατεταγμένου γραφήματος. Και είναι πασίγνωστο πως η γραπτή απόδειξη που κατατίθεται, σε ερευνητικά άρθρα ή σχολικές ασκήσεις, δεν είναι η πιστή καταγραφή της πορείας της σκέψης από το ερώτημα στην απάντηση.

[11] Συνηγορεί σε αυτό ότι κατά την επίλυση ενός προβλήματος αναζητούμε τα βήματα της απόδειξης ξεκινώντας από τη δομική τους εγγύτητα στα δεδομένα, τα ζητούμενα, ή τα ενδιάμεσα στοιχεία, και όχι με βάση το χρόνο κατά τον οποίο τα διδαχθήκαμε, ο οποίος μπορεί και να έχει σβηστεί από τη μνήμη.

[12] Αξίζει να σημειωθεί πως ακόμη και σε προχωρημένο στάδιο των μαθηματικών μπορούν να εμφανιστούν νέες έννοιες με προϊστορία εξω-μαθηματική, εμπειρική: Τέτοια παραδείγματα είναι οι κόμποι ή οι τρύπιες επιφάνειες, η μαθηματική μελέτη των οποίων αρχίζει μόλις στον εικοστό αιώνα.

[13] Αυτό το μετέπειτα είναι χρονικό ή δομικό;

[14] Είναι αξιοσημείωτο ότι στα ελληνικά η κοινή λέξη και ο μαθηματικός όρος συμπίπτουν. Αντίθετα, στα αγγλικά και τα γαλλικά, ο λατινογενής μαθηματικός όρος angle έχει περιορισμένη χρήση στην κοινή γλώσσα, η οποία χρησιμοποιεί κυρίως τις λέξεις corner και coin αντίστοιχα.

[15] Οφείλω να μνημονεύσω τον καθηγητή μου στο γυμνάσιο, Παντελή Ρόκο (μετέπειτα καθηγητή Πολυτεχνείου), ο οποίος, πριν μας πει τον ορισμό, μας ρώτησε: «Τι είναι μια γωνία; Γραμμή ή επιφάνεια;», Και καθώς πήρε και τις δύο απαντήσεις, είπε «Και τα δύο θα μπορούσαν να στέκουν, αλλά, επειδή θέλουμε να… κτλ…» και μας έδωσε τον ορισμό μετά.

[16] Από τη σφαιρική γεωμετρία περνάμε στην προβολική (γεωμετρία Ρίμαν) ταυτίζοντας τα διαμετρικά αντίθετα σημεία της σφαίρας.

[17] Η σύγκριση γωνιών με μία πλευρά κοινή και τις άλλες εκατέρωθεν στα ίδια οδηγεί. Δεν είναι καθόλου απαραίτητο οι γωνίες να είναι παραπληρωματικές. Αν αρχικά τέθηκε (υπούλως) αυτός ο περιορισμός, είναι διότι αφενός ο ορισμός της παραπληρωματικής εισάγεται πολύ γρήγορα, αφετέρου γιατί η πρακτική υλοποίηση χωλαίνει για γωνίες μεγαλύτερε της ευθείας γωνίας.

[18] Σε κάθε σημείο Α αντιστοιχούμε το Α΄, τέτοιο ώστε η ευθεία ΑΑ΄ περνάει από το κέντρο και τα σημεία Α και Α΄ είναι αρμονικά συζυγή ως προς τα άκρα της αντίστοιχης διαμέτρου. Στην αναλυτική περιγραφή του επιπέδου από ένα μιγαδικό αριθμό, η αντιστοιχία είναι μια τέτοια αντιστροφή.

[19] Πρόκειται για παράδειγμα της συμπαγοποίησης κατά Αλεξαντρώφ, όπου με την προσθήκη σε έναν τοπικά συμπαγή χώρο ενός μοναδικού νέου σημείου και τον κατάλληλο ορισμό των συμπαγών περιοχών του, ο χώρος που προκύπτει γίνεται συμπαγής.

[20] Το μήκος μπορεί να οριστεί σε μια μονοδιάστατη γεωμετρία (της ευθείας, με σύγκριση των τμημάτων της), ενώ η γωνία, παρότι μονοδιάστατο μέγεθος, απαιτεί δύο διαστάσεις για να οριστεί. Για να βρούμε μη αρχιμήδεια μεγέθη, πρέπει να βγούμε έξω από την ευθεία ώστε να μπορούμε μετά να παρεμβάλλουμε «απειροστά» (και αλυσίδες απειροστών ανώτερης τάξης) μπρος και πίσω από κάθε σημείο, τα οποία ποτέ δεν φτάνουν οποιοδήποτε γειτονικό σημείο.

[21] Για την ακρίβεια, το μέτρο της γωνίας αποτελεί μέτρο της στροφής και όχι η γωνία η ίδια. Στην πράξη, κανείς δεν κάνει τη διάκριση μεταξύ τους, η γωνίας έχει ταυτιστεί με το μέτρο της. Και αυτό γίνεται πολύ πιο εύκολα απ’ ότι στα μήκη, διότι η επιλογή της γωνίας μέτρου 1 καθορίζεται από τη σχέση της με τη μέγιστη γωνία – ενώ μέγιστο μήκος δεν υπάρχει.

[22] Οι εξοικειωμένοι με τη μαρξιστική ορολογία αναγνώστες ίσως διακρίνουν εδώ ένα παράδειγμα της διαλεκτικής αρχής θέση – αντίθεση – σύνθεση, με επαναφορά της αρχικής θέσης σε «ανώτερο επίπεδο».
ΑΠΟ ΤΟΥ ΒΕΝΙΟΥ ΤΑ ΚΑΜΩΜΑΤΑ