Τα Μαθηματικά, ως Επιστήμη, Βρήκαν τον Ασφαλή τους Δρόμο στον Αξιοθαύμαστο Λαό των Ελλήνων

Τα Μαθηματικά, ως Επιστήμη,

Βρήκαν τον Ασφαλή τους Δρόμο στον Αξιοθαύμαστο Λαό των Ελλήνων

Kant, Kritik der reinen Vernuft, 1787

1.   Εισαγωγικά

Ερευνώντας το παρελθόν και αναλύοντας ένα προς ένα τα διαδοχικά στάδια από τα οποία πέρασε εξελισσόμενη η Μαθηματική Επιστήμη, από τον παλαι­ολιθικό άνθρωπο μέχρι σήμερα, διαπιστώνουμε ότι τα Μαθηματικά υπήρξαν μια από τις κύριες δυνάμεις του πολιτισμού. Η εξελικτική τους πορεία αντα­νακλά τον πολιτισμό, τις προόδους του αλλά και τις οπισθοδρομήσεις, γιατί, έστω και αν έχουν τη φήμη ότι είναι αφηρημένη επιστήμη, δεν εξελίχθηκαν στο κενό. Προόδευσαν σε στενή σχέση με την οικονομική ζωή, τα τεχνολο­γικά επιτεύγματα και όλες τις άλλες επιστήμες. Οι απαρχές τους, όπως έχουν αναγνωρίσει οι ιστορικοί, βρίσκονται βαθιά ριζωμένες στις ανάγκες των πο­λιτισμών που τα υιοθέτησαν¹.

2.   Τα προελληνικά Μαθηματικά

Οι λαοί που ασχολήθηκαν με τα Μαθηματικά την προελληνική περίοδο ήταν οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι, οι Ινδοί, οι Κινέζοι, οι Φοίνικες, οι Εβραίοι και οι Κρήτες της Μινωικής περιόδου. Λαοί δηλαδή που κατοικούσαν σε πε­ριοχές όπου υπήρχαν μεγάλα ποτάμια ή που ήσαν ικανοί έμποροι. Οι μαθη­ματικές γνώσεις των λαών αυτών είναι συνδεδεμένες με τη γενικότερη κοι­νωνική, πολιτικοοικονομική και πολιτιστική ανάπτυξή τους².

      Η Γνώση την περίοδο αυτή παρέμενε αποκλειστικό φαινόμενο της ιθύ­νουσας τάξης. Ο βασιλιάς και το ιερατείο, οι οποίοι επέβαλαν την πολιτική ιδεολογία και κοσμοθεωρία, ρύθμιζαν τα πάντα, ακόμα και την Αριθμητική και τη Γεωμετρία. Τα Μαθηματικά ως Γνώση εκφράζουν την όψη της εξου­σίας, αφού είναι στην κατοχή της. Αποτελούν μοναδικό προνόμιο της κυρίαρ­χης τάξης και μάλιστα του ιερατείου, το οποίο μονοπωλούσε τη μάθηση σε όλους τους τομείς και τη χρησιμοποιούσε για δικούς του σκοπούς.

      Τα Μαθηματικά που αναπτύχθηκαν από τους λαούς αυτούς, αν και στε­ρούνται θεωρητικού χαρακτήρα, αποτελούν μια σημαντική απόδειξη για τον τρόπο που σκέφτονταν οι άνθρωποι εκείνα τα συγκεκριμένα χρόνια. Είναι μια συλλογή από εμπειρικές μεθόδους με κύριο σκοπό να εξυπηρετήσουν τις ανάγκες των λαών αυτών όπως το εμπόριο, τη γεωργία, τη μηχανική κτλ. Η κατασκευή, η χρηματοδότηση και η διεύθυνση έργων (αρδευτικών, αποχετευ­τικών κτλ.), η ανάγκη για ένα ομοιόμορφο σύστημα στο εμπόριο και για ένα εύχρηστο ημερολόγιο, σύμφωνα με το οποίο οι γεωργοί προετοίμαζαν τις γεωργικές τους εργασίες, τη σπορά και τη συγκομιδή, η κατασκευή ναών και πυραμίδων και μεγαλοπρεπών οικοδομημάτων ήταν σπουδαίοι παράγοντες για την ανάπτυξη των Μαθηματικών³.

3.   Από το «μύθο» στον «ορθό λόγο»

Μετά την παρακμή των ανατολικών κρατών αυτής της θεοκρατικής δομής, δημιουργείται ένας νέος πολιτισμός, ο αρχαίος ελληνικός πολιτισμός.

      Το θαυμαστό στην ελληνική κοινωνία, βρίσκεται ακριβώς σ’ εκείνον τον περίεργο τρόπο με τον οποίο η αρχαία ελληνική πραγματικότητα απέβαλε το μυθικό της ένδυμα μεταβαίνοντας από το προ-λογικό στάδιο της ύπαρξής της, αυτό του Μύθου, σε εκείνο του Λόγου που βέβαια ήταν απόλυτα συσχετι­σμένο με τις κοινωνικοπολιτικές διεργασίες των Ιωνικών παραλίων. Η ανερ­χόμενη αστική τάξη ήταν το κύριο αίτιο της αλλαγής αυτής. Μέσα από τις «ανταλλαγές» των ναυτικών και των εμπόρων της, ήρθαν στην Ιωνία, κυρίως, όχι μόνο πολλαπλά μηνύματα από διαφορετικές χώρες, αλλά αμφισβητήθηκε εξαιτίας της ενισχυμένης οικονομικής της θέσης και η παραδοσιακή εξουσία. Η δημοκρατία που απαιτούσε την ανταλλαγή απόψεων, κλόνισε την αυθε­ντία. Στις πολυάριθμες πολιτικές διεργασίες ο πολίτης εκφράζει προσωπικές θέσεις και τούτο είναι βασικός συντελεστής κατάκτησης του δρόμου για την αλήθεια μέσα από αμφισβητήσεις θεωρητικού αλλά και πρακτικού τύπου. Τέλος, η άνθηση της λυρικής ποίησης, που απαιτεί οικειότερη σχέση με το Θείο αλλά και άλλες προσωπικές συναισθηματικές εκμυστηρεύσεις, ανοίγουν το δρόμο για την υπέρβαση του Μύθου και την είσοδο στο Λογικό στάδιο της ανθρωπότητας που απόλυτα εκπροσωπείται σ’ αυτό το πρώτο του στάδιο από το περίφημο ελληνικό πνεύμα.

      Εδώ θα πρέπει ιδιαίτερα να τονισθεί ότι στην πρώτη γενεσιουργό αυτή φάση του πνεύματος η Γνώση ήταν καθολική, η Φιλοσοφία δηλαδή και η Επιστήμη ήταν αδιάσπαστα δεμένες. Οι πρώτοι φιλόσοφοι ήταν και οι πρώ­τοι επιστήμονες. Φυσικά η αποδοχή που είχαν από τον κόσμο δεν είναι τυ­χαία, παρόλο που οι φιλοσοφικές και επιστημονικές προτάσεις θα μπορού­σαν να χαρακτηρισθούν «ασεβείς», αφού παραβίαζαν τις τότε θρησκευτικές παραδοχές.

      Ο Μύθος εκείνης της εποχής ήταν και το θεολογικό της σύστημα. Οι θεοί των αρχαίων Ελλήνων – αντίθετα με τους θεούς των προηγούμενων ανατολι­κών λαών – ήταν πλασμένοι με «μέτρα ανθρώπινα», με όλες δηλαδή τις αδυ­ναμίες και τις ελλείψεις της ανθρώπινης φύσης. Έπεφταν στα ίδια σφάλματα με τους θνητούς, ήταν σχεδόν τρωτοί όπως αυτοί, όπως καταφαίνεται από την Ιλιάδα και τους πληγωμένους θεούς του Τρωικού πολέμου και μάλιστα από χέρι ανθρώπων, άρα ήταν εύκολο σχετικά να τους προσπεράσει η ελληνική κοινωνία. Η ίδια η ελαστικότητα του Μύθου το επέτρεπε. Άλλωστε το θεολο­γικό σύστημα, δηλαδή ο Μύθος των αρχαίων Ελλήνων, δεν έδινε υπαρξιακή δικαίωση στον άνθρωπο. Η μεταφυσική κάλυψη που τα άλλα μυθολογικά συ­στήματα πρόσφεραν, απουσίαζε από την ελληνική πραγματικότητα. Η ψυχή του αρχαίου Έλληνα στον «εδώ κόσμο» ήταν φυλακισμένη στο σώμα, αλλά και στον Άδη «σκιάς όναρ» ο άνθρωπος, άσαρκο είδωλο περιφερόταν στο σκότος, χωρίς διέξοδο. Αυτό το «αναπόδραστον» του ελληνικού Μύθου ήταν ίσως η κυριότερη αιτία για τη μετάβαση από το Μύθο στη Φιλοσοφία και στην Επιστήμη.

      Ο διακεκριμένος Γάλλος ιστορικός Αρνό Ρεϋμόν έγραψε: «Σε σύγκριση με τις εμπειρικές και σκόρπιες γνώσεις που οι λαοί της Ανατολής συγκέ­ντρωσαν με τη δουλειά τους στη διάρκεια πολλών αιώνων, η ελληνική επι­στήμη είναι ένα θαύμα. Εδώ για πρώτη φορά η ανθρώπινη σκέψη κατανόησε ότι πρέπει να καθορίσει έναν αριθμό γενικών αρχών και να βγάλει απ’ αυτές ορισμένες αλήθειες που είναι τ’ αναγκαίο αποτέλεσμά τους»⁴.

      Αν δεχτούμε την άποψη αυτή – δηλαδή ότι η επιστήμη είναι λογικά συνυ­φασμένη με το σύνολο των γνώσεων που πηγάζουν από έναν καθορισμένο αριθμό γενικών αρχών – τότε θα συμφωνήσουμε ότι «οι Έλληνες δημιούργη­σαν αυτό το ιδεώδες και οδήγησαν στο βαθμό της τελειότητας κάποιους κλά­δους της επιστήμης»⁵.

4.   Η θεμελίωση της Μαθηματικής Επιστήμης στην κλασική και ελληνιστική περίοδο

Η δημιουργία καθαρής επιστήμης και η θεμελίωση των Μαθηματικών είναι αποκλειστικά έργο των αρχαίων Ελλήνων. Η μορφή τους που πέρασε από την πρακτική εμπειρική φόρμα σ’ αυτήν της θεωρίας, έγινε η αφορμή μάλιστα να κατηγορηθούν οι Έλληνες εκπρόσωποι του είδους, αφού η μαθηματική τους δομή δεν είχε άμεσες εφαρμογές στη ζωή. «Η Γεωμετρία να αποβλέπει στην καλλιέργεια του πνεύματος και όχι στον ωφελιμισμό». («Όρκος» των Πυθαγορείων).

      Το προεξάρχον στοιχείο, που δίνει και το στίγμα της εποχής αυτής, είναι η ανάγκη για νέα θεμελίωση της Γνώσης, δηλαδή η Γνώση να μην απορρέει από την αυθεντία, αλλά να στηρίζεται στην κοινή λογική. Έτσι αβίαστα σχε­δόν, ως επιγέννημα της νέας αυτής θεώρησης, πραγματώνεται η «απόδειξη», θεμέλιο κάθε επιστήμης και μια από τις μεγαλύτερες επινοήσεις του ανθρώ­πινου πνεύματος, που πέτυχε την υπέρβαση από την πειραματική μέθοδο στην αφαίρεση.

      Οι Έλληνες φιλόσοφοι δεν αρκούνται στο πρακτικό «πώς» των προηγου­μένων ανατολικών λαών, αλλά επιζητούν το κυρίαρχο «γιατί». Χαρακτηρι­στικά η απόδειξη με αντίλογο είναι μια διαδικασία ερειστική, βασισμένη σε μια παροδική αναγνώριση ότι ο αντίπαλος έχει δίκιο, έτσι ώστε να δείξει τον παραλογισμό αυτής της προσέγγισης. Τούτο οδηγεί στην αρχή της διαλεκτι­κής, στο ρόλο του αντιλόγου, της συζήτησης και των επιχειρημάτων στον ελ­ληνικό πολιτισμό⁶.

      Με την ανακάλυψη της «απόδειξης» τα ελληνικά Μαθηματικά και ειδικό­τερα η Γεωμετρία αναπτύχθηκαν με άλματα. Γιατί θα μπορούσε να θεωρηθεί ασφαλώς πως ο κύριος μαθηματικός κλάδος των αρχαίων Ελλήνων είναι η Γεωμετρία, ένα φαινόμενο αρκετά διαφορετικό, όσον αφορά τις μεθοδολογι­κές, κοινωνικές και πολιτιστικές απόψεις, από την αιγυπτιακή Γεωμετρία. Ετυμολογικά ο όρος παραπέμπει στο «μέτρημα γης», που συγχρόνως υποδη­λώνει και την κοινωνική προέλευση της Γεωμετρίας και την αναγκαιότητα που τη γέννησε.

      Τα ελληνικά Μαθηματικά θα μπορούσε να ισχυριστεί κανείς πως σημα­δεύτηκαν και από τη μεγάλη συνάφεια που υπήρξε μεταξύ των κοινωνικών τάξεων των ανθρώπων και των τύπων της Γνώσης. Η διάκριση ήταν εκείνη μεταξύ του υπολογισμού που χρησιμοποιείται για πρακτικούς σκοπούς (λογι­στική) και η διανοητική θεώρηση των αριθμών (αριθμητική), μια διχοτομία που αντιστοιχεί στην κοινωνική διαίρεση μεταξύ των εμπόρων και των φιλο­σόφων. Βέβαια, η κυριότερη διανοητική μας κληρονομιά προέρχεται από τους φιλοσόφους και πρέπει να σημειωθεί ότι η ύφεση της εμπορικής χρήσης των Μαθηματικών βοήθησε να παραχθεί η καθαρή γεωμετρική έμφαση για την οποία είναι γνωστός ο Ευκλείδης.

      Για τους «σκεπτόμενους» Έλληνες, η αντίληψη του αριθμού έφθασε να σιγουρευτεί μέσα από γεωμετρική αντιπροσώπευση, με αποτέλεσμα τη με­γάλη κατανόηση του συστήματος των αριθμών, για αριθμούς που αντιπροσω­πεύονται επαρκώς ως αναλογίες μηκών⁷.

      Πρέπει, βέβαια, να διευκρινιστεί ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν παρέβλε­ψαν, ούτε υποτίμησαν την αξία της εμπειρίας. Απλά, δεν περιορίστηκαν μόνο σ’ αυτήν αλλά αισθάνθηκαν την ανάγκη να δικαιολογήσουν τη διαδικασία που ακολούθησαν για τη λύση ενός προβλήματος. Πίστευαν ότι μια μαθημα­τική πρόταση, που ήταν αποτέλεσμα της εμπειρίας ή προέκυψε από κάποιο πείραμα, για να αποτελέσει γενική αρχή πλήρως αποδεκτή πρέπει να απο­δειχθεί. Προικισμένοι για τις μελέτες αυτές με τη ζωντανή διάνοια που διέθε­ταν και με την ακατανίκητη επιθυμία τους να κατανοούν τα αίτια και τα αι­τιατά, κατάφεραν να βρίσκουν ορθολογιστικές εξηγήσεις και στηριγμένοι στην εμπειρία να μεταπηδούν απλά και φυσικά στην αφηρημένη σκέψη.

      Ο ελληνικός πολιτισμός έδειξε ότι «τα Μαθηματικά ανθίζουν με τον κα­λύτερο τρόπο στους πολιτισμούς που συμμαχούν πρόθυμα με τον κόσμο των αισθήσεων και επιτρέπουν απεριόριστη ελευθερία στο πνεύμα, χωρίς να εν­διαφέρονται να αποσπάσουν απ’ αυτό άμεσες λύσεις για τα προβλήματα του ανθρώπου και του Σύμπαντός του»⁸. Έτσι, τα ελληνικά Μαθηματικά παρου­σιάζονται οργανικά δεμένα με τον ελληνικό πολιτισμό ως σύνολο και σε τέ­τοιο βαθμό που είναι αδύνατο να αντιληφθεί κανείς τη γένεση και τη φύση τους ανεξάρτητα από όλα τα πολιτιστικά και κοινωνικά φαινόμενα που τον χαρακτηρίζουν.

      Το πρόβλημα του «ελληνικού θαύματος», δηλαδή η μετάβαση από το αρ­χικό ξεκίνημα ως τα ελληνικά Μαθηματικά, μετατρέπεται στο πρόβλημα της γένεσης των Μαθηματικών (Γεωμετρία) στο ελληνικό προσκήνιο σαν ένα νέο πρωτότυπο φαινόμενο που δεν έχει πολλά κοινά με παρόμοια φαινόμενα σ’ άλλους πολιτισμούς. Οι ερμηνείες που δόθηκαν γι’ αυτό το «ελληνικό μυστή­ριο», όπως ονομάστηκε, είναι πολλές.

      Ο Howard Eves στο έργο του «Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών» ανα­φέρει τα εξής:⁹

      «Μια ερμηνεία εντοπίζει την αιτία στο γεγονός ότι οι Έλληνες είχαν ι­διαίτερη πνευματική κλίση στις φιλοσοφικές αναζητήσεις, αφού στη φιλοσο­φία ασχολούνται με αναπόφευκτες συνέπειες γεγονότων, με την υπόθεση ότι ισχύουν, ενώ η εμπειρική μέθοδος προσφέρει μόνο μια μέτρηση πιθανότητας για κάποιο συγκεκριμένο αποτέλεσμα». Άλλωστε – θα μπορούσε για ενί­σχυση αυτής της άποψης να υποδηλωθεί πάλι ότι – είναι αδιάσπαστη η ενό­τητα Φιλοσοφίας και Επιστήμης στο πρώτο στάδιο ακμής του ελληνικού πνεύματος και η συνεύρεση του φιλοσοφικού στοχασμού με την επιστημονική και μαθηματική προσδιοριστική καθορίζει τους φιλοσόφους αυτής της περιό­δου ως μοναδικό «πάντρεμα» οντολογικής αναζήτησης και επιστημονικού, καθαρά λογικού, στοχασμού.

      «Μια άλλη ερμηνεία», σύμφωνα με τον Eves, «αποδίδεται στην αγάπη των Ελλήνων για το κάλλος, όπως φαίνεται στην τέχνη τους, στη γλυπτική και στην αρχιτεκτονική τους». Η ίδια η τέχνη, ως αρμονική διευθέτηση κάποιων συλλήψεων – ήχων, κινήσεων, εικόνων – δίνει την αίσθηση του ρυθμού, που εκφράζεται απόλυτα συνειδητά με τον αριθμό, και έτσι θα μπορούσε να δι­καιολογηθεί η ερμηνεία του Eves ως προς τον άξονα αυτό.

      Η τελευταία ερμηνεία του φαινομένου, κατά τον ίδιο μελετητή, «βρίσκε­ται στην επικρατούσα τότε δουλοκτητική φύση της ελληνικής κοινωνίας».

      Οι φιλόσοφοι, οι μαθηματικοί και οι καλλιτέχνες στην αρχαία Ελλάδα ήταν μέλη της ανώτατης τάξης και είτε περιφρονούσαν απόλυτα το εμπόριο και κάθε χειρωνακτική εργασία είτε τα θεωρούσαν δυσάρεστες αναγκαιότη­τες. Οι κοινωνικές εργασίες, τα πολιτικά καθήκοντα και η καλλιέργεια του πνεύματος απαιτούσαν χρόνο που η εργασία όχι μόνον δεν τους πρόσφερε, αλλά αντίθετα έβλαπτε το σώμα. Εφόσον όμως οι δούλοι είχαν αναλάβει όλη τη διαδικασία της παραγωγής, οι ίδιοι είχαν την ευκαιρία, απαλλαγμένοι από τη βιοτική μέριμνα, να ασχοληθούν με την πολιτική, τη φιλοσοφία, τη μουσική και τη γυμναστική.

      Θα μπορούσε επομένως να ισχυριστεί κάποιος ότι η ύπαρξη του δουλο­κτητικού σχήματος παραγωγής είναι και η αιτία – ή μια από τις αιτίες – που το αρχαίο ελληνικό πνεύμα διέπρεψε. Βέβαια, θα ήταν μικροψυχία και ίσως υπεραπλούστευση, αν αξιολογιόταν αυτή η αναγωγή μηχανικά. Γιατί η δυνα­τότητα αποστασιοποίησης από τη «βιοτική μέριμνα» θα μπορούσε να μετα­τρέψει έναν ανεπαρκή από τη φύση του λαό σε μαλθακό και ηδονοθήρα. Ωστόσο, το μεγαλείο του ελληνικού πνεύματος συναντιέται ακριβώς εκεί όπου μετά από ένα «λουκούλλειο συμπόσιο», το πνεύμα δεν αποχαυνώνεται από τον «άκρατο οίνο», αλλά αντίθετα περισσότερο οξύ, περισσότερο διαυ­γές αφήνεται στην εγρήγορση του Λόγου.

      Η τελική ερμηνεία του φαινομένου, θα μπορούσε να είναι η συνισταμένη των παραπάνω, αφού όλο το κοινωνικό, ιδεολογικό και πολιτικό κλίμα εκεί­νης της εποχής συνετέλεσε στη συνύπαρξη παροχής «ευζωίας» αλλά και δη­μοκρατικής ελαστικότητας καθώς και πνευματικής ενάργειας με έκφραση τόσο στη φιλοσοφία, όσο στην τέχνη και στην καθαρή λογική διαδρομή, που είχαν ως αποτέλεσμα τη δημιουργία του μοναδικού στην ιστορία του κόσμου φαινομένου, αυτού της ελληνικής πλαστικότητας.

5.   Συμπεράσματα

Από την παραπάνω σύντομη αναφορά για την εξέλιξη της Μαθηματικής Επι­στήμης διαφαίνονται τα εξής σημαντικά σημεία:

Τα Μαθηματικά της προελληνικής περιόδου εξυπηρετούν άμεσες ζωτικές ανάγκες των ανθρώπων αλλά στερούνται επιστημονικού και θεωρητικού χαρακτήρα.

Σε μια μεταγενέστερη περίοδο, κατά την οποία καταρρέουν τα θεοκρα­τικά καθεστώτα και ο «μύθος» μετουσιώνεται στον «ορθό λόγο», στην αρχαία Ελλάδα, τα Μαθηματικά ξεπέρασαν το κατώφλι της εμπειρίας, θεμελιώθηκαν επιστημονικά και έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στην κοινω­νική και πολιτιστική της ανάπτυξη.

Η εποχή αυτή, εποχή της ανατολής του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού, δη­μιούργησε τα Μαθηματικά με τη σύγχρονη επιστημονική έννοια. «Ο τρόπος που απέρριψε τις άλλες αποδεικτικές μεθόδους και κράτησε την παραγωγική, ο ζήλος που προτίμησε πάντα το αφηρημένο και ποτέ το συγκεκριμένο, αλλά και η θαυμαστή διεισδυτικότητα που τη βοήθησε να επιλέξει ένα βάσιμο και καρποφόρο σύνολο αξιωμάτων, είχε ως αποτέλεσμα να καθοριστεί αποφα­σιστικά ο χαρακτήρας των Μαθηματικών και να ανοίξει ο δρόμος για να ανακαλυφθούν και να αποδειχθούν πολυάριθμα θεμελιακά θεωρήματα. Μαζί τους οικοδομήθηκε ο εκπληκτικός φάρος του ορθού λόγου, που οδήγησε τους Έλληνες στις πιο θαυμαστές εξερευνήσεις τους, όχι μόνο στον τομέα των Μαθηματικών. Η πρώτη φορά που διακηρύχτηκε η προτεραιότητα του πνεύ­ματος στις υποθέσεις των ανθρώπων και που ο όρος πολιτισμός απόκτησε νέο νόημα ήταν με τα Μαθηματικά των Ελλήνων»¹⁰.

      Με τη μοναδική και ανεπανάληπτη συνεισφορά της μαθηματικής σκέψης ο ελληνικός κλασικός πολιτισμός ακολουθεί μια σταθερή ανοδική πορεία προόδου μέσα από προβληματισμούς, ζυμώσεις, αντιθέσεις κτλ. Με την ανα­κάλυψη νέων δυνατοτήτων, εννοιών, θεωριών και οραμάτων ο αρχαίος ελλη­νικός κόσμος συμβάλλει αποφασιστικά στην ανάπτυξη όλων των επιστημών και επηρεάζει ουσιαστικά στη διαμόρφωση της σύγχρονης επιστημονικής σκέψης.

Βιβλιογραφία

[1]  ΕΞΑΡΧΑΚΟΣ Θ. Γ., Ιστορία Μαθηματικών, τόμος Β΄, Τα Μαθηματικά των Ινδών και των Κινέζων, Αθήνα, (1999).

[2]  ΕΞΑΡΧΑΚΟΣ Θ. Γ., Ιστορία Μαθηματικών, τόμος Α΄, Τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, Αθήνα, (1997).

[3]  ΕΞΑΡΧΑΚΟΣ Θ. Γ., Ιστορία Μαθηματικών, τόμος Α΄, Τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, Αθήνα, (1997).

STRUIK D., Συνοπτική Ιστορία Μαθηματικών, μτφ. Άννα Φερεντίνου – Νικολακοπούλου, Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα, (1982).

BUNT L. N. H., JONES P. S. and BEDIENT J. D., Ιστορικές Ρίζες των Στοι­χειωδών Μαθηματικών, Prentice Hall Inc, Englewood Cliffs, N. Jersey, μτφ. Φερεντίνου – Νικολακοπούλου Α., Γ. Α. Πνευματικός, Αθήνα, (1981).

[4]  FARRINGTON B., Η επιστήμη στην Αρχαία Ελλάδα, μτφ. Ν. Ραΐση, Κάλ­βος, Αθήνα, (1989).

[5]  FARRINGTON B., Η επιστήμη στην Αρχαία Ελλάδα, μτφ. Ν. Ραΐση, Κάλ­βος, Αθήνα, (1989).

[6]  ΤΡΙΛΙΑΝΟΣ Θ., Μεθοδολογία της σύγχρονης διδασκαλίας, τόμος Α΄, Αθήνα, (1997).

[7]  ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Δ. και ΝΤΖΙΑΧΡΗΣΤΟΣ Ε., Βασικές έννοιες της Γεωμε­τρίας, Αθήνα, (1999).

[8]  KLINE M., Mathematics in Western Culture, Oxford Univ. Press, Inc., μτφ. Σπ. Μαρκέτος, Κώδικας, Αθήνα, (1981).

[9]  EVES M., Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών, 2 τόμοι, Τροχαλία, Αθήνα, (1989).

[10]      KLINE M., Mathematics in Western Culture, Oxford Univ. Press, Inc., μτφ. Σπ. Μαρκέτος, Κώδικας, Αθήνα, (1981).

Στατεράς Χρήστος Δ., Διδάκτωρ Πανεπιστημίου Αθηνών, Σχολικός Σύμβουλος Δ.Ε.