Μαγικά τετράγωνα

Το Εureka είναι ένα παμμαγικό τετράγωνο 3 Χ 3: εδώ το σχήμα-στόχος μπορεί να σχηματιστεί επίσης από οποιαδήποτε τρία από τα κομμάτια των τεσσάρων γωνιών

 Το μαγικό τετράγωνο αποτελεί τη βάση του Sudoku, εμφανίζεται σε έναν αρχαίο κινεζικό μύθο και προσφέρει έναν παιχνιδιάρικο τρόπο για να μυηθούν τα παιδιά στην αριθμητική. Ολο αυτό το διάστημα όμως έκρυβε μέσα του μια ακόμη πιο σύνθετη γεωμετρική μορφή, όπως υποστηρίζει ο Λι Σάλοους. Ο μαθηματικός ονόμασε αυτή τη νέου είδους γεωμετρική «μαγική» διάταξη «γεωμαγικό τετράγωνο» και πρόσφατα παρουσίασε δεκάδες παραδείγματά της στο Διαδίκτυο. «Μια τέτοια ανακάλυψη τη στιγμή που έχουν προηγηθεί χιλιάδες χρόνια μελέτης των μαγικών τετραγώνων είναι πραγματικά εκπληκτική» έγραψε στο μπλογκ του ο Αλεξ Μπέλος, μαθηματικός, δημοσιογράφος και συγγραφέας του επιτυχημένου βιβλίου «Αlex΄s Αdventures in Νumberland». Ο Πίτερ Κάμερον, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Queen Μary του Λονδίνου, θεωρεί ότι τα γεωμαγικά τετράγωνα ενδέχεται να κρύβουν μια ακόμη βαθύτερη δομή. «Μπορώ αμέσως να δω πολλά πράγματα που θα μπορούσα να κάνω με αυτά» λέει.

Τα μαθηματικά της χελώνας

Το παραδοσιακό μαγικό τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο πλέγμα αριθμών που η διάταξή τους είναι τέτοια ώστε κάθε σειρά, στήλη και διαγώνιος να δίνει το ίδιο άθροισμα. Για παράδειγμα στο παρακάτω μαγικό τετράγωνο το άθροισμα είναι 15:

Το συγκεκριμένο μαγικό τετράγωνο κυκλοφορεί εδώ και χιλιάδες χρόνιαένας κινεζικός μύθος το αποκαλεί Λο Σου και υποστηρίζει ότι βρέθηκε σκαλισμένο στο καβούκι μιας χελώνας.

Σήμερα ο κ. Σάλοους, ο οποίος ζει στην Ολλανδία και «παίζει» με τις γεωμετρικές εκδοχές των μαγικών τετραγώνων εδώ και μία δεκαετία, έδειξε πώς μπορεί κανείς να επεκτείνει την ιδέα με εντελώς νέους τρόπους.

Τα τουβλάκια του Τetris
Στα γεωμετρικά τετράγωνά του τα ψηφία του πλέγματος αντικαθίστανται από σχήματα που θυμίζουν τα τουβλάκια του Τetris, τα πολυόμινα, τα οποία αποτελούνται από διαφόρους αριθμούς ίσων τετραγώνων. Απαραίτητη προϋπόθεση: τα πολυόμινα σε κάθε σειρά, στήλη και διαγώνιο θα πρέπει να συνδυάζονται ώστε να δίνουν το ίδιο βασικό σχήμα (δείτε τις εικόνες).

Τα τουβλάκια μπορούν να έχουν δύο, τρεις ή, θεωρητικά, ακόμη περισσότερες διαστάσεις- αν και η οπτική απεικόνιση ενός τετρασδιάστατου γεωμαγικού τετραγώνου αποτελεί πραγματική πρόκληση.

Η πρώτη απόπειρα του κ. Σάλοους για την ανάπτυξη των γεωμαγικών τετραγώνων βασίστηκε σε έναν τύπο για μαγικά τετράγωνα που είχε επινοήσει ο γάλλος μαθηματικός του 19ου αιώνα Εντουάρ Λυκά. Ο κ. Σάλοους διαπίστωσε ότι η εφαρμογή του τύπου σε σχήματα δεν έδινε ακριβώς το αποτέλεσμα που επεδίωκε, τον ενέπνευσε όμως ώστε να αναπτύξει μια σειρά προγραμμάτων στον υπολογιστή για να κατασκευάσει δεκάδες πραγματικά γεωμαγικά τετράγωνα. Μεταξύ αυτών έχει δημιουργήσει μια γεωμετρική εκδοχή του Λο Σου, στην οποία το κάθε ψηφίο αντιπροσωπεύεται από ένα πολυόμινο το οποίο αποτελείται από ισάριθμα μικρότερα τετράγωνα. Η επανάσταση του Κοπέρνικου
Αν και οποιοδήποτε μαγικό τετράγωνο μπορεί να απεικονιστεί γεωμετρικά, εξηγεί, το αντίστροφο δεν ισχύει. «Τα μαγικά τετράγωνα δεν είναι αριθμητικά, είναι γεωμετρικά αντικείμενα.Τα βλέπαμε έτσι ως τώρα επειδή τα απεικονίζαμε μόνο με αριθμούς». Ο μαθηματικός περιγράφει την ανακάλυψή του ως «κοπερνίκεια επανάσταση στην αντίληψή μας για τα μαγικά τετράγωνα».

Μπορούν λοιπόν τα μαγικά τετράγωνα να έχουν εφαρμογές πέρα από τη μελέτη μιας σπαζοκεφαλιάς; Ο κ. Κάμερον είναι βέβαιος πως ναι. «Μπορεί να θέσει κανείς τα ερωτήματα με πολύ γενικότερους όρους» λέει. Για παράδειγμα, οι έννοιες που κρύβονται πίσω από τα γεωμαγικά τετράγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν πιο αφηρημένα στη θεωρία συνόλων και ομάδων, όπου μπορεί να εξετάσει κανείς τις μαθηματικές ιδιότητες υποθετικών αντικειμένων χωρίς αναφορά στη φυσική μορφή τους. Το γεωλατινικό τετράγωνο
Τα γεωμαγικά τετράγωνα θα μπορούσαν ίσως να λειτουργήσουν και στον πραγματικό κόσμο. Μια παραλλαγή του μαγικού τετραγώνου που είναι γνωστή ως το λατινικό τετράγωνο συμβάλλει ήδη στη δημιουργία κωδίκων για τη μετάδοση πληροφοριών και στον σχεδιασμό δοκιμών φαρμάκων- όπου χρησιμοποιείται για να ελεγχθεί αν οι συμμετέχοντες λαμβάνουν τον σωστό συνδυασμό θεραπειών. Το Sudoku αποτελεί επίσης έναν συγκεκριμένο τύπο λατινικού τετραγώνου.

Ο κ. Κάμερον εικάζει ότι ένα «γεωλατινικό τετράγωνο»- αν φυσικά υπάρχει- θα μπορούσε να έχει επίσης εφαρμογές.

Εν τω μεταξύ ο κ. Σάλοους συνεχίζει την εξερεύνηση του γεωμαγικού κόσμου. Η απόφασή του να εμφανίσει τη δουλειά του στο Διαδίκτυο τον βοήθησε να επιτύχει έναν παλιό στόχο του, την εξεύρεση ενός γεωμαγικού τετραγώνου 2 Χ 2. Τα μικρότερα τετράγωνα είναι δυσκολότερα από τα μεγάλα, γιατί τα μεγαλύτερα δίνουν περισσότερες επιλογές και ο κ. Σάλοους είχε «κολλήσει». Λίγο αφότου ξεκίνησε τον ιστότοπό του όμως ο «συνάδελφός» του στο κυνήγι των τετραγώνων Φρανκ Τινκελένμπεργκ τού έστειλε ένα παράδειγμα.

Η αναζήτηση δεν σταματά εδώ. Ο κ. Σάλοους προσπαθεί τώρα να βρει ένα γεωμαγικό τετράγωνο στο οποίο το βασικό σχέδιο είναι ομαλό, χωρίς κενά και ελλείψεις κελιών. «Αμέσως μόλις βρεις αυτό που έχει τις ιδιότητες που επιδιώκεις πηγαίνεις στην επόμενη πρόκληση».


O ΕΦΙΑΛΤΗΣ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΟΥ

Ο ευφάνταστος τίτλος που έχει δώσει ο Λι Σάλοους αναφέρεται στους αρχαιολόγους και στις προσπάθειες που καταβάλλουν για να συναρμολογήσουν τα θραύσματα αγγείων που φέρνουν στο φως με τις ανασκαφές τους.Το συγκεκριμένο γεωμαγικό τετράγωνο έχει μια τρισδιάστατη πλευρά.Οπως γράφει στην ιστοσελίδα του,είναι εμπνευσμένο από έναν ειδικό τρόπο συναρμολόγησης εικόνων στον οποίο δεν χρειάζεται κανείς να «τσεκάρει» τα κομμάτια από την πίσω πλευρά τους γιατί κάθε τμήμα μπορεί να συναρμολογηθεί χωρίς να αντιστραφούν.

Στον «Εφιάλτη του αρχαιολόγου» η αντιστροφή των κομματιών δεν είναι απαραίτητη γιατί η κοιλότητα του πιάτου «δείχνει» κατά κάποιον τρόπο τη σωστή συναρμολόγηση. «Με την κατάλληλη σήμανση στα κρυφά μέρη των κομματιών» γράφει«η σφραγίδα του κεραμοποιού μπορεί να εμφανίζεται στην πίσω πλευρά του κάθε συναρμολογημένου πιάτου».

Αν και δεν φαίνεται στην εικόνα, τα κομμάτια των διαγωνίων μπορούν επίσης, όταν «κολληθούν», να σχηματίσουν το ίδιο πιάτο.