Η επίλυση της εικασίας του Erdös

… σχετικά με τα μεγάλα κενά μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών

O Paul Erdős, αριστερά, και ο Terence Tao συζητούν μαθηματικά προβλήματα το 1985. Ο Terence Tao τότε ήταν 10 ετών, ένα παιδί-θαύμα και θυμάται πως ο Erdos του μιλούσε σαν ίσος προς ίσο. Ο Τao είναι ένας από τους συγγραφείς των εργασιών που απαντούν στην εικασία του Erdos. To 2006 o Τao τιμήθηκε με το μετάλλιο Fields, την ύψιστη διάκριση για έναν μαθηματικό 

Tον Μάιο του 2013, ο μαθηματικός Yitang Zhang έκανε ένα βήμα προς την απόδειξη της εικασίας των δίδυμων αριθμών. Απέδειξε ότι ο αριθμός των ζευγών των πρώτων αριθμών με διαφορά 70 εκατομμύρια είναι άπειρος.

Οι πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά 2 ονομάζονται δίδυμοι πρώτοι αριθμοί. Μια πρόταση στα μαθηματικά που φαίνεται να αληθεύει αλλά δεν έχει αποδειχθεί ακόμα (και ίσως να μην αποδειχθεί ποτέ) ονομάζεται εικασία. Σύμφωνα με την λεγόμενη εικασία των δίδυμων αριθμών: υπάρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι.

Με αφορμή την δημοσίευση του Zhang δεκάδες μαθηματικοί καταπιάστηκαν με το ίδιο πρόβλημα συρρικνώνοντας το εύρος των 70 εκατομμυρίων στις 600 μονάδες , ενώ τελευταία το εύρος αυτό μειώθηκε σε 246, πλησιάζοντας όλο και περισσότερο στην απόδειξη της εικασίας των δίδυμων πρώτων.
Μετά από αυτές τις επιτυχίες φαίνεται πως οι μαθηματικοί έχουν κάνει ουσιαστική πρόοδο, ύστερα από 76 χρόνια, και στο αντίστροφο πρόβλημα: πόσο μεγάλη μπορεί να είναι η απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών πρώτων αριθμών;
Η μέση απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών πρώτων τείνει στο άπειρο καθώς προχωράμε στην γραμμή των αριθμών, αλλά σε μια οποιαδήποτε πεπερασμένη λίστα αριθμών, το μεγαλύτερο χάσμα μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το μέσο όρο. Κανείς δεν ήταν σε θέση να προσδιορίσει πόσο μεγάλα θα μπορούσαν να είναι αυτά τα κενά.

Στην περιοχή ενός αριθμού π.χ. του 360000, εμφανίζονται διαστήματα διαφόρων μηκών χωρίς κανέναν πρώτο αριθμό. Στην εικόνα βλέπουμε μερικά από αυτά τα διαστήματα, που ονομάζονται κενά μεταξύ των πρώτων αριθμών: το πρώτο κενό έχει μήκος κοντά στον μέσο όρο των κενών που εμφανίζονται στην περιοχή γύρω από τον 360000, το δεύτερο έχει την μικρότερη δυνατή απόσταση μεταξύ δυο πρώτων και το τρίτο έχει μήκος 96, πολύ μακριά από τον μέσο όρο.

Τον περασμένο Αύγουστο δυο διαφορετικές ομάδες μαθηματικών δημοσίευσαν τις εργασίες τους που αποδεικνύουν μια εικασία που διατύπωσε πριν από πολλά χρόνια ο μαθηματικός Paul Erdös, σχετικά με το πόσο μεγάλα κενά πρώτων αριθμών θα μπορούσαν να υπάρξουν.

Οι δυο ομάδες έχουν ενώσει τώρα τις δυνάμεις τους έτσι ώστε να ενισχύσουν το αποτέλεσμά τους σχετικά με την απόσταση των πρώτων αριθμών ακόμη περισσότερο, και αναμένεται νέα δημοσίευση μέσα στον Δεκέμβριο.

Ο Paul Erdös (Πολ Έρντος 1913 – 1996) υπήρξε ένας από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Γεννήθηκε στη Βουδαπέστη και από νωρίς έδειξε πως ήταν παιδί-φαινόμενο. To 1934, ολοκλήρωσε τη διδακτορική διατριβή του στα μαθηματικά και την ίδια χρονιά, εξαιτίας του αυξανόμενου αντισημιτικού ρεύματος, έφυγε για το Μάντσεστερ ως επισκέπτης λέκτωρ. Το 1938 αποδέχθηκε την πρώτη του θέση στην Αμερική ως υπότροφος στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον. Από τότε ανέπτυξε τη συνήθεια να ταξιδεύει από πανεπιστημιούπολη σε πανεπιστημιούπολη. Δεν μπορούσε να μείνει επί μακρόν σε κάποιον τόπο, κάτι που τον χαρακτήρισε αμετάκλητα έως τον θάνατό του.
Τα αποκτήματα δε σήμαιναν τίποτε για τον Erdös. Τα προσωπικά του αντικείμενα χωρούσαν σε μία βαλίτσα, όπως υπαγόρευε το ελεύθερο στυλ του. Τα βραβεία και άλλα χρηματικά ποσά που κέρδιζε είτε τα έδινε σε όσους είχαν ανάγκη ή τα ξόδευε σε σημαντικούς σκοπούς. Πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του ως περιπλανώμενος, ταξιδεύοντας ανάμεσα σε συνέδρια και τα σπίτια συναδέλφων του σε όλον τον κόσμο. Θεωρείται τυπική εικόνα για τον Erdös η ξαφνική του εμφάνιση στο κεφαλόσκαλο της πόρτας ενός συναδέλφου του και η αναγγελία το «μυαλό μου είναι ανοικτό». Έμενε όσο χρειαζόταν για να συνεργαστεί μαζί τους σε κάποια δοκίμια και έφευγε λίγες μέρες αργότερα. 
Στον Erdős αποδίδεται η έκφραση: «ένας μαθηματικός είναι μηχανή που μετατρέπει τον καφέ σε θεωρήματα». Εννοείται ότι ο Erdős έπινε απίστευτες ποσότητες καφέ. Μετά το 1971 άρχισε να πίνει αμφεταμίνες για να διατηρεί το μυαλό του σε εγρήγορση. Ένας από τους πολλούς συναδέλφους του που ανησυχούσαν έβαλε μαζί του στοίχημα 500 δολάρια ότι δεν μπορούσε να σταματήσει την ουσία για ένα μήνα. Ο Erdös κέρδισε το στοίχημα, αλλά παραπονέθηκε ότι τα μαθηματικά πήγαν επίσης ένα μήνα πίσω … και αφού κέρδισε το στοίχημα, επέστρεψε πάλι στις αμφεταμίνες.
Δεν είχε καμία επαφή με τα πρακτικά ζητήματα, όπως το να πληρώσει λογαριασμούς ή να ετοιμάσει έστω ένα απλό φαγητό. «Μπορώ να φτιάξω εξαιρετικά κρύα δημητριακά» έλεγε «και ίσως θα μπορούσα να βράσω ένα αβγό, δεν έχω όμως προσπαθήσει ποτέ».
Ο Erdös μιλούσε για «Το Βιβλίο», ένα φανταστικό βιβλίο στο οποίο ο Θεός είχε καταγράψει τις καλύτερες και τις ωραιότερες αποδείξεις μαθηματικών θεωρημάτων. Ο ίδιος αμφισβητούσε την ύπαρξη Θεού, τον οποίο αποκαλούσε «ο Υπέρτατος Φασίστας». (Όταν τα ουγγρικά στρατεύματα ενώθηκαν με τους Γερμανούς στην επίθεση κατά της Γιουγκοσλαβίας 1941, ένας αξιωματούχος της Ουγγρικής Καθολικής εκκλησίας παρείχε τις ευλογίες του. Αυτό έκανε τον Erdős να σκεφτεί ότι ο Θεός είναι ο Υπέρτατος Φασίστας). Κατηγορούσε αυτόν τον Υπέρτατο Φασίστα ότι κρατούσε τις καλύτερες μαθηματικές αποδείξεις για τον εαυτό του. Όταν έβλεπε κάποια ιδιαίτερα όμορφη μαθηματική απόδειξη αναφωνούσε, «Αυτό είναι από Το Βιβλίο!».
Ο Erdös με εκατοντάδες συνεργάτες, εργάστηκε σε προβλήματα συνδυαστικής, θεωρίας γραφημάτων, θεωρίας αριθμών, κλασικής ανάλυσης, θεωρίας προσεγγίσεων, θεωρίας συνόλων και πιθανοτήτων. Με αφορμή τον μεγάλο αριθμό συνεργασιών του Erdös με άλλους μαθηματικούς, οι φίλοι του συνέλαβαν την χιουμοριστική ιδέα του αριθμού Erdös, ο οποίος αναδεικνύει την σχέση ενός ερευνητή μαθηματικού με τον Paul Erdős. Έτσι, όσοι συνέγραψαν κάποια δημοσίευση μαζί του έχουν τον αριθμό Erdös 1 (και δεν ήταν λίγοι, 511 άτομα). Όσοι συνεργάστηκαν με αυτούς έχουν αριθμό Erdős 2 και ούτω καθεξής.

Στον Erdös άρεσε να θέτει μαθηματικά προβλήματα, θεσπίζοντας μάλιστα και κάποιο χρηματικό έπαθλο. Αν και τα ποσά αυτά ήταν συνήθως της τάξης των 25 δολαρίων, ο Erdös καθόρισε (κάπως «απερίσκεπτα» όπως δήλωσε αργότερα) έπαθλο 10000 δολαρίων για την απόδειξη της δικιάς του εικασίας των κενών μεταξύ των πρώτων αριθμών.
Η εικασία Erdös βασίστηκε σε μια περίεργη μαθηματική σχέση που επινόησε το 1938 ο Σκοτσέζος μαθηματικός Robert Alexander Rankin.
Για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό Χ, ο Rankin έδειξε ότι το μεγαλύτερο κενό μεταξύ δυο διαδοχικών πρώτων αριθμών κάτω από τον αριθμό Χ είναι τουλάχιστον:

Όπως αναφέρει ο Terence Tao, ένας από τους συγγραφείς των προαναφερθεισών εργασιών, οι μαθηματικοί τύποι στη θεωρία των αριθμών φημίζονται για τους πολλούς φυσικούς λογαρίθμους που περιέχουν, και για τον λόγο αυτό κυκλοφορεί το εξής αστείο (μεταξύ των μαθηματικών): «Πως κάνει ένας αριθμοθεωρητικός όταν πνίγεται; Log log log log …»
Σύμφωνα με τον Τerence Tao, όλοι πίστευαν ότι θα ήταν εύκολο να βελτιωθεί o «αστείος» τύπος του Rankin, όμως αυτό δεν κατορθώθηκε για περισσότερο από επτά δεκαετίες. Πολλοί μαθηματικοί θεωρούν ότι το πραγματικό μέγεθος των κενών πρώτων σε περιοχές μεγάλων αριθμών X είναι κατά πάσα πιθανότητα πολύ μεγαλύτερο – μεγαλύτερο της τάξης του (logX)², μια ιδέα που προτάθηκε από τον Σουηδό μαθηματικό Harald Cramér το 1936. Κενά της τάξης του (logX)² θα εμφανιζόντουσαν στην περίπτωση που οι πρώτοι αριθμοί συμπεριφερόντουσαν ως μια συλλογή τυχαίων αριθμών – που σε πολλές περιπτώσεις φαίνεται να το κάνουν. Αλλά κανείς δεν μπορεί να αποδείξει την εικασία του Cramér.
Ο Erdös έκανε μια πιο μετριοπαθή εικασία: θα πρέπει να είναι δυνατή, είχε πει, η αντικατάσταση του παράγοντα 1/3 στον τύπο του Rankin με έναν αριθμό όσο μεγάλο θέλουμε, αρκεί να πάμε αρκετά μακριά κατά μήκος της γραμμής των αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι τα κενά των πρώτων αριθμών μπορούν να γίνουν πολύ μεγαλύτερα σε σχέση με αυτά που δίνει ο τύπος Rankin, αν και συνεχίζουν να είναι μικρότερα απ’ ότι προβλέπει ο Cramér.
Και οι δύο νέες αποδείξεις της εικασίας του Erdös βασίζονται σε έναν πολύ απλό τρόπο για την κατασκευή μεγάλων κενών πρώτων αριθμών. Το ότι υπάρχουν διαστήματα οποιουδήποτε μήκους χωρίς κανέναν πρώτο αριθμό είναι φανερό από την εξής ακολουθία αριθμών:

Ν!+2, Ν! + 3, … , Ν! + Ν

Οι αριθμοί αυτοί είναι διαδοχικοί, είναι πρώτοι (ο πρώτος από αυτούς διαιρείται με το 2, ο δεύτερος με το 3, … κ.ο.κ.) και το εύρος τους αυξάνει αυξάνοντας το Ν.
Όλες οι αποδείξεις σχετικά με τα μεγάλα κενά πρώτων χρησιμοποιούν αυτό το γυμνασιακό επιχείρημα, σύμφωνα με τον James Maynard που έγραψε την μια από τις δυο αποδείξεις.
Η πρόσφατη πρόοδος στην κατανόηση των μικρών και αλλά και των μεγάλων κενών μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών έχει κάνει τους αριθμοθεωρητικούς  να αισιοδοξούν πως είναι δυνατόν να απαντηθούν προβλήματα και εικασίες που κάποτε φαίνονταν άλυτα …