Ο νους, ο χώρος και η γεωμετρία

Όπως  είναι  γνωστό, το μοναδικό  εργαλείο  για  την  κατασκευή φυσικών θεωριών,  δηλ.  θεωριών  που  να  ερμηνεύουν  τον  φυσικό  κόσμο,  είναι  τα  μαθηματικά. Οι μαθηματικές  κατασκευές  παράγονται στο νου,  με  μια  διαδικασία  που δεν είναι αντικείμενο των μαθηματικών.

Η μαθηματική  κατασκευή και ο φυσικός κόσμος είναι δύο κόσμοι  οι οποίοι επικοινωνούν  αμφίδρομα  μέσω  των αισθήσεων  και των  εμπειριών που αυτές  παράγουν (μετρήσεις). Έτσι  δημιουργείται  εκείνο το  θαύμα  της  κατανόησης για  το  οποίο ο  Αινστάιν  έλεγε:

το  πιο  ακατανόητο  πράγμα  είναι  το ότι ο κόσμος  είναι  κατανοητός.

 Η  ύπαρξη  των  δύο αυτών  κόσμων  είναι σαφώς  διακρίσιμη  στην περίπτωση  της  γεωμετρίας.  Όταν  ο  Carnap αναφέρει  ότι  είναι  αναγκαίο να διακρίνουμε την μαθηματική γεωμετρία απ’ τη φυσική γεωμετρία εννοεί  αυτούς  τους  δύο  κόσμους: τη γεωμετρία του μυαλού και τη γεωμετρία των μετρήσεων.  Το χώρο  μέσα  στο νου μας, τον  μαθηματικό  χώρο

  και το χώρο έξω απ’  αυτόν, τον φυσικό χώρο. Στην  ιστορία της γεωμετρίας, στις αρχές της ανάπτυξής της, υπερεκτιμήθηκε ο μαθηματικός χώρος,  με  αποτέλεσμα να δημιουργηθούν  δόγματα στην ερμηνεία  της αλήθειας της γεωμετρίας, προσθέτοντας άχρηστη γνώση στη φυσική φιλοσοφία. Θα εντοπίσουμε τα λεπτά σημεία, μακριά από δόγματα, που πρέπει να συλλάβουμε στη θεώρηση του μαθηματικού χώρου.

Τα λυωμένα ρολόγια του Νταλί μπορούν να μαςδώσουν μια εικόνα του μαθηματικού χώρου…Τώρα έχει μια σουρεαλιστική μετρική

Ο μαθηματικός χώρος και η ευθεία

 Στην περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας τα  πράγματα έγιναν ως εξής: Ο εξωτερικός κόσμος, ο φυσικός χώρος, μέσω των εμπειριών επέβαλε στον μαθηματικό χώρο, την Ευκλείδεια κατασκευή,  δηλαδή την Ευκλείδεια ευθεία με τα πέντε αξιώματα. Στην περίπτωση της γεωμετρίας του Lobatchewsky τα πράγματα έγιναν αντίστροφα. Η μαθηματική κατασκευή –μαθηματικός χώρος- επέβαλε στο φυσικό χώρο, νέο μοντέλο για την ευθεία-δύο παράλληλες προς δοθείσα- με αποτέλεσμα μετρικές σχέσεις σε πείσμα των άμεσων εμπειριών των αισθήσεων!

Αποτέλεσμα  όλων αυτών  ήταν  να  δημιουργηθούν δύο  γεωμετρίες  στο  μυαλό, ανάλογες με τη μορφή του 5^ου αξιώματος του Ευκλείδη, και να ανακύψει εύλογο το ερώτημα: ποια  είναι  η σωστή  γεωμετρία  για  ό,τι  υπάρχει έξω  απ’ το  μυαλό  μας,  αυτό που  λέμε «αλήθεια» της  γεωμετρίας;

Αργότερα  με τις  θεωρήσεις του  Riemann οι  μαθηματικές  γεωμετρίες  έγιναν  περισσότερες  και  η αναζήτηση  της  «αλήθειας»  εντονώτερη.

Κι’  όμως  ο μαθηματικός  χώρος  φαινόταν  ουδέτερος. Το  ερώτημα  για  το  είδος  του  μαθηματικού  χώρου παραπέμπει  στο  ερώτημα για  το είδος  της  ευθείας  του  χώρου  αυτού:  πληρεί  τα αξιώματα  του  Ευκλείδη, τα  αξιώματα  του  Lobatschewsky  ή  του  Riemann;

Είναι  όμως  ένα  ερώτημα  χωρίς  νόημα!  Ο μαθηματικός  χώρος  δεν  περιέχει  ευθείες, είναι  άδειος! Η ευθεία  δημιουργείται  από υλικά  σώματα που  βρίσκονται μέσα  στο  χώρο!

Πραγματικά την έννοια της ευθείας μας  τη δίνει  ένα τεντωμένο  σκοινί, μια ακτίνα  φωτός  ή η ακμή  ενός  χάρακα. Αλλά  κι’ αν ακόμα κλείσουμε  τα  μάτια  μας και σκεφτούμε  μια  ευθεία  σκεφτόμαστε πάντοτε  υλικά  σώματα.

Άρα ο μαθηματικός χώρος έχει οποιαδήποτε δομή του δώσουμε. Αν τον προικίσουμε  με το Ευκλείδειο αξίωμα είναι  Ευκλείδειος,  ομοίως  υπερβολικός  κλπ.  Λέμε  ότι  ο μαθηματικός  χώρος  είναι άμορφος. Το Ευκλείδειο ή το μη Ευκλείδειο αξίωμα ανάγουν με έμμεσους ορισμούς αυτό που πρόκειται να ονομάσουν ευθεία στις  αντίστοιχες  γεωμετρίες. (D” Abro, the rise of new physics, Dover)

Αν υπήρχε μια παγκόσμια «απόλυτη  ευθεία», θα αποφασίζαμε ποια  απ’ τις γεωμετρίες ήταν σωστή για το μαθηματικό χώρο. Όμως η θεωρούμενη σαν απόλυτη ευθεία της μαθηματικής κατασκευής, η Ευκλείδεια ευθεία, αποδείχτηκε  ένας  μύθος, που  αυτόν ακριβώς  γκρέμισε  η γεωμετρία  του  Lobatchewsky.

Αλλά  πού  στηρίχτηκε αυτή  η πλάνη στα  μυαλά  των  ανθρώπων για την Ευκλείδεια ευθεία; πως έγινε πεποίθηση ότι  τα Ευκλείδεια αξιώματα ήταν προφανή, εναρμονισμένα με τον κόσμο, ή ότι επιβάλλονταν απ’ την λογική a  priori  κλπ;  η απάντηση  φαίνεται  απλή: με το πέρασμα των  χρόνων  οι άνθρωποι  ξέχασαν  την  υλική  βάση των  αξιωμάτων  του  Ευκλείδη  ή ποτέ  δεν την αντιλήφθηκαν.   

Αν υπήρχε μια παγκόσμια «απόλυτη ευθεία», θα αποφασίζαμε ποια απ’ τις γεωμετρίες ήταν σωστή για το μαθηματικό χώρο.

Ο  Ευκλείδης θεωρητικοποίησε τις εμπειρίες των γύρω μας  σωμάτων.

Πράγματι, οι ευθείες που δημιουργούνται δίπλα μας είναι  Ευκλείδειες,  το φως  συμπεριφέρεται  δίπλα  μας  δίνοντας  την εντύπωση  της  Ευκλείδειας  ευθείας  και  τελικά  η μαθηματική κατασκευή  υπερτιμήθηκε  κι  αποκόπηκε από  τον έξω  κόσμο.  Η  Ευκλείδεια  ευθεία  έγινε  απόλυτο  φαινόμενο του  απόλυτου Ευκλείδειου χώρου,  που  τελικά  θεωρήθηκαν  και  μέσα  απ’  τον  Νεύτωνα,  οι ακρογωνιαίοι  λίθοι  του κόσμου.

Έτσι  συνέβη το  εξής: η Ευκλείδεια γεωμετρία  από  φυσική  γεωμετρία  φάνηκε  σαν  μαθηματική  γεωμετρία.  Φάνηκε  δηλαδή  ότι  τα  στοιχεία  του  φυσικού  χώρου  προέρχονται  από την λογική  ότι  είναι τα μόνα  που  μπορεί  να εννοήσει  το  μυαλό  μας,  ότι είναι  παγκόσμιες  αλήθειες , προεμπειρικοί  τύποι  κλπ.  Άρα  μια  πλήρης  αντιστροφή  της  κατάστασης. Αντί  να  αποδώσουμε  τις  Ευκλείδειες  έννοιες (ευθείες) , δηλαδή  τις  έννοιες  του  μυαλού  μας  στον  έξω  κόσμο,  αποδώσαμε  τον έξω  κόσμο  στην  κατασκευή  του  μυαλού  μας.

Το ξεπέρασμα  αυτής  της πλάνης, ήταν το  μεγαλύτερο επίτευγμα του ανθρώπινου  πνεύματος  και συντελέστηκε  τον  19^ο  αιώνα. Το τι  χώρος  είναι  πραγματικά  το επίπεδο, εξαρτάται  απ’ την συμπεριφορά  των σωμάτων  πάνω  σ’ αυτό,  τα  οποία  σώματα δημιουργούν  τις  ευθείες: αυτό  είναι  ένα  φυσικό  ερώτημα και  όχι  γεωμετρικό. Η γεωμετρία  όπως  είδαμε (κεφάλαιο 3)  κατασκευάζει  συνεπή  συστήματα  για  όλες  τις  περιπτώσεις,  θεωρώντας  το επίπεδο  έναν  μαθηματικό  χώρο που απομένει να χαρακτηριστεί.

 Ο μαθηματικός χώρος και η απόσταση

Εξακολουθώντας  να είμαστε  στο  μαθηματικό  χώρο,  θα  παρουσιάσουμε  μια προσέγγιση  της  μη  Ευκλείδειας  γεωμετρίας όχι  μέσω του  αξιώματος παραλληλίας και της ευθείας αλλά  μέσω της γεωμετρικής  ισότητας  και της  ευθείας.    Αυτή ήταν η  μέθοδος  του  Riemann. Μιλάμε  για  την  ισότητα δύο αποστάσεων στο χώρο  ή γενικότερα  δύο όγκων. Και όπως  ξέρουμε  ίσα  στη  γεωμετρία  είναι  αυτά  που  μπορούν  να συμπέσουν.

Έτσι  λοιπόν στην Ευκλείδεια γεωμετρία η  ισότητα δύο  μηκών σε  διαφορετικά  σημεία  του  χώρου  ελέγχεται  με την μεταφορά  του  ενός πάνω  στο  άλλο και  την  εξακρίβωση της  σύμπτωσης. Ή  πιο  συστηματικά,  το ένα  μετρείται  με  μια  ράβδο  μέτρησης  η οποία  στη  συνέχεια  μεταφέρεται  στο  άλλο,  που  το  ξαναμετράει.  Είναι  προφανές  απ’  το τρίτο αξίωμα του Ευκλείδη, ότι  τμήματα  που  είναι  ίσα παραμένουν  ίσα  ό,που  κι  αν  μετακινηθούν. Αυτό δεν φαίνεται με πρώτη ματιά αλλά αν προσέξουμε τον Ευκλείδειο ορισμό του κύκλου που είναι η γραμμή της οποίας όλα τα σημεία ισαπέχουν από ένα άλλο που βρίσκεται μέσα στη γραμμή, το τρίτο αξίωμα εξασφαλίζει  ότι η απόσταση στο επίπεδο (χώρο) όπως κι αν οριστεί πρέπει να εξασφαλίζει το αμετάβλητο του μήκους για ένα ευθύγραμμο τμήμα που μετακινείται από το ένα μέρος στο άλλο. Το  μήκος  ενός  ευθυγράμμου τμήματος  παραμένει  αναλλοίωτο κατά την μετακίνηση. Η  έννοια αυτή  της ισότητας του μήκους της  Ευκλείδειας  γεωμετρίας  απολυτοποιήθηκε όπως  και η  έννοια  της  ευθείας. Ξεχάστηκε ή  παραβλέφτηκε η υλική  βάση της  μεθόδου. Ξεχάστηκε  δηλ.  ότι  η μαθηματική  ισότητα  είναι  στην πραγματικότητα  φυσική ισότητα  και  αυτό  συμβαίνει  πράγματι,  για  τον εξής λόγο: προϋπόθεση για την μέτρηση είναι ότι η ράβδος μέτρησης δεν  παραμορφώνεται όταν  μεταφέρεται  απ’ το ένα μέρος στο άλλο.  Είναι  αυτό  που λέμε «στερεό»  σώμα. Αυτό  ήταν τόσο  προφανές που θεωρήθηκε  ότι η απόσταση  ήταν  κάτι  απόλυτο  στο χώρο. Όπου  κι  αν  μεταφερθεί  το  ΑΒ  θα  είχε  το  ίδιο  μήκος. Η  ισότητα ορίζεται  από  απόσταση.

Έτσι  όπως  το  περιβάλλον μας  εμπότισε  με  την έννοια  της  Ευκλείδειας ευθείας, έτσι και  η συμπεριφορά των σωμάτων γύρω  μας  μας  εμπότισε με την έννοια  της Ευκλείδειας  ισότητας.

Όπως  ο  Lobatchewsky αμφισβήτησε το  απόλυτο της  Ευκλείδειας  ευθείας,  έτσι  και  ο Riemann  απέρριψε  το  απόλυτο  της  Ευκλείδειας  ισότητας. Και έψαξε για  άλλους  ορισμούς  της  γεωμετρικής  ισότητας  που να εναρμονίζονται  με  την  μαθηματική  λογική ,ανεξάρτητα  απ’  το  «προφανές»  και  το  αυταπόδεικτο  που μας  παράγουν  οι εμπειρίες.

Οι ιδέες του Riemann  είναι  μια  εξέλιξη  των  ιδεών  του  Gauss  μέσω  της  διαφορικής  γεωμετρίας.

Στον μαθηματικό χώρο, η Ευκλείδεια γεωμετρία έγινε μια γεωμετρία, ανάμεσα στις πολλές.

Η τελική του πρόταση είναι η περιγραφή του γραμμικού στοιχείου, του απειροστού  μήκους  μέσα  στο  χώρο, όπου το  περίεργο  χαρακτηριστικό  είναι ότι  το  Ευκλείδειο μήκος ενός τμήματος  εξαρτάται  απ’  τη θέση  του μέσα στο χώρο.  Άλλο  είναι  εδώ  και  άλλο  εκεί.   Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την παραμόρφωση (Ευκλείδεια) του τμήματος κατά την μετατόπισή  του  στον ελλειπτικό  χώρο..

Η περίφημη  έκφραση του  Riemann είναι  ο τύπος  (1) που εκφράζει μια μετρική του χώρου

 

Η μαθηματική προσέγγιση του τύπου αυτού, είναι στο πεδίο της  διαφορικής Γεωμετρίας. Είναι η διαφορική έκφραση του ισομορφισμού, που καθιερώνει η στερεογραφική προβολή.

Θα εκφράσουμε μόνο το νόημα του:

   Ο   τύπος (1) δίνει  την απειροστή απόσταση  μεταξύ των  σημείων  Α(x,y,z)    και  Α΄(x+dx,  y+dy,  z+dz).  Η  ολοκλήρωση  του τύπου (1)  δίνει  την  απόσταση  δύο σημείων ΑΒ.

Ο  αντίστοιχος τύπος στην Ευκλείδεια γεωμετρία  είναι  ο  ds²=dx²+dy²+dz²  το  γνωστό πυθαγόρειο θεώρημα  (κ=0)  και η διαφορά  των  δύο τύπων  είναι  βασική: το  πυθαγόρειο  θεώρημα  μας  λέει  ότι  η  απόσταση  των  δύο  σημείων  Α  και  Α΄ είναι  σταθερή οπουδήποτε  στο  χώρο  ενώ  ο (1) εξαρτά  την  απόσταση των σημείων  αυτών  απ’ την  θέση  τους  στο  χώρο,  (τα χ,y,z) του τύπου.  Πρόκειται  λοιπόν  για  έναν  νέο ορισμό  της απόστασης.  Όμως  ο νέος  ορισμός  έχει  την παρακάτω  συνέπεια για τη γεωμετρική ισότητα:

Είναι  γραμμένος  σε  Καρτεσιανές  συντεταγμένες!  Αυτό  σημαίνει  ότι σε έναν  χώρο  με  καμπυλότητα   ,  δεν υπάρχουν  Καρτεσιανές  συντεταγμένες που  να πληρούν  το  Πυθαγόρειο  θεώρημα.  Αυτό  σημαίνει  ότι  αν επιμένουμε  να  θεωρούμε Καρτεσιανά  συστήματα  αναφοράς,  τότε  το  μέγεθος  ενός  σώματος  το οποίο μετακινείται  απ’ την  αρχή  του  συστήματος  ,  απομακρυνόμενο, μεταβάλλεται  σε  σχέση  με  το σύστημά μας. Είναι  ένα  μη  στερεό  σώμα.

Η   μ ε τ ρ ι κ ή   τ ο υ   Ρ ή μ α ν   ι σ ο δ υ ν α μ ε ί   μ ε   Ε υ κ λ ε ί δ ε ι α   π α ρ α μ ό ρ φ ω σ η   τ ω ν   ρ ά β δ ω ν,   κ α  τ ά   τ η ν   μ ε τ α τ ό π ι σ η! Η θέση ενός Καρτεσιανού συστήματος αναφοράς στο Ρημάνειο χώρο είναι μια μεταφυσική θέση!

Έτσι  για  δύο  μήκη  που  βρίσκονται  σε   διαφορετικά  σημεία  του μαθηματικού  χώρου,  δεν  έχει κανένα  νόημα  ο  ισχυρισμός  ότι είναι ίσα  ή  δεν  είναι  ίσα. Η  ράβδος  που θα τα  μετρήσει  εκεί  ή  εδώ μπορεί  να μένει  σταθερή σε  μέγεθος   σε  σχέση  με  ένα  Καρτεσιανό  σύστημα  (Ευκλείδεια  ράβδος) ή να παραμορφώνεται  σε σχέση  μ’  αυτό  (ράβδος  Riemann). Τότε η απόσταση μετριέται αλλιώς και η μετρική του χώρου τελικά εξαρτάται από το πώς συμπεριφέρονται οι ράβδοι μέτρησης δηλαδή τα υλικά σώματα!

Ο  μαθηματικός  χώρος  δεν  έχει  από  μόνος  του κανένα ιδιαίτερο  τρόπο  μέτρησης  να μας  επιβάλλει. Απλά εμείς  διαλέγουμε  ποιόν  θέλουμε αφού  λογικά  είναι δυνατοί  και  οι δύο. Το Ευκλείδειο  μοντέλο  της  ελλειπτικής  γεωμετρίας  (κεφάλαιο  3)  είναι  η  καλύτερη   απόδειξη  ότι ο μαθηματικός  χώρος  (στην προκειμένη  περίπτωση  το  γνωστό  μας επίπεδο) δεν  έχει  δική  του  μετρική,  αλλά  παίρνει  οποιαδήποτε  εμείς  του  δώσουμε. Αλλάζοντας  δύο  απ’  τα  αξιώματα του  Ευκλείδη  παρουσιάσαμε  ένα  συνεπές  σύστημα  με  νέα  μετρική,  που το μόνο  του  «μειονέκτημα»  ήταν η  απόστασή του  από την  διαίσθηση.

Μ’  αυτή  την  έννοια  η γεωμετρία  του μαθηματικού χώρου  μπορεί  να  προσδιοριστεί  a  priori  και  ο τρόπος μέτρησης  της απόστασης  δύο  σημείων που πρότεινε  ο Ευκλείδης δεν είναι ο μοναδικός. Απλά  υπεβλήθη  στο μυαλό  μας,  όπως η  Ευκλείδεια ευθεία, διότι  περιγράφει  την συμπεριφορά  των  σωμάτων  όπως  την  αντιλαμβανόμαστε  στο  άμεσο  περιβάλλον  μας.  Είναι  η πρώτη  προσέγγιση  του φυσικού  χώρου.

Τώρα στο φως της Ρημάνειας μετρικής, (η οποία έχει και αντίστοιχη Ρημάνεια παραλληλία, τα δύο χαρακτηριστικά αλληλοκαθορίζονται), το ερώτημα τι είναι ευθεία απαντούμε:  είναι  η  συντομότερη  γραμμή  μεταξύ  δύο  σημείων.  Πως  θα βρούμε  την  συντομότερη  γραμμή;  Θα πρέπει  να  ξέρουμε  να μετρούμε  αποστάσεις.  Η Ευκλείδεια  συνήθεια  μας  λέει ότι οι  αποστάσεις  μετρούνται  με το Πυθαγόρειο θεώρημα ξεχνούμε  όμως  ότι αυτό στηρίζεται στο 5^ο  αξίωμα  του  Ευκλείδη  και  επομένως  για τα  μαθηματικά, τα  δύο  αυτά  στηρίγματα  της  Ευκλείδειας  γεωμετρίας, η ευθεία  και απόσταση,  (Πυθαγόρειο),  είναι μόνο  ένα!, το  5^ο  αξίωμα. Το να μην  αναγνωρίζουμε  λοιπόν  τη  δυνατότητα να μετρούμε αλλιώς τις αποστάσεις,  σημαίνει  ότι δεν μας  επιτρέπεται  να  αμφισβητήσουμε  το  5^ο  αξίωμα.

Στον  μαθηματικό   χώρο,  η  Ευκλείδεια  γεωμετρία έγινε  μια  γεωμετρία,  ανάμεσα στις  πολλές. Έχει ενδιαφέρον να   δούμε  αν  θα κρατήσει την μοναδικότητά της στον  φυσικό χώρο.