Αριθμητικό τέχνασμα με διαδοχικούς αριθμούς

 Ζητείστε από έναν φίλο σας να σκεφτεί  τρεις διαδοχικούς  φυσικούς αριθμούς ( π.χ 21,22,23) , υπό την προϋπόθεση ότι κανένας από αυτούς να μην είναι μεγαλύτερος από 60.

Στην συνέχεια του ζητάτε να επιλέξει  και να ανακοινώσει ένα πολλαπλάσιο του 3 μικρότερο του 100 ( π.χ το 18) . Του ζητάτε (με την βοήθεια αριθμομηχανής αν θέλει) να προσθέσει τους τέσσερις αριθμούς και  κατόπιν να πολλαπλασιάσει  με το 67 (84x 67=5628). Σας ανακοινώνει τα δυο τελευταία ψηφία ( των μονάδων και των δεκάδων) του αποτελέσματος  και εσείς ως δια μαγείας   μαντεύετε τους τρεις αριθμούς που σκέφτηκε  καθώς και υπόλοιπα ψηφία του  γινομένου.

Πως το κάνετε αυτό;

 

-Αρχικά διαιρέστε το πολλαπλάσιο του 3 με το 3 και προσθέστε 1:

                               18:3+1=7

-Αφαιρέστε το αποτέλεσμα  από το διψήφιο αριθμό που σας ανακοινώθηκε

                                28-7=21

θα έχετε σαν αποτέλεσμα το πρώτο από τους τρεις ζητούμενους αριθμούς .

Τώρα για τα υπόλοιπα ψηφία  αρκεί να διπλασιάσετε το διψήφιο αριθμό που σας ανακοινώθηκε :

                                2x28=56.

Απόδειξη

  Αν οι τρεις  αριθμοί είναι Α,Α+1,Α+2 τότε το άθροισμα τους είναι πολλαπλάσιο του 3:

                         Α+(Α+1)+(Α+2)+3κ=3(Α+κ+1)

Πολλαπλασιάζουμε με το  67 και λαμβάνουμε:

                       201(Α+κ+1)

   Αλλά  Α<59 και 3κ<100  ή κ<34.  

 Έτσι (Α+κ+1) είναι σίγουρα διψήφιος  αριθμός ,τα δυο τελευταία  ψηφία του 201(Α+κ+1) είναι (Α+κ+1).Αφαιρώντας κ+1  τότε  λαμβάνουμε το αριθμό που σκεφτήκαμε αρχικά το Α. 

Τελικά τα  υπόλοιπα δυο ή τρία ψηφία του 201(Α+κ+1)  είναι 2( Α+κ+1).