Είναι ένας από τους πιο απλούς τύπους που θα μάθει ένας μαθηματικός. Για τις πιθανότητες θεωρείται ότι και το Πυθαγόρειο Θεώρημα για την Ευκλείδεια Γεωμετρία, γιαυτό και διδάσκεται στα πρώτα εξάμηνα φοίτησης. Οι εφαρμογές του όμως είναι τεράστιες, καθώς το Θεώρημα του Bayes δεν είναι ούτε ακατανόητο, ούτε πολύπλοκο όπως οι περισσότεροι μαθηματικοί τύποι. Με λίγη μαθηματική διαίσθηση το πολύ γνωστό θεώρημα που διατύπωσε και απέδειξε ο Άγγλος μαθηματικός Thomas Bayes (1701–1761)στις αρχές του 18ου αιώνα, γίνεται πλήρως αντιληπτό.
Το Θεώρημα Bayes ανήκει στη Θεωρία Πιθανοτήτων και συγκεκριμένα αφορά την έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας ή αλλιώς πιθανότητας υπό συνθήκη. Ο νόμος του κρύβει τόσα μυστικά που εδώ και 300 χρόνια “βασανίζει” όχι μόνο μαθηματικούς και φυσικούς, αλλά και γιατρούς, ακόμα και φιλοσόφους.
Τι σημαίνει όμως δεσμευμένη πιθανότητα;
Ας πάρουμε για πείραμα τον καιρό μιας ημέρας και ορίσουμε τα ενδεχόμενα:
Α={συννεφιά το πρωί} και Β={βροχή το απόγευμα}.
 |
Μπορούμε εύκολα να καταλάβουμε ότι η πληροφορία που μας δίνεται ότι το πρωί έχει συννεφιά αλλάζει την προοπτική να έχουμε βροχή το απόγευμα.
Δεσμευμένη πιθανότητα Ρ(Β/Α) ονομάζουμε την πιθανότητα να βρέξει το απόγευμα με την συνθήκη ότι το πρωί έχει συννεφιά.
Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα:
Σε ένα κουτί υπάρχουν 6 μαύρες και 4 άσπρες μπάλες. Παίρνουμε τυχαία μία μπάλα, βλέπουμε τι χρώμα έχει και δεν την ξαναβάζουμε στο κουτί. Στη συνέχεια παίρνουμε μια δεύτερη μπάλα και καταγράφουμε το χρώμα της. Η πιθανότητα “η δεύτερη μπάλα είναι μαύρη” είναι διαφορετική από την πιθανότητα “η δεύτερη μπάλα είναι μαύρη όταν και η πρώτη ήταν μαύρη”.
Ο τύπος του Bayes είναι P(A|B) = P(B|A)*P(A)/ P(B) και ουσιαστικά μας λέει ότι “η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α, δεδομένου του Β, ισούται με την πιθανότητα να συμβεί το Β δεδομένου του Α, επί την πιθανότητα να συμβεί το Α, διά την πιθανότητα να συμβεί το Β”, ενώ μπορεί να γίνει αντιληπτός με το παρακάτω (εκπαιδευτικό) παράδειγμα:
Ας υποθέσουμε ότι στο συρτάρι ενός εκπαιδευτικού υπάρχουν ανακατεμένα 150 γραπτά, 40 της τάξης Τ1 , 50 της τάξης Τ2 και 60 της τάξης Τ3. Κάτω από την βάση είναι, για παράδειγμα, το 15% των γραπτών της Τ1, το 20% της Τ2 και το 10% της Τ3.
Με το θεώρημα Bayes μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα, αν πάρουμε ένα γραπτό στην τύχη και είναι κάτω από τη βάση, αυτό να είναι από την Τ1.
Αυτή είναι και η αξία του, δηλαδή συνδέει πιθανότητες που είχαμε πριν το πείραμα (a priori) με αυτές που έχουμε αφού ξέρουμε ότι κάτι έχει ήδη συμβεί (a posteriori) , γιαυτό και επηρεάζουν τόσο πολύ την ιατρική.
Μάλιστα, σε αρκετές περιπτώσεις, τα αποτελέσματα που βγαίνουν μέσα από το θεώρημα αυτό δεν συμβαδίζουν με την κοινή λογική. Το παρακάτω παράδειγμα είναι χαρακτηριστικό.
Γράφηκε από τον καρδιολόγο (επεμβατικό καρδιολόγο) κ. Παναγιώτη Ιακωβή – Διδάκτωρ Καρδιολογίας του Πανεπιστημίου Αθηνών και έχει τίτλο : “Το Θεώρημα του Bayes ενάντια στο αφελές test-test-test”
Η Ελλάδα τη στιγμή αυτή μετρά 1613 κρούσματα (5 Απριλίου 2020) από την επιδημία κορωνοϊού. Και πιθανότατα τα κρούσματα είναι πολλαπλάσια. Ας είμαστε γαλαντόμοι και ας θεωρήσουμε ότι έχουμε 20.000 κρούσματα, δηλαδή 0,2% του πληθυσμού.
Τα test κορωνοϊού βγάζουν ψευδώς αρνητικά σε ποσοστό 30% (ΨΑ). Δηλαδή, το 30% των test που βγαίνουν αρνητικά, στην πραγματικότητα δεν είναι αρνητικά. Για να γίνει κατανοητό αυτό, αν κάνει κάποιος test και βγει υγιής, στην πραγματικότητα υπάρχει 30% πιθανότητα να μην είναι υγιής και να πάσχει.
Αντιστοίχως, βγάζουν 10% ψευδώς θετικά (ΨΘ), λόγω συγγενικών λοιμώξεων που μπερδεύουν το test.
Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι ακούμε αυτούς που συστήνουν αυτή τη στιγμή να κάνουμε «μαζικά test». Και αναλαμβάνουμε την τεράστια δαπάνη σε κόστος, κόπο και προσωπικό, για να κάνουμε 1.000.000 test στον γενικό πληθυσμό:
Αν κάνουμε τώρα 1.000.000 test στον γενικό πληθυσμό, θα έχουμε 100.000 ψευδώς θετικούς, που θα λυγίσουν το σύστημα υγείας, τρέχοντας στο Νοσοκομεία, χωρίς να έχουν πρόβλημα, ενώ πάνω από 600 άτομα θα διασπείρουν την Πανδημία, νομίζοντας ότι δεν έχουν τίποτα.
Άρα, σε 1.000.000 Πολίτες που μαζικά θα ελεγχθούν, θα βρούμε συνολικώς 101.200 θετικά test (ΑΘ+ΨΘ) υπό τις παρούσες συνθήκες. Ωστόσο, μόνο 1400 θα είναι πραγματικά πάσχοντες (ΑΘ). Οι υπόλοιποι θα είναι υγιείς που λόγω σφάλματος, θα έχουν βγάλει θετικό αποτέλεσμα. Η διαίρεση 1400/101.200=1,38%.
Το 1,38%, είναι η πιθανότητα κάποιος να είναι αληθώς θετικός στον κορωνοϊό, αν του βγει θετικό το test, τυφλά, στον γενικό πληθυσμό, χωρίς να γίνει επιλογή των ελεγχόμενων πολιτών με κλινικά κριτήρια, στην παρούσα φάση.
Για να βελτιωθεί αυτή η πιθανότητα και ως εκ τούτου να γίνει πιο χρήσιμο το test, θα πρέπει να αυξηθούν οι Αληθώς Θετικοί (ΑΘ) και να μειωθεί το άθροισμα:
Αληθώς Θετικών +Ψευδώς Θετικών (ΑΘ+ΨΘ).
Δηλαδή, θα πρέπει να αυξηθεί το κλάσμα: ΑΘ/ΑΘ+ΨΘ.
Οι αληθώς θετικοί (ΑΘ) αυξάνονται με δύο τρόπους: με την αύξηση των συνολικά θετικών και την τεχνική βελτίωση των test.
Οι Ψευδώς Θετικοί θα μειωθούν με την τεχνική βελτίωση των test και τη μείωση των μη πασχόντων (Υ).
Συνεπώς, είναι εμφανές, ότι η βελτίωση του εξαιρετικά χαμηλού διαγνωστικού ποσοστού 1,38%, θα επέλθει όταν, αργότερα, επέλθει μεγαλύτερη διασπορά του κορωνοϊού στον γενικό πληθυσμό, οπότε και θα είναι η κατάλληλη στιγμή για «test,test,test». Να σημειωθεί ότι το χαμηλό διαγνωστικό ποσοστό του 1,38% θα γίνει 55%, όταν προσβληθεί το 15% του γενικού πληθυσμού.
Προς το παρόν πρέπει να γίνεται «test every suspected case», όπως είναι και η ολοκληρωμένη φράση του Επικεφαλής του Παγκόσμιου Οργανισμού Υγείας.
Άρθρο του Θανάση Κοπάδη, Μαθηματικός – Συγγραφέας
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου