Μαθηματικά και .....όχι μόνο: Τα Μαθηματικά των επιδημιών

Τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται εδώ και χιλιάδες χρόνια για τη μελέτη, την περιγραφή και την αξιοποίηση φαινομένων του φυσικού κόσμου που μας περιβάλλει.

Η μεγάλη χρησιμότητα των μαθηματικών προκύπτει από τη δυνατότητα, μέσω της χρήσης τους, να κάνουμε προβλέψεις για τα παραπάνω φαινόμενα, με άλλα λόγια να δημιουργούμε μοντέλα που να αναπαριστούν τα υπό μελέτη φαινόμενα. Η πρόβλεψη/προσομοίωση συμπεριφορών και ιδιοτήτων πολύπλοκων συστημάτων είναι κυρίως ο βασικός στόχος της μαθηματικής

μοντελοποίησης.

Τα μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιούνται σε πολλές επιστήμες όπως στη φυσική, στις οικονομικές επιστήμες, αλλά και στη βιολογία. Στην τελευταία ανήκουν και τα μοντέλα επιδημιών που εύκολα αντιλαμβάνεται κανείς την σημαντικότητά τους, αφού ο στόχος τους είναι η πρόβλεψη της χρονικής εξέλιξης ασθενειών-επιδημιών.

Ιστορία των επιδημιών

Η ιστορία των επιδημιών είναι πολύ συναρπαστική και σίγουρα διδάσκει τους επιστήμονες που ασχολούνται με τα μοντέλα αυτά.

Αποτέλεσμα εικόνας για επιδημιες αρχαιοτητα

Η παλιότερη αναφορά μιας επιδημίας, πιθανότατα πανούκλας, βρίσκεται στη Βίβλο και χρονολογείται στον 11ο αιώνα π.Χ. Περιγράφεται ως μάστιγα που έπληξε τους Φιλισταίους επειδή έκλεψαν την κιβωτό της Διαθήκης από τον λαό Ισραήλ.

Η μαύρη πανώλη (black death) το 1847 μια από τις πιο καταστροφικές πανδημίες στην ανθρώπινη ιστορία όπου χάθηκε το 1/3 του πληθυσμού της Ευρώπης.

Η πανούκλα των Αθηνών το 430 π.Χ. κατά τη διάρκεια του πελοποννησιακού πολέμου, όπως περιγράφεται από τον Θουκυδίδη, που άλλαξε τις στρατιωτικές ισορροπίες στον μακρόχρονο πόλεμο Αθήνας- Σπάρτης.

Η πανούκλα του Ιουστινιανού το 540 μ.Χ. με 5000 άτομα να χάνουν ημερησίως τη ζωή τους.

Η τρίτη πανδημία πανούκλας το 1850 στην Κίνα με 12 εκατομμύρια ανθρώπους να πεθαίνουν συνολικά. Με αυτήν αναπτύχθηκε και η επιστημονική γνώση από τους γιατρούς που εξασφάλισε το γεγονός ότι ο κόσμος δεν θα έβλεπε και μια τέταρτη πανδημία πανούκλας στην ιστορία του.

Η πανδημία χολέρας το 1817, η επιδημία πολιομυελίτιδας το 1916 στην Αμερική, ο κίτρινος πυρετός του Μέμφις το 1878, η πανδημία της γρίπης το 1918, η επιδημία ανεμοβλογιάς το 1970 στην Ινδία, ο SARS στην Ασία το 2003 που ήταν αυτός ο οποίος έκανε δημοφιλή τη χειρουργική μάσκα ως βασικό μέτρο πρόληψης του ιού.

Μαθηματική Μοντελοποίηση

Τα μοντέλα των επιδημιών χρησιμοποιούν πολύ τις προηγούμενες πανδημίες, αφού είναι προφανές ότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν πειραματικές μελέτες σε ανθρώπινους πληθυσμούς με μολυσματικές ασθένειες, κάτι που θα μπορούσε να δώσει επιπλέον δεδομένα.

Τα θεωρητικά πειράματα επομένως με μαθηματικά μοντέλα και προσομοιώσεις σε υπολογιστές είναι ότι καλύτερο μπορεί να γίνει, αφού μπορούν να χρησιμοποιηθούν στους υπολογισμούς πληθώρα τιμών των μεταβλητών και των αρχικών συνθηκών.

Ένα επιδημιολογικό μοντέλο που χρησιμοποιείται σήμερα με μεγάλη επιτυχία είναι το SIR που χρησιμοποιεί διαφορικές εξισώσεις, παραγώγους κ.λ.π.. Ένα απλό μαθηματικό στοιχείο που θα μπορούσαμε να αναφέρουμε είναι ότι ο λόγος r = α/ρ είναι η πιο βασική παράμετρος για την εξάπλωση ή μη της επιδημίας, όπου α ο ρυθμός διαγραφής (άτομα που έγιναν καλά) και ρ ο ρυθμός της μετάδοσης.

Στον κορωνοϊό ο ρυθμός της μετάδοσης βρίσκεται σε μέτρια επίπεδα. Σύμφωνα με εκτιμήσεις ο αριθμός των ανθρώπων που μολύνονται από έναν ασθενή είναι 1,4 έως 3,8 ανθρώπους. Για την εποχική γρίπη είναι 1,3 περίπου, ο SARS έχει 2 με 5, ενώ για την ιλαρά ο αριθμός είναι 12 με 15 ανθρώπους.

Με χρήση μαθηματικών μοντέλων μπορούν τέλος να δοθούν οι βέλτιστες στρατηγικές εμβολιασμού, αλλά και μοντέλα διάδοσης του ιού που θα καθορίσουν απαγορεύσεις σε αεροπορικά ταξίδια κ.α.

Εκθετική Μεταβολή

Τον τελευταίο καιρό, με αφορμή την εξάπλωση του νέου κορωνοϊού COVID-19, γίνεται πολύς λόγος για τον νόμο της εκθετικής μεταβολής και χρησιμοποιούνται απλοποιημένες προσεγγίσεις προκειμένου να βοηθηθεί το ευρύ κοινό να κατανοήσει τη σημασία του. Συνήθως δίνεται ως παράδειγμα «η πληρωμή του εφευρέτη του σκακιού», το οποίο υπάρχει και ως άσκηση στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου, στο μάθημα της γεωμετρικής προόδου (σελ. 139). Θα μπορούσε ωστόσο να διευκρινιστεί ότι α) η γεωμετρική πρόοδος είναι το διακριτό ανάλογο της εκθετικής συνάρτησης και β) για τη χώρα μας ο λόγος της προόδου είναι, με τα έως τώρα δεδομένα, κατά 25% μικρότερος του 2 που συναντάμε στο παράδειγμα. Με άλλα λόγια ο αριθμός των επιβεβαιωμένων κρουσμάτων μιας ημέρας είναι κατά μέσο όρο το 1,5 του αριθμού των κρουσμάτων της προηγουμένης.

Στο σύντομο αυτό άρθρο δεν θα ασχοληθώ τόσο με το εάν πράγματι τα συνολικά κρούσματα της νόσου αυξάνονται εκθετικά (παρεμπιπτόντως εάν εφαρμόσουμε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, η καμπύλη του Σχήματος 1 έχει εξίσωση y=e0,3t και μάλιστα με R2=0,95), ούτε με το εάν η γραφική παράσταση που απεικονίζει τα βεβαιωμένα κρούσματα της νόσου σε μια χώρα Α αποτελεί οριζόντια μετατόπιση (π.χ. καθυστέρηση κατά x ημέρες) της γραφικής παράστασης μιας άλλης χώρας Β, ούτε με το πότε ένα εκθετικό γράφημα θα παρουσιάσει σημείο καμπής (και έτσι η εξίσωση θα μετατραπεί από εκθετική σε λογιστική). Αυτό που κυρίως με απασχολεί εδώ είναι η (άκριτη) χρήση των μαθηματικών μοντέλων, οι φιλοσοφικές τους προϋποθέσεις και οι διδακτικές τους προεκτάσεις.

Αν και το εκπαιδευτικό μας σύστημα επιδιώκει, τουλάχιστον τις τελευταίες δεκαετίες, την εισαγωγή των Μαθηματικών μέσα σε ένα κοινωνικό πλαίσιο συμφραζομένων, δεν φαίνεται να εξασφαλίζει παράλληλα εκτός από τη χρήση των μαθηματικών μεθόδων και ένα περιβάλλον κριτικής συζήτησης για την καταλληλότητα της εφαρμογής τους σε πραγματικά προβλήματα. Ή μήπως πιστεύει κανείς ότι αρκεί να γίνει μια εισαγωγή από τον καθηγητή σε μια μαθηματική έννοια και στη συνέχεια να δοθούν ασκήσεις στους μαθητές/ φοιτητές για “εμπέδωση” της θεωρίας; Γιατί παρόλο που δεχόμαστε ότι τα Μαθηματικά είναι κατεξοχήν ένα αφηρημένο αντικείμενο, η βασική φιλοσοφία από την οποία τα θεωρούμε είναι μια φιλοσοφία της κουλτούρας και της ανθρώπινης επικοινωνίας ως συγκεκριμένης και δημιουργικής Πράξης.

Κατά συνέπεια η χρησιμοποίηση της εκθετικής συνάρτησης ως νόμου μεταβολής, δεν είναι τίποτα περισσότερο από την επιλογή ενός αντιπροσώπου μιας μεγάλης οικογένειας μαθηματικών μοντέλων, τα οποία αποτελούν αναπαραστάσεις διαμεσολαβημένων αναπαραστάσεων. Τα μοντέλα αυτά αναλύουν φαινόμενα, διαδικασίες και συστήματα, με σκοπό την εξήγηση, τη διατύπωση εικασιών και την πρόβλεψη μελλοντικών καταστάσεων. Ταυτόχρονα συγκροτούν προσομοιώσεις φυσικών φαινομένων ή συμπεριφορών (που αντιστοιχούν στο πραγματολογικό επίπεδο της γλώσσας και της ανθρώπινης επικοινωνίας) και δεν επιδέχονται τους χαρακτηρισμούς “αληθές” ή “ψευδές”, αλλά “αποτελεσματικό”/ “λειτουργικό” ή τα αντίθετά τους.

Είναι λοιπόν σημαντικό να έχει κανείς υπόψη του ότι τα μοντέλα αυτά δεν προσομοιώνουν την ίδια τη φύση, η οποία συχνά μας εκπλήσσει, αλλά αναπαριστούν με μαθηματικό τρόπο τις αντιλήψεις μας γι’ αυτήν και βοηθούν υπό προϋποθέσεις στην εξήγηση των φαινομένων (εν προκειμένω των επιδημιολογικών δεδομένων), αναγάγοντάς τα σε ένα μικρό πλήθος μεταβλητών παραγόντων. Υπό μία έννοια, στα όρια της επιστημολογικής αυθαιρεσίας, δεν είναι τα πραγματικά –αν μπορούμε να τα πούμε έτσι– γεγονότα αυτά που κατευθύνουν την επιστημονική αναζήτηση, αλλά τα τεχνικά εργαλεία και μέσα μοντελοποίησης που είναι κάθε φορά διαθέσιμα.

Εδώ και 222 χρόνια, από τον Άγγλο οικονομολόγο Thomas R. Malthus και εντεύθεν, οι επιστήμονες προσπαθούν να κατασκευάσουν μαθηματικά πρότυπα που να περιγράφουν τις μεταβολές και την αλληλεπίδραση των πληθυσμών συναρτήσει του χρόνου. Για μικρές χρονικές περιόδους τέτοια πρότυπα έχουν εξαιρετικά καλή προσέγγιση, για μεγαλύτερες όμως οδηγούν σε εξωπραγματικά συμπεράσματα καθώς δεν λαμβάνουν υπόψη εξωγενείς παράγοντες που μειώνουν τον ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού, ανακόπτοντας την εκθετική του αύξηση.

Κατ’ αντιστοιχία και τα επιδημιολογικά μοντέλα δείχνουν αρχικά να είναι εκθετικά, εν τέλει όμως καταλήγουν να ακολουθούν μια σιγμοειδή καμπύλη που υπαγορεύεται από μια μορφή «λογιστικής εξίσωσης» (Σχήμα 2). Διότι αυτό που προξενεί τα νέα κρούσματα σε μια επιδημία δεν είναι μόνο τα υφιστάμενα κρούσματα, αλλά και μια πιθανοθεωρητική συσχέτιση με τον αριθμό των ατόμων που δεν έχουν νοσήσει ακόμη. Επιπλέον υπάρχουν ασθένειες στις οποίες αν κάποιος προσβληθεί και αναρρώσει, αναπτύσσει ανοσία στην ασθένεια. Αλλά και παράγοντες όπως οι καιρικές συνθήκες ή ο χρόνος που μεσολαβεί μέχρι να βρεθεί κατάλληλο εμβόλιο παίζουν σημαντικό ρόλο.