ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

Ο διπλασιασμός του κύβου

Το δήλιο πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας.

Στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, δίνεται ένας κύβος ακμής α και ζητείται να
βρεθεί η ακμή β ενός άλλου κύβου με διπλάσιο όγκο.

Για  την προέλευση του προβλήματος  υπάρχουν δύο σημαντικές μαρτυρίες.

Το δήλιο πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας.

Στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, δίνεται ένας κύβος ακμής α και ζητείται να
βρεθεί η ακμή β ενός άλλου κύβου με διπλάσιο όγκο.

Για  την προέλευση του προβλήματος  υπάρχουν δύο σημαντικές μαρτυρίες.

Η  πρώτη προέρχεται από τον Ευτόκιο, τον σχολιαστή του Αρχιμήδη, ο οποίος,
δίχως να αναφέρει τις πηγές του, παραθέτει μια επιστολή του Ερατοσθένη
προς τον βασιλιά Πτολεμαίο.
Η έρευνα έχει αποδείξει ότι η επιστολή δεν είναι γνήσια, αλλά δεν υπάρχει
λόγος να αμφιβάλλουμε ότι οι πληροφορίες που περιέχει είναι αξιόπιστες.

Η  επιστολή αυτή αρχίζει ως εξής:

Λέγεται ότι κάποιος αρχαίος τραγωδοποιός εισήγαγε στη σκηνή τον Μίνωα, ο οποίος είχε διατάξει να κατασκευασθεί τάφος για τον [γιο του] Γλαύκο και  όταν αυτός πληροφορήθηκε ότι ο τάφος ήταν σε όλες του τις διαστάσεις εκατό πόδια, είπε:
«Μικρή παράγγειλες τη χωρητικότητα του βασιλικού τάφου. Να διπλασιαστεί αυτή γρήγορα, αφού διπλασιαστεί κάθε πλευρά χωρίς, όμως, ο τάφος να χάσει το κομψό σχήμα του». 
Φαινόταν δε ότι έκανε λάθος. Διότι, όταν διπλασιάζονται οι πλευρές, η μεν επιφάνεια τετραπλασιάζεται, ο δε όγκος οκταπλασιάζεται. Ζητήθηκε δε και από τους γεωμέτρες να βρουν, με ποιον τρόπο, ένα δεδομένο στερεό θα διπλασιαζόταν, χωρίς να χάνει το σχήμα του, και ονομαζόταν αυτό το πρόβλημα διπλασιασμός του κύβου. Διότι, υποθέτοντας ότι [το δεδομένο στερεό]   ήταν κύβος, ζητούσαν να τον διπλασιάσουν. Ενώ δε όλοι επί πολύν χρόνο ήταν σε αμηχανία, πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος επινόησε ότι αν βρεθούν δύο μέσες ανάλογοι σε συνεχή αναλογία, μεταξύ δύο ευθειών, εκ των οποίων η μία είναι διπλάσια της άλλης , τότε ο κύβος θα διπλασιαστεί. Αλλά [με την επινόηση αυτή ] η αρχική αμηχανία περιέπεσε σε άλλη, όχι μικρότερη αμηχανία.
Λέγεται δε ακόμη ότι μετά πάροδο χρόνου μερικοί Δήλιοι, στους οποίους κάποιος χρησμός επέβαλε να διπλασιάσουν έναν από τους βωμούς τους, αφού περιέπεσαν στην ίδια αμηχανία, απέστειλαν εκπροσώπους και ζήτησαν από τους γεωμέτρες της Ακαδημίας του Πλάτωνα να λύσουν το πρόβλημα. Και αφού αυτοί επιδόθηκαν με ζήλο ζητώντας να κατασκευάσουν δύο μέσες αναλόγους μεταξύ δύο δεδομένων ευθειών, λέγεται ότι ο Αρχύτας ο Ταραντίνος έλυσε το πρόβλημα διά των ημικυλίνδρων και ο Εύδοξος διά των λεγομένων καμπύλων γραμμών.

Η δεύτερη μαρτυρία, προέρχεται από το Θέωνα το Σμυρναίο και βασίζεται σε ένα χαμένο διάλογο με τίτλο Πλατωνικός.
Ένα απόσπασμα είναι  το:

Διότι στο βιβλίο του που επιγράφεται Πλατωνικός, ο Ερατοσθένης αφηγείται ότι, όταν ο θεός ανήγγειλε διά χρησμού στους Δηλίους ότι για να απαλλαγούν από τον λοιμό έπρεπε να κατασκευάσουν βωμό διπλάσιο του ήδη υπάρχοντος, οι αρχιτέκτονες περιέπεσαν σε μεγάλη αμηχανία ζητώντας με ποιον τρόπο μπορεί να διπλασιαστεί ένα στερεό και πήγαν να ρωτήσουν τον Πλάτωνα σχετικά με αυτό. Αυτός τους απάντησε ότι ο θεός έδωσε αυτόν τον χρησμό στους Δηλίους, όχι επειδή είχε ανάγκη ενός διπλάσιου βωμού, αλλά για να κατακρίνει και να επιπλήξει τους Έλληνες, επειδή αμελούν τα μαθηματικά και περιφρονούν τη γεωμετρία.

Λόγω  της παραπάνω μαρτυρίας, το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, είναι γνωστό και ως Δήλιο πρόβλημα.

Ο πρώτος γεωμέτρης ο οποίος ασχολήθηκε με το πρόβλημα, είναι ο Ιπποκράτης ο Χίος
Επίσης κατά την Ελληνική αρχαιότητα, δόθηκαν λύσεις στο πρόβλημα από: τον Αρχύτα τον Ταραντινό, τον Εύδοξο, τον Μέναιχμο, τον Πλάτωνα, τον Ερατοσθένη, τον Νικομήδη, τον Απολλώνιο, τον Ήρωνα τον Αλεξανδρινό, τον Φίλωνα τον Βυζάντιο, τον Διοκλή και τον Πάππο τον Αλεξανδρινό.

Με τα σύγχρονα μαθηματικά αποδείχθηκε ότι το πρόβλημα δεν είναι δυνατόν να λυθεί μόνο με κανόνα και διαβήτη και δόθηκε τέλος στην αναζήτηση λύσης αυτής της μορφής.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου

              

Η μέτρηση του εμβαδού του περικλειομένου από κάποιο σχήμα, ήταν σε όλους τους λαούς, από την εποχή που ακόμη η γεωμετρία ήταν εμπειρικής μορφής, βασική επιδίωξη όλων των γεωμετρών. Από τη στιγμή που διαλέξανε
σαν μονάδα μέτρησης των εμβαδών, το τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, αυτόματα
τέθηκε και το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων.

Αρχικά "τετραγωνίστηκαν" δηλαδή προσδιορίστηκε το εμβαδόν τους, τα ορθογώνια,
τα τρίγωνα, τα παραλληλόγραμμα και ορισμένα πολύγωνα.
Μετά από αυτό ήταν φυσικό να επιδιωχθεί και ο τετραγωνισμός σχημάτων περικλειομένων
από καμπύλες γραμμές και πρώτου από όλα του κύκλου.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου λοιπόν, είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Η διατύπωση του είναι απλή: Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου.

Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει:

να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και

να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.

Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς.

Κατά την Ελληνική αρχαιότητα, δόθηκαν λύσεις στο πρόβλημα από: τον Αρχιμήδη, τον Νικομήδη, τον Απολλώνιο και τον Κάρπο.

Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την υπερβατικότητα του αριθμού π: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό στην περίπτωση που ο αριθμός π είναι υπερβατικός, οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το 1882, όταν ο Ferdinand von Lindemann απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός.

Η τριχοτόμηση της γωνίας

Τις συνθήκες κάτω από τις οποίες τέθηκε το πρόβλημα της τριχοτόμησης μια γωνίας στην Ελληνική αρχαιότητα δεν τις γνωρίζουμε σήμερα.
Αρχικά να διευκρινίσουμε ότι το πρόβλημα αυτό δεν ισχύει για όλες τις γωνίες, καθώς στην ουσία
είναι ένα πρόβλημα κατασκευής γωνίας ίσης με το 1/3 της δοθείσας.
Έτσι π.χ. αφού μπορούμε να κατασκευάσουμε μια γωνία 30^ο
(φτιάχνοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η μία κάθετη πλευρά του θα είναι μισή της
υποτείνουσας), μπορούμε να τριχοτομήσουμε την ορθή γωνία.

Επομένως το πρόβλημα έγκειται στην τριχοτόμηση οξείας γωνίας, διότι αν είναι αμβλεία
αφαιρούμε απο αυτήν την ορθή που μπορεί να τριχοτομηθεί με χάρακα και διαβήτη.
Η τριχοτόμηση όμως μιάς οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθμού χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου.

Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες όταν οι προσπάθειές τους με το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες μεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καμπύλης στην ελληνική Γεωμετρία, μετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, με τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήματος.
Οι γνωστότεροι αρχαίοι γεωμέτρες που ασχοληθήκανε με το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας ειναι: ο Ιππίας ο Ηλείος, ο Αρχιμήδης, ο Νικομήδης, ο Πάππος ο Αλεξανδρινός