ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

Είναι γνωστό ότι η Αρχαία Ελλάδα έβαλε τα θεμέλια των μαθηματικών Επιστημών και ειδικά στον τομέα της Γεωμετρίας και της Λογικής. Τα έργα των αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών όσα βέβαια διασώθηκαν αποτέλεσαν την βάση για την πιο πέρα εξέλιξη των μαθηματικών Επιστημών. Ονόματα όπως Ευκλείδης , Αρχιμήδης, Πυθαγόρας, Θαλής έγιναν αντικείμενο μελέτης της ιστορίας των Μαθηματικών.

Η αξιωματική τοποθέτηση των Μαθηματικών ξεκίνησε από την αρχαία Ελλάδα. Τότε θεμελιώθηκε η επίλυση του μαθηματικού προβλήματος με την διαδικασία ανάλυσης, σύνθεσης, απόδειξης καθώς και της απόδειξης ισχύος του αντιστρόφου.

Τα Μαθηματικά αναπτυχθήκανε στην Αρχαία Ελλάδα για να εφαρμοσθούν στην γεωργία, μηχανική, πολεμική τέχνη, αστρονομία, γεωδαισία. Αναπτυχθήκανε όμως και για να αποτελέσουν προϊόν της ανθρώπινης σκέψης και χρησιμοποιηθήκανε στην δομημένη λογική και την φιλοσοφία.


Μια πυραμίδα αποδείξεων

Πριν από τους Έλληνες, οι μαθηματικοί δεν περίμεναν ότι θα ενδιαφερόταν κανείς για τις διανοητικές προσπάθειες πού κατέβαλλαν ώσπου να φθάσουν σ' ένα συμπέρασμα-στη συνταγή, ας πούμε, για την ποσότητα της πέτρας που χρειαζόταν για το κτίσιμο μιας πυραμίδας. Αν η συνταγή επαληθευόταν από την πράξη, αυτή ήταν η απόδειξη της ορθότητας της. Οι Έλληνες όμως δεν ήσαν ικανοποιημένοι από μόνο το γεγονός ότι ένας τύπος, μια συνταγή αποδεικνυόταν στην πράξη σωστή.
Οι Έλληνες ήθελαν να εξηγούν το γιατί και να το παρουσιάζουν με τη συντομότερη, την αυστηρότερη λογική επιχειρηματολογία πού μπορούσε να επινοηθεί. Η παράθεση των αποδείξεων έγινε γι' αυτούς μια σωστή τέχνη, μια τέχνη πού τιμούσε τη μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα σε κάθε βαθμίδα του συλλογισμού, χωρίς, ταυτόχρονα, ν' αφήνει τίποτε ασαφές και κενό. Τα Ελληνικά Μαθηματικά συγκέντρωσαν ένα πλήθος αποδεδειγμένων θεωρημάτων, πού το καθένα τους μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, χωρίς να χρειάζεται πάλι επαλήθευση, για να διατυπωθεί ένα νέο, πιο προχωρημένο θεώρημα. Επιπλέον όλα αυτά τα θεωρήματα μπορούσαν να ταξινομηθούν, το ένα σφιχτά με τα' άλλο, σ' ένα σύστημα, σαν μία ανεστραμμένη πυραμίδα γνώσεων πού ολοένα μεγαλώνει. Το σημείο πού βρισκόταν στη βάση της πυραμίδας μπορούσε να θεμελιωθεί στερεά, στην καθημερινή εμπειρία με τη βοήθεια μερικών αυταπόδεικτων αξιωμάτων, όπως π.χ. ότι η συντομότερη οδός μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία η ότι δύο ευθείες τέμνονται σ' ένα μόνο σημείο.
Καθώς αναπτυσσόταν η μαθηματική επιστήμη, μεγάλωνε και η αποδεικτική αυστηρότητα - το μέτρο δηλαδή της παραδοχής μιας τυπικής αποδείξεως. Με αλλά λόγια οι μαθηματικοί παραδέχονταν με διαρκώς μεγαλύτερη δυσκολία ως, μαθηματικές αλήθειες τα θεωρήματα της επιστήμης τους. Έτσι οι σύγχρονοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι ορισμένες αποδείξεις στις όποιες κατέφυγαν οι Έλληνες περιείχαν κρυφές, ανεξακρίβωτες υποθέσεις. Περιόρισαν επίσης την ίδια την μέθοδο χρήσεως των αξιωμάτων και αναθεώρησαν ορισμένα σημεία. Επινόησαν ακόμη άλλες σειρές αξιωμάτων για να θεμελιώσουν πάνω σ' αυτές τους νεώτερους κλάδους των μαθηματικών. Αλλά το βασικό σύστημα των Ελλήνων, η συλλογιστική της αφαιρέσεως και της αποδείξεως, παραμένει άθικτο. Κάθε κλάδος των συγχρόνων μαθηματικών (οργανώθηκε όσο ήταν δυνατό πάνω σ' αυτό το ελληνικό λογικό σύστημα.


Το φεγγάρι και το κεφάλι της καρφίτσας.

Το ελατήριο πού έδωσε την ώθηση για να πραγματοποιηθεί εκείνη την εποχή η Ελληνική Πνευματική Επανάσταση ήταν η γεωμετρία. Με την έμφυτη καλλιτεχνική κλίση τους οι Έλληνες (οδηγήθηκαν από ένστικτο στην καθαρότητα και την οπτική γοητεία πού συνδυάζει η γεωμετρία- τα μαθηματικά δηλαδή των σημείων, των γραμμών, των επιφανειών και των όγκων. Και οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι είχαν μεταχειρισθεί μία χονδροκομμένη, πρόχειρη γεωμετρία για να μετρούν τα χωράφια και τα κτίσματα τους, άλλα μόνο γι' αυτές τις πρακτικές εφαρμογές των υπολογισμών- για να βρίσκουν π.χ. πόσα τούβλα, η πόσοι γρανιτόλιθοι χρειάζονταν στο χτίσιμο του δυτικού τοίχου του νέου ανακτόρου. Οι Έλληνες είχαν μια πολύ πιο θεωρητική, πιο «αφηρημένη» αντίληψη. Πίστευαν ότι ένα ορισμένο είδος σχήματος έχει αναλλοίωτες, εσωτερικές ιδιότητες, ανεξάρτητες από το μέγεθος του. Έτσι, ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45°-ένα τρίγωνο πού, μεταξύ άλλων, έχει δύο ίσες πλευρές- μπορεί να εκταθεί ίσαμε το φεγγάρι ή να μικρύνει ως το κεφάλι μιας καρφίτσας, αλλά θα παραμείνει και στις δύο περιπτώσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45°. Ο πρώτος Έλλην πού συνέλαβε αυτήν τη θεμελιώδη δυνατότητα της αφαιρέσεως στη γεωμετρία - και συνέβαλε έτσι στη διαμόρφωση του ελληνικού οράματος, κατά το όποιο οι γνώσεις θα αυξάνουν σαν στέρεες, ανεστραμμένες πυραμίδες αποδείξεων, στηριγμένες σε λίγα βασικά αξιώματα- ήταν πιθανότατα ο Θαλής ο Μιλήσιος, ένας δραστήριος λαδέμπορος, πού ασκούσε τις επιχειρήσεις του κατά μήκος των ακτών της Μ. Ασίας μεταξύ του 600 και 550 π.Χ. Κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του ήλθε σε επαφή με ανθρώπους πού ήξεραν τα παλιά μαθηματικά και την αστρονομία και όταν αποσύρθηκε από το εμπόριο ασχολήθηκε με την επιστήμη για «χόμπυ». Τα πέντε θεωρήματα πού αποδίδονται σ' αυτόν- και πού παρουσιάζονται παρακάτω- έχουν μιαν εντυπωσιακή απλότητα, πού αποκαλύπτει την ενσυνείδητη προσπάθεια του Θαλή να θεμελιώσει τη γεωμετρία σε βασικούς, αμετακίνητους όρους.

Η φιλοδοξία, του Θαλή θα παρέμενε ίσως ανεκπλήρωτη αν δεν υπήρχε ένας άλλος Έλλην, ο όποιος συνεργάσθηκε, όπως πιστεύεται, μαζί του. Αυτός ήταν ο Πυθαγόρας, ένας άνδρας με δυνατή, μαγνητική προσωπικότητα. Κατά την παράδοση ο Πυθαγόρας ακολούθησε τη συμβουλή του Θαλή και ταξίδεψε χρόνια ολόκληρα για να ευρύνει το πεδίο των μαθηματικών γνώσεων του. Μεταξύ άλλων πηγών στις όποιες κατέφυγε ο Πυθαγόρας ήλθε σε επαφή και με τους ιερείς του Ζωροάστρη-τους σοφούς εκείνους από τους οποίους κατάγονται οι Μάγοι της χριστουγεννιάτικης ιστορίας- πού είχαν διαφυλάξει, κάτω από την Περσική κυριαρχία, τη μαθηματική κληρονομιά των Μεσοποταμιών. Αφού έμαθε ότι είχε να μάθει ο Πυθαγόρας ίδρυσε, γύρω στα 540 π.Χ., μια σχολή, μισοθρησκευτική, μισομαθηματική, στον Κρότωνα, μιαν ανθούσα ελληνική αποικία στο νότιο άκρο της Ιταλικής Χερσονήσου. Έκτος από τα μαθηματικά δίδασκε στους μαθητές - οπαδούς του τη λατρεία των αριθμών, την επανενσάρκωση και τη μετεμψύχωση από άνθρωπο σε άνθρωπο και από άνθρωπο σε ζώο· τους όριζε να μη τρώνε κουκιά, να μένουν πάντα ανώνυμοι και να υπογράφουν με το όνομα της Πυθαγόρειας Αδελφότητας κάθε γραπτό και κάθε ανακάλυψη τους.
Από τη διδασκαλία του Πυθαγόρα το ευρύτερα γνωστό θεώρημα είναι ασφαλώς ότι το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς-της υποτεινούσης-ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, βραχυτέρων πλευρών. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν το θεώρημα αυτό 1.000 χρόνια νωρίτερα, τη δόξα όμως την πήρε η Πυθαγόρεια Σχολή πού πρώτη το απέδειξε. Ακόμη και σήμερα παραμένει ανυπολόγιστη η αξία του για την επιστήμη. Αλλά και η πρακτική πλευρά, πού ενδιαφέρει τους περισσότερους, είναι εξ ίσου σημαντική, αφού με βάση το
θεώρημα αυτό οι ξυλουργοί και οι οικοδόμοι μπορούν να ελέγχουν αν οι κατασκευές
τους είναι τέλεια ορθογώνιες.


Κληροδότημα στη Τζαζ.

Ο Πυθαγόρας έκαμε μια δεύτερη, πολύ χρήσιμη ανακάλυψη πού ενδιαφέρει κάθε μουσική εκτέλεση, είτε ενός πιανίστα της τζαζ είτε ενός κουαρτέτου εγχόρδων: ότι κάτω από τη μουσική κλίμακα βρίσκεται μια μαθηματική υποδομή. Ο Πυθαγόρας βρήκε ότι υπάρχει μια θαυμαστή σχέση μεταξύ της μουσικής αρμονίας και των ακεραίων αριθμών πού μετρούμε με το 1,2,3,4,5 κ.λπ. Αν κρούσομε μια χορδή θα παραχθεί μια νότα: αν κρούσομε την ίδια αλλά διπλασίου μήκους χορδή θα παραχθεί η ίδια νότα αλλά σε μιαν οκτάβα χαμηλότερα. Με την ίδια χορδή, και τον ήχο πού παράγει μπορούμε, αυξάνοντας το μήκος της κατά προσδιορισμένες σχέσεις, να έχω- με όλους τους μουσικούς φθόγγους της κλίμακας. .Τα μήκη αυτών των αυξήσεων είναι δυνατόν να εμφανισθούν μ' ένα κλάσμα. Αν π.χ. σε μια χορδή πού δίνει το ντο αυξήσουμε το μήκος της κατά 1/15, πράγμα πού συμβαίνει εάν πάρουμε και μιαν άλλη χορδή μήκους 16/15 της προηγουμένης, έχουμε τη νότα σί. Οι σχέσεις 6/5, 4/3, 3/2, 8/5, 16/9 δίδουν αντιστοίχως λα, σολ, φα, μι, ρε. Παίρνοντας τη σχέση χορδών 2 προς 1 ξαναβρίσκουμε το ντο, άλλα σε μια οκτάβα πιο κάτω από το προηγούμενο. Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε τις αριθμητικές σχέσεις μεταξύ του ντο, φα, σολ και του ντο πού βρίσκεται μια οκτάβα πιο κάτω, όπως και μεταξύ των ισοδυνάμων τους σε οποιαδήποτε κλίμακα. Έφθασε επίσης στο συμπέρασμα ότι τόσο στη φύση, όσο και ανάμεσα σε όλες τις μορφές του κάλλους και σε όλες τις αρμονίες υπάρχουν σχέσεις πού μπορούν να εκφρασθούν με ακεραίους αριθμούς. Σκέφθηκε ακόμη ότι οι μετακινήσεις των αστέρων στον ουρανό παράγουν μια ουράνια μουσική - τη λεγόμενη -«μουσική των σφαιρών»- με αρμονίες πού μπορούσαν να διατυπωθούν κι αυτές με αριθμούς. Η ασύγκριτη δύναμη των ακεραίων αριθμών, πού διέπει όλα τα πράγματα στη φύση, μάγεψε τόσο πολύ τους πυθαγορείους ώστε κατέταξαν τους αριθμούς σε κατηγορίες, όπως σε «τέλειους» και σε «φίλιους». Για τους πυθαγορείους, οι περιττοί αριθμοί ήσαν αρσενικοί, οι άρτιοι θηλυκοί. Μόνο το 1, γεννήτωρ όλων των άλλων αριθμών, δεν περιλαμβάνεται σ' αυτή την κατάταξη. (Το 5 συμβόλιζε στα -μάτια τους τον γάμο. Ήταν η ένωση του πρώτου θηλυκού αριθμού, του 2, και του πρώτου αρσενικού, του 3). Τότε, πάνω στην έκσταση αυτής της γοητευτικής φαντασιώσεως, έγινε μια ζοφερή ανακάλυψη, τόσο έντονα αντί-πυθαγόρεια, ώστε η Αδελφότης προσπάθησε να την καταπνίξει.


Η κακορίζικη τετραγωνική ρίζα

Το ενοχλητικό εύρημα ήταν ένα νέο είδος αριθμών-πού σήμερα τους ονομάζουμε «ασύμμετρους». Το χαρακτηριστικό του ασύμμετρου αριθμού είναι ότι παραμένει πεισματικά ανολοκλήρωτος, ότι και αν συμβεί. Αυτή η εξοργιστική Ιδιότητα παρουσιάζεται συχνά σ' αυτό πού αποκαλούμε «τετραγωνική ρίζα»- την ποσότητα πού όταν πολλαπλασιασθεί με τον εαυτό της μας δίνει τον δεδομένο αριθμό. Η τετραγωνική ρίζα του 4 (πού γράφεται συμβολικά 2 ) είναι το καθαρό, ήρεμο 2 ρίζα 9 είναι το 3. Μια ασύμμετρη όμως τετραγωνική ρίζα μας δίνει ένα δεκαδικό κλάσμα με ατέλειωτη σειρά, χωρίς περιοδική τάξη, ψηφίων μετά το κόμμα. Παράδειγμα : η τετραγωνική ρίζα του 2 ( 2 ) είναι 1,41421... κ.λπ. έπ' άπειρον ρίζα είναι 1,73205... κ.λπ. έπ' άπειρον. Το πιο εκνευριστικό για μια νοικοκυρεμένη σκέψη είναι ότι οι ασύμμετρες τετραγωνικές ρίζες ξεπηδούν ξαφνικά, στην τύχη και με ανώμαλη συχνότητα. Η περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου μας δίνει ένα παραστατικό παράδειγμα. Αν μετρηθούν οι βραχύτερες, οι κάθετες πλευρές του, με τους αριθμούς 3 η μία και 4 η άλλη, τότε η μακρύτερη πλευρά, η υποτείνουσα, είναι ίση με το 5. Τέτοιοι όμως απλοί συνδυασμοί, όπως π.χ. επίσης 5-12- 13 ή 7-24- 25, είναι πολύ σπάνιοι. Μεταξύ αυτών των τελείων ορθογωνίων παρεμβάλλεται ένας μεγάλος αριθμός «ατελών» ορθογωνίων τριγώνων, με πλευρές π.χ. 1 - 1 - 2 ή 1 - 2 - 5 ή 2 - 5 -3. Ας υποθέσουμε ότι έχομε να μετρήσουμε ένα χωράφι σχήματος Ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή με δύο ίσες πλευρές και μία μεγαλύτερη. Ας υποθέσουμε επίσης ότι το μήκος των δύο ίσων πλευρών εκφράζεται με ακριβείς αριθμούς. Τότε η τρίτη πλευρά, με οποιαδήποτε μονάδα και αν μετρηθεί, δεν θα βγαίνει ακριβώς. Οποιαδήποτε και αν είναι η μονάδα (εκατοστό, πήχυς, οργυιά) το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Και αντίστροφα: όσες φορές και αν υποδιαιρέσουμε το μήκος της
μεγάλης πλευράς ποτέ δεν θα φθάσουμε σε μιαν υποδιαίρεση πού να ισούται με κάποια υποδιαίρεση του μήκους των μικρών πλευρών. Μεταξύ της υποτεινούσης και μιας καθέτου πλευράς δεν υπάρχει καμιά κοινή μονάδα πού να τις μετρά. Οι Πυθαγόρειοι αντελήφθησαν ότι είναι αδύνατο να εκφράσουν με ολόκληρους αριθμούς αυτή τη σχέση στα περισσότερα ορθογώνια τρίγωνα, ακόμη καν αν επιστράτευαν όλους τους ακέραιους αριθμούς και τα κλάσματα τους- από το 1 έως το ένα δισεκατομμύριο η από το 1/1 ως το ένα δισεκατομμυριοστό. Η συντριπτική αυτή ανακάλυψη συγκλόνισε ολόκληρη την πορεία της ελληνικής μαθηματικής
σκέψεως. Διέλυσε πραγματικά κάθε ελπίδα ότι η μέτρηση μπορούσε να χρησιμεύσει σαν γέφυρα ανάμεσα στη γεωμετρία και την αριθμητική των ακεραίων αριθμών. Οι Έλληνες άρχισαν ν' αυτοπεριορίζονται στη γεωμετρία των σχημάτων, πού δεν την απασχολούσαν οι μετρήσεις άλλα μόνο τα σχήματα. Έτσι μπορούσαν, αν όχι να μετρήσουν, πάντως να σχεδιάσουν μερικούς ασύμμετρους αριθμούς, όπως τη ρίζα2 η ρίζα3 , σαν μια ορισμένη υποτείνουσα σ' ένα ορισμένο ορθογώνιο τρίγωνο. Σαν τα άτακτα παιδιά, οι αριθμοί αυτοί μπορούσαν τουλάχιστον να κλεισθούν μέσα σε γνωστά ευθύγραμμα σχήματα, με καθορισμένα όρια -σε τρίγωνα, τετράγωνα και πυραμίδες.
Οι ασύμμετροι αριθμοί όμως, καθώς και η έννοια του απείρου, δεν ήταν δυνατόν να εξοστρακισθούν και από τη στοιχειωδέστερη έστω γεωμετρία των σχημάτων. Αναπήδησαν πάλι, μετά από τα τρίγωνα, στο πρόβλημα του κύκλου. Η σχέση η ο λόγος μεταξύ της περιφερείας ενός κύκλου και της διαμέτρου του είναι πράγματι ένας ασύμμετρος αριθμός, 3,14159..., τον όποιο αποκαλούμε και γράφομε π (πιθανότατα από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξεως περιφέρεια). Οποιαδήποτε και αν είναι η προέλευση του π, η ασύμμετρη ποσότητα πού εκφράζει υπολογίσθηκε με περισσότερα από 100.000 δεκαδικά ψηφία και ξέρουμε ότι δεν την μετρήσαμε ολόκληρη· θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε τον υπολογισμό αυτόν έπ' άπειρον. Οι Έλληνες δεν είχαν αναγνωρίσει την πλήρη έκταση της ασυμμετρίας του π κι έτσι έχασαν πολύ χρόνο και κατέβαλαν μεγάλες προσπάθειες για να λύσουν το τεράστιο πρόβλημα πού ήταν άλυτο εξ αιτίας αυτής ακριβώς της ασυμμετρίας-δηλαδή να κατασκευάσουν ένα τετράγωνο, το εμβαδόν του οποίου να ισούται με το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου, με άλλα λόγια να πετύχουν τον «τετραγωνισμό του κύκλου».